极限存在准则 两个重要极限

y 2.594 2.705 2.7169 2.71815 2.71827 …
x -10 -100 -1000 -10000
y 2.88 2.732 2.720
2.7183
y


1

1 x
x
的值无限接近于一个常数
-100000 … 2.71828 …
e 2.718281828459045
xn

a xn

a
xn1 xn
1(1 2
a xn2
)

1 2
(1
a) a
1
∴数列单调递减有下界，
故极限存在，
设
lim
n
xn

A
则由递推公式有 A 1 ( A a ) 2A
A a
x1 0,
xn 0, 故
lim
n
xn

a
三、 两个重要极限
证: 当
x(0,
则
a 2a
lim
n
xn

lim
n
2 xn1
a2 2 a
a2 a 2 0
a2
备用题
1.设
xn1

1 2 ( xn

a xn
)(
n

1
,
2
,
) , 且 x1 0 ,
a0, 求
lim
n
xn
.
利用极限存在准则
解：
1
a
xn1 2 ( xn xn )
令z=1/x, 则x→∞时， z→0，
由此可得:
1
1
lim(1 z)z lim(1 x)x = e
z0
x0
为了方便地求函数的极限，可记住下面结果：
lim( x) 0
1
lim 1 ( x) ( x) e;
lim f x A 0 lim g x B
lim sin(2n π ) 1
n
2
由定理 1 知
不存在 .
二、极限存在准则
定理2(两边夹法则) 如果函数g(x), f (x), h(x)满足：
(1) g( x) f ( x) h( x) ;
(2) lim g( x) lim h( x) a
xX
xX
则 lim f ( x) a. xX
第二章
§2.5 极限存在准则 两个重要极限
一、函数极限与数列极限的关系 二、极限存在准则 三 、两个重要极限
一、函数极限与数列极限的关系
定理1 lim f ( x) A 的充分必要条件是： x x0 对任意数列{xn}，xn≠x0， 当xn→x0(n→∞)时，
都有
lim
n
f ( xn )
例7. 求
x 2

1 2
lim x0
sin x
2 x
2
2
4


1
12
2
ห้องสมุดไป่ตู้
cos 2 1 2sin2
2sin2 1 cos 2
2.
我们可以通过列出函数
y


1

1 x

x
的部分取值列表
来观察该函数值的变化趋势．
x 10
100
1000
10000 100000 …
为了方便地求函数的极限，可记住下列结果：
lim( x) 0
(1) limcos( x) 1;
(2) lim sin ( x) 1. (x)
例4. 求
解:
tan x lim x0 x

lim
x0

sin x x
1 cos x

lim
x0
sin x
x
lim x0
例2. 证明
证: 利用两边夹法则 . 由
n

n2
1
π

n2
1
2
π


n2
1 n
π


n2 n2 π
g(n)

且
h(n)
n2
1
lim
n
n2

π
lim
1 n
π
n2
1
1 lim
n
n

n2
1
π

n2
1
2
π


n2
1 n
π

定理3（收敛准则Ⅰ） 单调递增且有上界的数列必有极限．
lim f ( x)g( x) AB .
例6. 求
解: 令 t x , 则
lim(1
t

)1 t
t
lim 1 t
1
说明 ：若利用 lim (1 ( x))( x) e , 则 ( x)0
原式
lim x
(1
)1 x
x
1 e1
π 2
)
时，
△AOB 的面积＜ 圆扇形AOB的面积
BD
1
x O
C
A
＜△AOD的面积
即
1 2
sin
x


1 2
tan
x
同亦即乘以 1 sin x
sin x
x
sin x cos x
(0

x

π 2
)
显然有
cos x sin x 1 x
(0

x

π 2
)

x(
, 0)
时，
2
x t
1 cos
x

1
1 1
=1
例5. 求
解: 令 t arcsin x , 则 x sin t , 因此
t lim
t0 sin t
类似可证
sin t 1
t
t
t arcsin x
-1 2
O1
x


2
例6. 求
解: 原式 =
2 sin2
lim
x0
x2
x 2

lim
x0
2 sin2 4x2
定理4（收敛准则Ⅱ） 单调递减且有下界的数列必有极限．
单调递增（递减）且有上界（下界）数列必有极限
lim
n
xn
a
(M )
a
lim
n
xn
b
(m)
b
( 证明略 )
例3 已知数列 xn 满足：x1 2, xn 2 xn1 (n 2, 3 ).
证明数列 xn 收敛．
xn2

, 4
(n
1, 2,
)
xn1 xn
2 xn xn

11 2 xn2 xn

2 1 1 1, 42
xn xn1 , (n 1, 2, )
由定理2知数列收敛．
x1 2, xn 2 xn1 (n 2, 3 ).
令
lim
n
xn

a,
A.
定理1经常被用于证明某些极限不存在.
例1. 证明
不存在 .
证: 取两个趋于 0 的数列
xn

1 2n π
及
xn

2n
1 π
π 2
(n 1, 2,)
显然当n→∞时，xn→0,
xn 0.
1
lim sin
n
xn
lim sin 2n π 0 n
1
lim sin
n
xn
证 先用数学归纳法证明 xn 2,(n 1, 2, ).
（1）当n=1时， x1 2 2, 结论成立．
（2）当n=k时，xk<2,则
xk1 2 xk 2 2 2.
由数学归纳法知 xn≤2.
xn 2,(n 1, 2, )
再证明该数列单调递增．
1 11 1
, xn 2