数学_2010-2011学年湖南省某校高三第一次联考数学试卷(文科)(含答案)

2010-2011学年湖南省某校高三第一次联考数学试卷（文科）
一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）
1. 已知集合A={x|x≥1}，B={x|x>2}，则（）
A A⊆
B B B⊆A
C A∩B={x|x≥1}
D A∪B={x|x>2}
2. a、b、c、d∈R，则“ad+bc=0”是“a+bi与c+di（i为虚数单位）的积为实数”的（）条件．
A 必要不充分
B 充分不必要
C 充要
D 既不充分也不必要
3. 若列联表如下：
则K的值约为（）
A 1.4967
B 1.64
C 1.597
D 1.71
4. 函数y=−1
2cos2x+sinx−1
2
的值域为（）
A [−1, 1]
B [−5
4, 1] C [−5
4
, −1] D [−1, 5
4
]
5. 如图，是计算1
2+1
4
+1
6
+...+1
50
的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是
（）
A i>25
B i<25
C i>50
D i<50
6. 设抛物线y2=4x上一点P到直线x=−3的距离为5，则点P到该抛物线焦点的距离是（）
A 3
B 4
C 6
D 8
7. 正方体ABCD−A′B′C′D′中，AB的中点为M，DD′的中点为N，则异面直线B′M与CN所成角的大小为（）
A 0∘
B 45∘
C 60∘
D 90∘
8. 若函数f(x)=√4x−x2−x+b−3有两个零点，则b的取值范围是（）
A [−1−2√2, 3]
B (5−2√2, 3]
C (1−2√2, 3)
D (1−√2, 3)
二、填空题（共7小题，每小题5分，满分35分）
9. 炼钢时，通过加入有特定化学元素的材料，使炼出的钢满足一定的指标要求，假设为了炼出某特定用途的钢，每吨需要加入某元素的量在500g到1000g之间，用0.618法安排实验，则第二次试点加入量可以是________g．
10. 已知向量a →
=(2, −1)，b →
=(−1, m)，c →=(−1, 2)，若(a →
+b →
) // c →
，则m =________． 11. 已知实数x ，y 满足{2x +y −2≥0
x −2y +4≥03x −y −3≤0
，则x 2+y 2的最大值为________．
12. 如图，是某赛季一篮球运动员每场比赛得分的茎叶图．则这组数据的中位数是________
平均数是________
13. 在极坐标系中，已知圆ρ=2cosθ与双曲线ρ2cos 2θ−4ρ2sin 2θ=4．则它们的交点的直角坐标为________．
14. 在平面直角坐标系xOy 中，设D 是由不等式组{x +y −1≤0
x −y +1≥0y ≥0 表示的区域，E 是到原点的
距离不大于1的点构成的区域，向E 中随机投一点，则所投点落在D 中的概率是________． 15. 设函数f(x)=x 2+3，对任意x ∈[1, +∞)，f(3√2x
m
)+m 2f(x)≥f(x −1)+3f(m)恒
成立，则实数m 的取值范围是________．
三、解答题（共6小题，满分75分）
16. 为了解农民年收入情况，某乡镇对本镇10000户农民按1 0%
的比例进行了抽样调查，测得户年收入10000∼50000元的情况统计图如下：
（1）估计该镇1万元∼2万元的农户数．
（2）估计该镇农户收入在2∼4.5万元之间的概率． （将频率看成概率）
（3）如果规定年户收入达不到2.5万元的比例低于25%时，则需要国家政策扶持，请问该乡镇需不需要国家政策扶持？为什么？
17. 若△ABC 中，a 、b 、c 分别为内角A 、B 、C 的对边，且1−2sinBsinC =cos2B +cos2C −cos2A ． （1）求A 的大小；
（2）求sinB +sinC 的最值．
18. 设某几何体及其三视图：如图（尺寸的长度单位：m ）
（1）O 为AC 的中点，证明：BO ⊥平面APC ； （2）求该几何体的体积；
（3）求点A 到面PBC 的距离．
19. 随着国家政策对节能环保型小排量车的调整，两款1.1升排量的Q 型车、R 型车的销量引起市场的关注．已知2010年1月Q 型车的销量为a 辆，通过分析预测，若以2010年1月为第1月，其后两年内Q 型车每月的销量都将以1%的比率增长，而R 型车前n 个月的销售总量T n 大致满足关系式：T n =228a(1.012n −1)(n ≤24, n ∈N ∗)． （1）求Q 型车前n 个月的销售总量S n 的表达式；
