湘教版八年级数学下册：2.6.1菱形的性质(共17张PPT)
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义务教育教科书（湘教）八年级数学下册
第 2章
前面我们学习了平行四边形和矩形，知道 了如果平行四边形有一个角是直角时,成为什么 图形? (矩形,由角变化得到)
如果从边的角度,将平行四边形特殊化,又 会得到什么特殊的四边形呢?
在平行四边形中，如果内角大小保持不变，仅改 变边的长度，请仔细观察和思考，在这变化过程中， 哪些关系没变？哪些关系变了？
有同学是这样做的：将一张长方形的纸对折、 再对折，然后沿图中的虚线剪下，打开即可.你 知道其中的道理吗？
观察得到的菱形,它是中心对称图形吗?它是 轴对称图形吗?如果是，有几条对称轴?对称轴 之间有什么位置关系?
A
菱形是中心对称图形
B D 菱形是轴对称图形
C
观察得到的菱形,它是中心对称图形吗?、它是轴对 称图形吗?如果是，有几条对称轴?对称轴之间有什么 位置关系? A 从图中你能得到哪些结论? 并说明理由. D 提示:从边、角、对角 线、面积等方面来探讨
平行四边形
邻边相等
如果改变了边的长度，使两邻边相等，那么这个 平行四边形成为怎样的四边形？
平行四边形
邻边相等
菱形
如果改变了边的长度，使两邻边相等，那么 这个平行四边形成为怎样的四边形？
有一组邻边相等的平行四边形叫菱形． AB=BC
ABCD
四边形ABCD是菱形
让我们一同走进生活中的菱形
如何利用折纸、剪切的方法，既快又准确地 剪出一个菱形的纸片？
所以，AB=
OA OB 2 1.5 6.25 2.5 （cm）
2 2 2 2
因此，菱形ABCD的周长为2.5 ×4=10（cm）
D A B O C
性质1. 菱形的四条边都相等。
数学语言
∵四边形ABCD是菱形
∴ AB=BC=CD=DA 性质2. 菱形的对角线互相垂直。 ∴ AC⊥BD
4.已知：如图，AD平分∠BAC，DE∥AC交AB于E， DF∥AB交AC于F． 求证：EF⊥AD；
A E
3 12
F D C
B
5.如图，E为菱形ABCD边BC上一点，且AB=AE， AE交BD于O，且∠DAE=2∠BAE， 求证：EB=OA。
A O
D
B
E
C
∴AC⊥BD，AC平分∠BAD
同理： AC平分∠BCD； BD平分∠ABC和∠ADC
B
Cቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
例1.已知菱形ABCD的两条对角线AC,BD的长度分 别为4cm,3cm,求菱形ABCD的面积和周长。 D 解：菱形ABCD的面积为 1 A S= ×4 ×3=6(cm2 ) C O 2 在Rt △ ABO中， B 1 1 1 1 OA= AC= ×4=2（cm）,OB= DB= 2×3=1.5(cm) 2 2 2
D
O
C
A
E
B
3.四边形ABCD是菱形，O是两条对角线的交点，已知 AB=5cm，AO=4cm，求对角线BD的长。 D
解：∵四边形ABCD是菱形 A 4 5
2 2 2 2
∴AC⊥BD
2
O
C 3 B
∴ OB AB OA 5 4 9 ∴OB=3 ∴ BD=2OB=6 cm
有关菱形问题可转化为 直角三角形或等腰三角形 的问题来解决
B
C
菱形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的所有 性质. 由于平行四边形的对边相等， 而菱形的邻边相等， 故： 性质1： A 菱形的四条边都相等。 B D 又： 性质2：
C
菱形的对角线互相垂直。
命题：菱形的对角线互相垂直平分， 并且每一条对角线平分一组对角。 已知：菱形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，如下图， 求证：AC⊥BD ； AC平分∠BAD和∠BCD ；BD平分∠ABC和∠ADC 证明：∵四边形ABCD是菱形 ∴AB=AD（菱形的四条边都相等） 在△ABD中，∵BO=DO A O D
D O
A
C
B
1.如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于 点O。 （1）图中有哪些线段是相等的？哪些角是相等 的？
（2）有哪些特殊的三角形？
2.已知如图，菱形ABCD中，E是AB的中点，且DE⊥AB， AB=1。 求（1）∠ABC的度数； （2）对角线AC、BD的长； （3）菱形ABCD的面积。
第 2章
前面我们学习了平行四边形和矩形，知道 了如果平行四边形有一个角是直角时,成为什么 图形? (矩形,由角变化得到)
如果从边的角度,将平行四边形特殊化,又 会得到什么特殊的四边形呢?
