2017-2018学年数学人教A版选修4-5优化练习：第二讲 一 比较法

[课时作业]
[A 组　基础巩固]
1．下列四个数中最大的是( )
A ．lg 2
B ．lg 2
C ． (lg 2)2
D ．lg(lg 2)
解析：∵1<<2<10，∴0<lg <lg 2<1，
22∴(lg 2)2<lg 2，lg(lg 2)<0.∴选A.
答案：A
2．若a ，b 为不相等的正数，则(ab k ＋a k b )－(a k ＋1＋b k ＋1)(k ∈N *)的符号(
)A ．恒正 B ．恒负
C ．与k 的奇偶性有关
D ．与a ，b 大小无关
解析：(ab k ＋a k b )－a k ＋1－b k ＋1
＝b k (a －b )＋a k (b －a )＝(a －b )(b k －a k )
∵a >0，b >0，若a >b ，则a k >b k ，
∴(a －b )(b k －a k )<0；
若a <b ，则a k <b k ，∴(a －b )(b k －a k )<0.
答案：B
3．a 、b 都是正数，P ＝，Q ＝，则P ，Q 的大小关系是(
)a ＋b
2a ＋b A ．P ＞Q B ．P ＜Q
C ．P ≥Q
D ．P ≤Q
解析：＝≤＝1，
P 2Q 2a ＋b ＋2ab 2(a ＋b )a ＋b ＋a ＋b
2(a ＋b )∴P ≤Q ，应选D.
答案：D
4．如果log a 3>log b 3且a ＋b ＝1，那么( )
A ．0<a <b <1
B ．0<b <a <1
C ．1<a <b
D ．1<b <a
解析：∵a >0，b >0，
又∵a ＋b ＝1，∴0<a <1,0<b <1，
∴lg a <0，lg b <0，由log a 3>log b 3
⇒－>0
lg 3
lg a lg 3lg b ⇒－>0
1lg a 1lg b ⇒>0
lg b －lg a
lg a lg b ⇒lg b >lg a ⇒b >a .
∴0<a <b <1.
答案：A
5．已知a >b >0，c >d >0，m ＝－，n ＝，则m 与n 的大小关ac bd (a －b )(c －d )系是( )
A ．m <n
B ．m >n
C ．m ≥n
D ．m ≤n
解析：∵a >b >0，c >d >0，
∴ac >bd >0，>，
ac bd ∴m >0，n >0.又∵m 2＝ac ＋bd －2，
abcd n 2＝ac ＋bd －(ad ＋bc )，又由ad ＋bc >2，
abcd ∴－>－ad －bc ，∴m 2>n 2.∴m >n .
abcd 答案：B
6．设P ＝a 2b 2＋5，Q ＝2ab －a 2－4a ，若P >Q ，则实数a ，b 满足的条件为________．
解析：P －Q ＝a 2b 2＋5－(2ab －a 2－4a )
＝a 2b 2＋5－2ab ＋a 2＋4a ＝a 2b 2－2ab ＋1＋4＋a 2＋4a
＝(ab －1)2＋(a ＋2)2.
∵P >Q ，∴P －Q >0，即(ab －1)2＋(a ＋2)2>0
∴ab ≠1或a ≠－2.
答案：ab ≠1或a ≠－2
7．已知a ，b ，m ，n 均为正数，且a ＋b ＝1，mn ＝2，
则(am ＋bn )(bm ＋an )的最小值为________．
解析：(am ＋bn )(bm ＋an )＝abm 2＋(a 2＋b 2)mn ＋abn 2＝
ab (m 2＋n 2)＋2(a 2＋b 2)≥2abmn ＋2(a 2＋b 2)＝4ab ＋2(a 2＋b 2)＝
2(a 2＋2ab ＋b 2)＝2(a ＋b )2＝2(当且仅当m ＝n ＝时等号成立)．
2答案：2
8．设a >b >0，x ＝－，y ＝－，则x ，y 的大小关系是a ＋b a a a －b x ________y .解析：∵＝＝<＝1，且x >0，y >0，
x y a ＋b －a a －a －b a ＋a －b a ＋a ＋b a ＋a ＋b a ＋a ＋b ∴x <y
答案：<
9．已知a >0，b >0，求证：＋≥＋.
a b b a a b 证明：法一：＝＋a b ＋b
a a ＋
b a b a ＋b b a
a ＋b
＋a ab ＋b b
ab ＋a
＝ab ＋a 2＋b ab ＋b 2
2ab ＋(a ＋b )ab
＝，
a 2＋
b 2＋(a ＋b )ab
2ab ＋(a ＋b )ab 又∵a 2＋b 2≥2ab ，∴≥＝1，a 2＋b 2＋(a ＋b )ab 2ab ＋(a ＋b )ab 2ab ＋(a ＋b )ab
2ab ＋(a ＋b )ab 当且仅当a ＝b >0时取等号．
＋≥＋.
a b b
a a
b 法二：＋－(＋)
a b b
a a
b ＝(－)＋(－)．
a b b b
a a
＝＋a －b
b b －a a ＝(a －b )(a －b )
ab ＝≥0
(a ＋b )(a －b )2ab 当且仅当a ＝b >0时取“＝”
＋≥＋.
a b b
a a
b 10．已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b ，当p ，q 满足p ＋q ＝1时，
证明：pf (x )＋qf (y )≥f (px ＋qy )对于任意实数x ，y 都成立的充要条件是0≤p ≤1.证明：pf (x )＋qf (y )－f (px ＋qy )
＝p (x 2＋ax ＋b )＋q (y 2＋ay ＋b )－(px ＋qy )2－a (px ＋qy )－b
＝p (1－p )x 2＋q (1－q )y 2－2pqxy
＝pq (x －y )2.