（2）比较两款车前n 个月的销售总量S n 与T n 的大小关系；
（3）试问从第几个月开始Q 型车的月销售量小于R 型车月销售量的20%，并说明理由． （参考数据：5
4.5828≈1.09，lg1.09
lg1.01≈8.66）
20. 已知函数f(x)=(a −1)x +aln(x −2)，(a <1)． （1）讨论函数f(x)的单调性；
（2）设a <0时，对任意x 1、x 2∈(2, +∞)，
f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2
<−4恒成立，求a 的取值范围．
21. 已知椭圆x 2
a 2+y 2
b 2=1(a >b >0)的一个焦点坐标为(√3, 0)，短轴一顶点与两焦点连线夹角为120∘．
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线l 与椭圆相交于不同的两点A 、B ，已知点A 的坐标为(−a, 0)，点Q(0, m)在线段AB 的垂直平分线上且QA ¯
⋅QB ¯
≤4，求m 的取值范围．
2010-2011学年湖南省某校高三第一次联考数学试卷（文科）答案
1. B
2. C
3. A
4. B
5. A
6. A
7. D
8. B
9. 691 10. −1 11. 13 12. 16．,
1207
13. (2, 0) 14. 1
π
15. (−∞, −√6]∪[−√3, 0)∪(0, √3]∪[√6, +∞) 16. 解：（1）由频率分步直方图可以看出抽取的农户中有50+110=160户， 该镇收入在1万元∼2万元的农户数的农业户有1600户．
（2）由题意知本题是一个等可能事件的概率，
试验发生所包含的共有1000个结果，
满足条件的事件是155+200+160+150+125=790，
∴ P=790
1000
=0.79．
（3）年户收入达不到2.5万元的农户占50+110+155
1000
=31.5%>25%，∴ 需要国家政策扶持．
17. 解：（1）∵ 1−2sinBsinC=cos2B+cos2C−cos2A，
∴ 1−2sinBsinC=1−2sin2B+1−2sin2C−1+2sin2A，
由正弦定理可得：−2bc=−2b2−2c2+2a2，
整理得：b2+c2−a2=bc，
∴ cosA=b2+c2−a2
2bc =1
2
，
∴ A=60∘；
（2）sinB+sinC=sinB+sin(120∘−B)=sinB+√3
2cosB+1
2
sinB
=√3
2
cosB+
3
2
sinB=√3(
1
2
cosB+
√3
2
sinB)
=√3sin(B+30∘)，
∵ 0∘<B<120∘，
∴ 30∘<B+30∘<150∘，
1
2
<sin(B+30∘)≤1，
∴ √3
2
<√3sin(B+30∘)≤√3，
∴ sinB+sinC无最小值，最大值为√3．
18. 解：（1）证明：由三视图可知，面PAC⊥面ABC，BO⊥AC，
∴ BO⊥平面APC．
（2）过P点在面PAC内作PE⊥AC交AC于E，
由俯视图可知：CE=1，AE=3
又BO=3，AC=4，∴ S△ABC=1
2
×4×3=6，
∴ V P−ABC=1
3
×6×2=4．
（3）∵ PC=√PE2+EC2=√5，BE=√BO2+OE2=√10，∴ PB=√BE2+PE2=√14，
BC=√BO2+OC2=√13，∴ cos∠PBC=PB2+BC2−PC2
2PB⋅BC =14+13−5
2√14⋅√13
=22
2√14×13
=11
√14×13
．
∴ sin∠PBC =√1−
12114×13
=√
6114×13，∴ S △PBC =12PB ⋅BC ⋅sin∠PBC =1
2
√14⋅√13⋅√61√14⋅13
=
√61
2
． 设点A 到面PBC 的距离为ℎ．∵ V A−PBC =V P−ABC =1
3ℎ⋅S △PBC =4， ∴ ℎ=
12S △_PBC
=
√612
=
24√61
61
． 19. 解：（1）Q 型车每月的销售量{a n }是以首项a 1=a ，公比q =1+1%=1.01的等比数列； 前n 个月的销售总量S n =
a(1.01n −1)1.01−1
=100a(1.01n −1)(n ∈N ∗，且n ≤24)．