在平行四边形中，如果内角大小保持不变，仅改 变边的长度，请仔细观察和思考，在这变化过程中， 哪些关系没变？哪些关系变了？
有同学是这样做的：将一张长方形的纸对折、 再对折，然后沿图中的虚线剪下，打开即可.你 知道其中的道理吗？
观察得到的菱形,它是中心对称图形吗?它是 轴对称图形吗?如果是，有几条对称轴?对称轴 之间有什么位置关系?
A
菱形是中心对称图形
B D 菱形是轴对称图形
C
观察得到的菱形,它是中心对称图形吗?、它是轴对 称图形吗?如果是，有几条对称轴?对称轴之间有什么 位置关系? A 从图中你能得到哪些结论? 并说明理由. D 提示:从边、角、对角 线、面积等方面来探讨
平行四边形
邻边相等
如果改变了边的长度，使两邻边相等，那么这个 平行四边形成为怎样的四边形？
平行四边形
邻边相等
菱形
如果改变了边的长度，使两邻边相等，那么 这个平行四边形成为怎样的四边形？
有一组邻边相等的平行四边形叫菱形． AB=BC
ABCD
四边形ABCD是菱形
让我们一同走进生活中的菱形
如何利用折纸、剪切的方法，既快又准确地 剪出一个菱形的纸片？
所以，AB=
OA OB 2 1.5 6.25 2.5 （cm）
2 2 2 2
因此，菱形ABCD的周长为2.5 ×4=10（cm）
D A B O C
性质1. 菱形的四条边都相等。
数学语言
∵四边形ABCD是菱形
∴ AB=BC=CD=DA 性质2. 菱形的对角线互相垂直。 ∴ AC⊥BD
4.已知：如图，AD平分∠BAC，DE∥AC交AB于E， DF∥AB交AC于F． 求证：EF⊥AD；
A E
3 12
F D C
B
5.如图，E为菱形ABCD边BC上一点，且AB=AE， AE交BD于O，且∠DAE=2∠BAE， 求证：EB=OA。
A O
D
B
E
C
∴AC⊥BD，AC平分∠BAD
同理： AC平分∠BCD； BD平分∠ABC和∠ADC
B
Cቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
例1.已知菱形ABCD的两条对角线AC,BD的长度分 别为4cm,3cm,求菱形ABCD的面积和周长。 D 解：菱形ABCD的面积为 1 A S= ×4 ×3=6(cm2 ) C O 2 在Rt △ ABO中， B 1 1 1 1 OA= AC= ×4=2（cm）,OB= DB= 2×3=1.5(cm) 2 2 2
D
O
C
A
E
B
3.四边形ABCD是菱形，O是两条对角线的交点，已知 AB=5cm，AO=4cm，求对角线BD的长。 D
解：∵四边形ABCD是菱形 A 4 5
2 2 2 2
∴AC⊥BD
2
O
C 3 B
∴ OB AB OA 5 4 9 ∴OB=3 ∴ BD=2OB=6 cm
有关菱形问题可转化为 直角三角形或等腰三角形 的问题来解决
B
C
菱形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的所有 性质. 由于平行四边形的对边相等， 而菱形的邻边相等， 故： 性质1： A 菱形的四条边都相等。 B D 又： 性质2：
C
菱形的对角线互相垂直。
命题：菱形的对角线互相垂直平分， 并且每一条对角线平分一组对角。 已知：菱形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，如下图， 求证：AC⊥BD ； AC平分∠BAD和∠BCD ；BD平分∠ABC和∠ADC 证明：∵四边形ABCD是菱形 ∴AB=AD（菱形的四条边都相等） 在△ABD中，∵BO=DO A O D
D O
A
C
B
1.如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于 点O。 （1）图中有哪些线段是相等的？哪些角是相等 的？
（2）有哪些特殊的三角形？
2.已知如图，菱形ABCD中，E是AB的中点，且DE⊥AB， AB=1。 求（1）∠ABC的度数； （2）对角线AC、BD的长； （3）菱形ABCD的面积。