第32讲抛物线的标准方程及其性质(学生版)

第32讲 抛物线的标准方程及其性质

一．基础知识整合

1．抛物线的概念：平面内与一个定点F 和一条定直线l (F ∉l )距离 的点的轨迹叫做抛物线．点F 叫做抛物线的 ，直线l 叫做抛物线的 ．

2．抛物线的标准方程及其性质 标准方程 y 2＝2px (p >0) y 2＝－2px (p >0) x 2＝2py (p >0) x 2＝－2py (p >0)

p 的几何意义：

图形

顶点

( ) 对称轴

焦点

F ( ) F ( ) F ( ) F ( ) 离心率

e ＝1 准线方程

x ＝ x ＝ y ＝ y ＝ 范围 x ≥ ，y ∈ x ≤ ，y ∈ y ≥ ，x ∈ y ≤ ，x ∈

开口方向

31122(1)y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p 2

4

. (2)|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2p sin 2θ

(θ为直线AB 的倾斜角)． (3)1|AF |＋1|BF |为定值2p

. (4)以AB 为直径的圆与准线相切． (5)以AF 或BF 为直径的圆与y 轴相切．(6)过焦点垂直于对称轴的弦长等于2p (通径)．

二．典例精析

题型一：抛物线的定义及应用

例1：(1)已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的

一个交点，若FP →＝4FQ →，则|QF |＝

(2)已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，则抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是

变式训练1：(1)设经过抛物线C 的焦点的直线l 与抛物线C 交于A 、B 两点，那么抛物线C 的准线与以AB 为直径的圆的位置关系为

(2)已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的动点，点P 到准线的距离为d ，且点P 在y 轴上的射影是

M ，点A (72，4)，则|P A |＋|PM |的最小值是

题型二：抛物线的标准方程及性质(高频考点)

例2：(1)抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，O 为坐标原点，M 为抛物线上一点，且|MF |＝4|OF |，△MFO 的面积为43，则抛物线方程为

(2)已知双曲线x 2a 2－y 2

b

2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线与抛物线y 2＝2px (p ＞0)分别交于O ，A ，B 三点，O 为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB 的面积为3，则p ＝

（3）已知Rt △AOB 的三个顶点都在抛物线y 2＝2px 上，其中直角顶点O 为原点，OA 所在直线的方程为y ＝3x ，△AOB 的面积为63，则该抛物线的方程 ．

变式训练2：(1)设抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点M 在C 上，|MF |MF 为直径的圆过点(0，2)，则C 的方程为

(2)抛物线的顶点在原点，对称轴为y 轴，它与圆x 2＋y 2＝9相交，公共

弦MN 的长为25，则抛物线的方程为 ．

（3）如图，已知抛物线y 2＝2px (p >0)有一个内接直角三角:形，直角顶

点在原点，两直角边OA 与OB 的长分别为1和8，则抛物线方程

为 ．

题型三：抛物线的几何性质

例3：过抛物线y 2＝2px 的焦点F 的直线和抛物线相交于A ，B 两点，如图所示．

(1)若A ，B 的纵坐标分别为y 1，y 2，求证：y 1y 2＝－p 2；

(2)若直线AO 与抛物线的准线相交于点C ，求证：BC ∥x 轴．

变式训练3：已知AB 是抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点弦，F 为抛物线的焦点，A (x 1，y 1)，B (x 2，

y 2)．求证：(1)x 1x 2＝p 24； (2)1|AF |＋1|BF |

为定值．

题型四：抛物线的综合问题

例4：已知定点F (0,1)和直线l 1：y ＝－1，过定点F 与直线l 1相切的动圆圆心为点C .

(1)求动点C 的轨迹方程；

(2)过点F 的直线l 2交轨迹C 于两点P 、Q ，交直线l 1于点R ，求RP →·RQ →的

最小值．

变式训练4：已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)过点A (1，－2)．

(1)求抛物线C 的方程，并求其准线方程；

(2)是否存在平行于OA (O 为坐标原点)的直线l ，使得直线l 与抛物线C 有公共点，且直线OA 与l 的距离等于

55

若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．

三．方法规律总结

1．顶点在原点，对称轴为坐标轴的抛物线可设为y 2＝2ax 或x 2＝2ay (a ≠0)，此时a 不具有p 的几何意义．

2．抛物线的定义体现了抛物线上的点到焦点的距离与该点到准线距离的关系，因此涉及抛物线上的点与焦点之间的距离可转化为点到准线之间的距离，这样可使问题简单化．

3．对于抛物线的四种形式的标准方程，应准确把握、熟练应用，能做出图形，会利用图形分析性质，学习时应能根据一种类型归纳出另外三种的相关性质，注意数形结合思想的应用．

4．抛物线只有一个焦点，一个顶点，一条对称轴，一条准线，无对称中心．

5．抛物线上一点与焦点F 的连线的线段叫做焦半径，设抛物线y 2＝2px (p >0)上任一点A (x 0，

y 0)，则|AF |＝x 0＋p 2. 6．抛物线的顶点也在抛物线上，作为抛物线上的一个特殊点，它到焦点的距离也等于到准线的距离，解题时注意应用．

7．直线与抛物线有一个交点，是直线与抛物线相切的必要不充分条件．

8．与焦点弦有关的常用结论(以下图为依据)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．

(1)y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝

p 24. (2)|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2p sin 2θ

(θ为AB 的倾斜角)．(3)1|AF |＋1|BF |为定值2p . (4)以AB 为直径的圆与准线相切．(5)以AF 或BF 为直径的圆与y 轴相切．

四．课后练习作业

1．抛物线x 2＝－8y 的准线方程是( )

A ．y ＝－2

B ．y ＝－4

C ．y ＝2

D ．y ＝4

2．抛物线x 2＝－4y 的通径长为( )

A ．1

B ．2

C ．4

D ．8

3．已知动点P (x ，y )满足(x －1)2＋(y －2)2＝|3x ＋4y －10|5

，则P 点的轨迹是( ) A ．直线 B ．圆 C ．椭圆 D ．抛物线

4．设抛物线y 2＝8x 上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离是( )

A ．4

B ．6

C ．8

D ．12

5．已知抛物线C 与双曲线x 2－y 2＝1有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线C 的方程是