充分性：若0≤p ≤1，q ＝1－p ∈[0,1]．
∴pq ≥0，∴pq (x －y )2≥0，
∴pf (x )＋qf (y )≥f (px ＋qy )．
必要性：若pf (x )＋qf (y )≥f (px ＋qy )．
则pq (x －y )2≥0，
∵(x －y )2≥0，∴pq ≥0.
即p (1－p )≥0，∴0≤p ≤1.
综上所述，原命题成立．
[B 组　能力提升]
1．已知a >0，且a ≠1，P ＝log a (a 3＋1)，Q ＝log a (a 2＋1)，则P ，Q 的大小关系是( )
A ．P >Q
B ．P <Q
C ．P ＝Q
D ．大小不确定
解析：P －Q ＝log a (a 3＋1)－log a (a 2＋1)＝log a .
a 3＋1
a 2＋1
当0<a <1时，0<a 3＋1<a 2＋1，
则0<<1，∴log a >0，即P －Q >0.
a 3＋1a 2＋1a 3＋1
a 2＋1∴P >Q .
当a >1时，a 3＋1>a 2＋1>0，>1，
a 3＋1
a 2＋1∴log a >0，即P －Q >0.∴P >Q .
a 3＋1
a 2＋1答案：A
2．设m >n ，n ∈N ＋，a ＝ (lg x )m ＋(lg x )－m ，b ＝(lg x )n ＋(lg x )－n ，x >1，则a 与b 的大小关系为( )
A ．a ≥b
B ．a ≤b
C ．与x 值有关，大小不定
D ．以上都不正确
解析：a －b ＝lg m x ＋lg －m x －lg n x －lg －n x
＝(lg m x －lg n x )－(－)
1lg nx 1
lg mx ＝(lg m x －lg n x )－lg mx －lg nx
lg mx lg nx
＝(lg m x －lg n x )(1－)
1
lg mx lg nx ＝(lg m x －lg n x )(1－)．
1
lg m ＋nx ∵x >1，∴lg x >0.
当0<lg x <1时， a >b ；
当lg x ＝1时，a ＝b ；
当lg x >1时，a >b .
∴应选A.
答案：A
3．设m ＝，n ＝，那么它们的大小关系是m ________n .
|a |＋|b |
|a ＋b ||a －b |||a |－|b ||解析：＝m n |a |＋|b |
|a ＋b |
|a －b |
||a |－|b ||
＝(|a |＋|b |)||a |－|b ||
|a ＋b |·|a －b |
＝＝1，∴m ＝n .
|a 2－b 2||a 2－b 2|答案：＝
4．一个个体户有一种商品，其成本低于元．如果月初售出可获利100元，3 5009再将本利存入银行，已知银行月息为2.5%，如果月末售出可获利120元，但要付成本的2%的保管费，这种商品应________出售(填“月初”或“月末”)．解析：设这种商品的成本费为a 元．
月初售出的利润为L 1＝100＋(a ＋100)×2.5%，
月末售出的利润为L 2＝120－2%a ，
则L 1－L 2＝100＋0.025a ＋2.5－120＋0.02a ＝0.045(a －)，
3 5009∵a <，
3 5009∴L 1<L 2，月末出售好．
答案：月末
5．设直角三角形的斜边长为c ，两直角边长分别为a ，b ，试比较c 3与a 3＋b 3的大小．
解析：∵c 是直角三角形的斜边长，a ，b 是直角边长，
∴a ＋b >c,0<<1,0<<1，且a 2＋b 2＝c 2，a c b c ∴＝3＋3<2＋2＝＝1，a 3＋b 3
c 3(a c )(b c )(a c )(b c )
a 2＋
b 2
c 2
即<1，故a 3＋b 3<c 3.
a 3＋
b 3
c 26．已知函数f (x )＝log 2(x ＋m )，且f (0)、f (2)、f (6)成等差数列．
(1)求f (30)的值；
(2)若a 、b 、c 是两两不相等的正数，且a 、b 、c 成等比数列，试判断f (a )＋f (c )与2f (b )的大小关系，并证明你的结论．
解析：(1)由f (0)、f (2)、f (6)成等差数列，得
2log 2(2＋m )＝log 2m ＋log 2(6＋m )，
即(m ＋2)2＝m (m ＋6)(m >0)．
∴m ＝2.
∴f (30)＝log 2(30＋2)＝5.
(2)f (a )＋f (c )>2f (b )．
证明如下：
2f (b )＝2log 2(b ＋2)＝log 2(b ＋2)2，
f (a )＋f (c )＝lo
g 2[(a ＋2)(c ＋2)]，
又b 2＝ac ，
∴(a ＋2)(c ＋2)－(b ＋2)2
＝ac ＋2(a ＋c )＋4－b 2－4b －4＝2(a ＋c )－4b .
∵a ＋c >2＝2b (a ≠c )，
ac ∴2(a ＋c )－4b >0，
∴log 2[(a ＋2)(c ＋2)]>log 2(b ＋2)2，
即f (a )＋f (c )>2f (b )．。