人教版高中数学教案 2.2.1对数与对数运算(二)

2.2.1对数与对数运算（二）
（一）教学目标
1．知识与技能：理解对数的运算性质．
2．过程与方法：通过对数的运算性质的探索及推导过程，培养学生的“合情推理能力”、“等价转化”和“演绎归纳”的数学思想方法，以及创新意识．
3．情感、态态与价值观
通过“合情推理”、“等价转化”和“演绎归纳”的思想运用，培养学生对立统一、相互
联系，相互转化以及“特殊—一般”的辩证唯物主义观点，以及大胆探索，实事求是的
科学精神．
（二）教学重点、难点
1．教学重点：对数运算性质及其推导过程.
2．教学难点：对数的运算性质发现过程及其证明.
（三）教学方法
针对本节课公式多、思维量大的特点，采取实例归纳，诱思探究，引导发现等方法．
（四）教学过程
教学
环节
教学内容师生互动设计意图
复习引入
复习：对数的定义及对数恒等式
log b
a
N b a N
=⇔=（a＞0，且
a≠1，N＞0），
指数的运算性质.
;
m n m n m n m n
a a a a a a
+-
⋅=÷=
();m
n
m n mn n m
a a a a
==
学生口答，教师板书．对数的概念
和对数恒等
式是学习本
节课的基础，
学习新知前
的简单复习，
不仅能唤起
学生的记忆，
而且为学习新课做好了知识上的准备．
提出问题
探究：在上课中，我们知道，对数式可
看作指数运算的逆运算，你能从指数与对数
的关系以及指数运算性质，得出相应的对数
运算性质吗？如我们知道m n m n
a a a+
⋅=，
那m n
+如何表示，能用对数式运算吗？
如：
,,
m n m n m n
a a a M a N a
+
⋅===
设.
于是,
m n
MN a+
=由对数的定义得到
log,
m
a
M a m M
=⇔=
log
n
a
N a n N
=⇔=
log
m n
a
MN a m n MN
+
=⇔+=
log log log()
a a a
M N MN
∴+=放出投影
即：同底对数相加，底数不变，真数相
乘
提问：你能根据指数的性质按照以上的
方法推出对数的其它性质吗？
学生探究，教师启发引导．
概念形成
（让学生探究，讨论）
如果a＞0且a≠1，M＞0，N＞0，那
么：
（1）log log log
a a a
MN M N
=+
让学生多角度思考，探究，教
师点拨．
让学生讨论、研究，教师引
让学生明确
由“归纳一猜
想”得到的结
论不一定正
确，但是发现
（2）log log log a a a M
M N
N
=-（3）log log ()
n
a a M n M
n R =∈证明：
（1）令,m n
M a N a == 则：
m n m n M
a a a N
-=÷= log a
M
m n N
∴-=又由,
m
n
M a N a ==log ,log a a m M n N
∴==即
：
log log log a a a
M
M N m n N
-=-=（3）
0,log ,N
n n
a n N M M a
≠==时令则 log ,b n
a b n M M a
==则N
b n n
a a
∴=N b
∴=即log log log a a a M
M N
N
=-当n =0时，显然成立.
log log n
a a M n M
∴=
导．
数学结论的有效方法，让学生体会“归
纳一猜想一
证明”是数学中发现结论，
证明结论的完整思维方法，让学生体会回到最原
始（定义）的
地方是解决
数学问题的有效策略．通
过这一环节的教学，训练
学生思维的广阔性、发散性，进一步加
深学生对字母的认识和利用，体会从
“变”中发现规律．通过本环节的教学，
进一步体会上一环节的设计意图．
概念合作探究：
（师组织，生交流探讨得出
深化
1. 利用对数运算性质时，各字母的取
值范围有什么限制条件？
2. 性质能否进行推广？
如下结论）
底数a＞0，且a≠1，真数M
＞0，N＞0；只有所得结果中对
数和所给出的数的对数都存在
时，等式才能成立.
（生交流讨论）
性质（1）可以推广到n个
正数的情形，即
log a（M1M2M3…M n）
=log a M1+log a M2
+log a M3+…
+log a M n（其中a＞0，且
a≠1，M1、M2、M3…M n＞0）.
应用举例
例1 用log
a
x，log
a
y，log
a
z表示
下列各式
（1）log
a
xy
z
（2）
2
3
log
8
a
x y
学生思考，口答，教师板演、
点评．
例1分析：利用对数运算
性质直接化简.
（1）log
a
xy
z
log log
a a
xy z
=-
log log log
a a a
x y z
=+-
（2）
2
3
log
a
x y
z
23
log log
a a
x y z
=-
2
log log
a a
x y
=+
通过例题的解
答，巩固所学的
对数运算法则，
提高运算能力．
备选例题
例1 计算下列各式的值： （1）245lg 8lg 34
4932lg 21+-；
（2）22)2(lg 20lg 5lg 8lg 3
2
5lg +⋅++.
[解析]（1）方法一：
原式=21
223
25)57lg(2lg 3
4
)7lg 2(lg 21⨯+--
=5lg 2
17lg 2lg 27lg 2lg 25++-- =5lg 2
1
2lg 2
1+
=2
1)5lg 2(lg 21=+. 方法二：原式=57lg 4lg 72
4lg
+- =4
75
724lg
⨯⨯
=2
1)52lg(=
⨯. （2）原式=2lg5 + 2lg2 + lg5 (2lg2 + lg5) + (lg2)2 =2lg10 + (lg5 + lg2)2 = 2 + (lg10)2 = 2 + 1 = 3.
[小结]易犯lg52 = (lg5)2的错误.
这类问题一般有两种处理方法：一种是将式中真数的积、商、方根运用对数的运算法则将它们化为对数的和、差、积、商，然后化简求值；
另一种方法是将式中的对数的和、差、积、商运用对数的运算法则将它们化为真数的积、商、幂、方根，然后化简求值. 计算对数的值时常用到lg2 + lg5 = lg10 = 1.
例2：（1）已知lg2 = 0.3010，lg3 = 0.4771，求lg 45； （2）设log a x = m ，log a y = n ，用m 、n 表示][log 34
4y
x
a a ⋅；
（3）已知lg x = 2lg a + 3lg b – 5lg c ，求x .
[分析]由已知式与未知式底数相同，实现由已知到未知，只须将未知的真数用已知的真数的乘、除、幂表示，借助对数运算法则即可解答.
[解析]（1）1190lg 45lg 222
=
= 1
[lg9lg10lg 2]2=+- 1
[2lg31lg 2]2
=+- =-+
=2lg 2
1
213lg 0.4771+0.5 – 0.1505 = 0.8266
（2）log a 1113
4
12
log log log a a a a x y =+-
.12
13141log 121log 3141m n y x a a -+=-+=
（3）由已知得：
5
325
3
2
lg
lg lg lg lg c b a c b a x =-+=，
∴5
32c
b a x =
.
[小结]①比较已知和未知式的真数，并将未知式中的真数用已知式的真数的乘、除、乘方表示是解题的关键，并且应注意对数运算法则也是可逆的；②第（3）小题利用下列结论：同底的对数相等，则真数相等. 即log a N = log a M ⇒N = M .。