（2）∵ S n −T n =100a(1.01n −1)−228a(1.012n −1)=100a(1.01n −1)−228a(1.01n −1)(1.01n +1)=−228a(1.01n −1)•(1.01n +32
57)． 又1.01n −1>0，1.01n +
3257
>0，∴ S n <T n ．
（3）记Q 、R 两款车第n 个月的销量分别为a n 和b n ， 则a n =a ×1.01n−1．
当n ≥2时，b n =T n −T n−1=228a(1.012n −1)−228a(1.012n−2−1)=228a ×(1.012−1)×1.012n−2=4.5828a1.012n−2． b 1=4.5828a （或228×0.0201a ），显然20%×b 1<a 1． 当n ≥2时，若a n <20%×b n ，
即a ×1.01n−1<1
5×4.5828a ×1.012n−2， 1.012（n−1）>
54.5828×1.01n−1，1.01n−1>
54.5828
≈1.09，n −1>
lg1.09lg1.01
≈8.66．
∴ n ≥10，即从第10个月开始，Q 型车月销售量小于R 型车月销售量的20%． 20. 解：（1）∵ f′(x)=(a −1)+a x−2=(a−1)x−a+2
x−2
①a <0时，f′(x)=(a−1)(x−
a−2
a−1
)x−2
∵
a−2a−1
−2=
−a a−1
<0，∴ 0<
a−2a−1
<2，∴ x >2时，f′(x)<0
∴ f(x)在(2, +∞)上递减．
②a =0时，f(x)=−x ，在(2, +∞)上递减． ③0<a <1时，
a−2a−1
>2
∴ x ∈(2, a−2
a−1)时，f′(x)>0，f(x)在(2, a−2
a−1)上递增； 当x ∈(a−2
a−1, +∞)时，f′(x)<0，f(x)在(a−2
a−1, +∞)上递减； ∴ 综上所述，当a ≤0时，f(x)在(2, +∞)上递减，
当0<a <1时，f(x)在(2, a−2
a−1)上递增，在(a−2
a−1, +∞)上递减．
（2）当a <0时，f(x)在(2, +∞)上递减； 不妨设任意x 1，x 2∈(2, +∞)且x 1<x 2
f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2
<−4可变为f(x 1)−f(x 2)>−4(x 1−x 2)
f(x 1)+4x 1>f(x 2)+4x 2
∴ 令g(x)=f(x)+4x ，∴ g(x)在(2, +∞)上递减 ∴ g′(x)<0在(2, +∞)上恒成立 ∴ a −1+
a x−2+4<0在(2, +∞)上恒成立．
a <−3+3
x−1在(2, +∞)上恒成立 而−3<−3+
3x−1
<0，∴ a ≤−3．
21. 解：（1）由题意知a =2b ，c =√3，a 2=b 2+c 2 解得a =2，b =1，∴ 椭圆方程为
x 24
+y 2=1．
（2）由（1）可知A(−2, 0)，设B 点坐标为(x 1, y 1)， 直线l 的方程为y =k(x +2)
于是A 、B 两点的坐标满足方程组{y =k(x +2)
x 24
+y 2=1
由方程消去y 并整理得：(1+4k 2)x 2+16k 2x +16k 2−4=0 由−2x 1=
16k 2−41+4k
2得x 1=
2−8k 21+4k
2，从而y 1=
4k 1+4k 2
设线段AB 的中点为M ，则M 的坐标为(−8k 2
1+4k 2, 2k
1+4k 2)
以下分两种情况：
①当k =0时，点B 的坐标为(2, 0)，线段AB 的垂直平分线为y 轴， 于是QA ¯
=(−2, −m)，QB ¯
=(2, −m)， 由QA ¯
⋅QB ¯≤4
得：−2√2≤m ≤2√2．
②当k ≠0时，线段AB 的垂直平分线方程为 y −2k 1+4k 2=−1k (x +8k 2
1+4k 2)
令x =0，得m =−6k
1+4k 2 由QA ¯
⋅QB ¯
=−2x 1−m(y 1−m)
=−2(2−8k 2)1+4k 2+6k 1+4k 2(4k 1+4k 2+6k 1+4k 2
)
=4(16k4+15k2−1)
(1+4k2)2
≤4
解得−√14
7≤k≤√14
7
且k≠0
∴ m=−6k
1+4k2=−61
k
+4k
∴ 当−√14
7≤k<0时，1
k
+4k≤−4
当0<k≤√14
7时，1
k
+4k≥4
∴ −3
2≤m≤3
2
，且m≠0
综上所述，−3
2≤m≤3
2
，且m≠0．。