2021版高考数学一轮总复习第五章平面向量与复数题组训练30平面向量基本定理及坐标运算理202105

2021版高考数学一轮总复习第五章平面向量与复数题组训练30平面向量基本定理及坐标运算理
202105154170
1．已知点A(－1，1)，B(2，y)，向量a ＝(1，2)，若AB →
∥a ，则实数y 的值为( ) A ．5 B ．6 C ．7 D ．8
答案 C
解析 AB →＝(3，y －1)，a ＝(1，2)，AB →
∥a ，则2×3＝1×(y－1)，解得y ＝7，故选C. 2．已知M(3，－2)，N(－5，－1)，且MP →＝12MN →
，则P 点的坐标为( )
A ．(－8，1)
B ．(－1，－32)
C ．(1，3
2)
D ．(8，－1)
答案 B
解析 设P(x ，y)，则MP →
＝(x －3，y ＋2)．
而12MN →＝12(－8，1)＝(－4，1
2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －3＝－4，y ＋2＝12.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－32. ∴P(－1，－3
2
)．故选B.
3．假如e 1，e 2是平面α内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是( ) A ．e 1与e 1＋e 2 B ．e 1－2e 2与e 1＋2e 2 C ．e 1＋e 2与e 1－e 2 D ．e 1＋3e 2与6e 2＋2e 1
答案 D
解析 选项A 中，设e 1＋e 2＝λe 1，则⎩⎪⎨⎪⎧1＝λ，
1＝0，无解；选项B 中，设e 1－2e 2＝λ(e 1＋2e 2)，
则⎩
⎪⎨⎪⎧λ＝1，
－2＝2λ，无解；选项C 中，设e 1＋e 2＝λ(e 1－e 2)，则⎩
⎪⎨⎪⎧λ＝1，
1＝－λ，无解；选项D 中，e 1
＋3e 2＝1
2
(6e 2＋2e 1)，因此两向量是共线向量．
4．设向量a ＝(1，－3)，b ＝(－2，4)，若表示向量4a ，3b －2a ，c 的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量c 为( ) A ．(1，－1) B ．(－1，1) C ．(－4，6) D ．(4，－6)
答案 D
解析 由题知4a ＝(4，－12)，3b －2a ＝(－6，12)－(2，－6)＝(－8，18)，由4a ＋(3b －2a )＋c ＝0，知c ＝(4，－6)，选D.
5．(2020·河北唐山一模)在△ABC 中，∠B ＝90°，AB →＝(1，－2)，AC →
＝(3，λ)，则λ＝( ) A ．－1 B ．1 C.32 D ．4 答案 A
解析 在△ABC 中，∵AB →＝(1，－2)，AC →＝(3，λ)，∴BC →＝AC →－AB →
＝(2，λ＋2)．又∵∠B ＝90°，∴AB →⊥BC →，∴AB →·BC →
＝0，即2－2(λ＋2)＝0，解得λ＝－1.故选A.
6．(2020·湖北襄阳模拟)设向量a ＝(m ，2)，b ＝(1，m ＋1)，且a 与b 的方向相反，则实数m 的值为( ) A ．－2 B ．1
C ．－2或1
D ．m 的值不存在 答案 A
解析 向量a ＝(m ，2)，b ＝(1，m ＋1)，因为a ∥b ，因此m(m ＋1)＝2×1，解得m ＝－2或1.当m ＝1时，a ＝(1，2)，b ＝(1，2)，a 与b 的方向相同，舍去；当m ＝－2时，a ＝(－2，2)，b ＝(1，－1)，a 与b 的方向相反，符合题意．故选A.
7．在▱ABCD 中，若AD →＝(3，7)，AB →＝(－2，3)，对角线交点为O ，则CO →
等于( ) A ．(－1
2，5)
B ．(－1
2，－5)
C ．(1
2，－5)
D ．(1
2，5)
答案 B
解析 CO →
＝－12AC →＝－12(AD →＋AB →)＝－12(1，10)＝(－12
，－5)．
8．(2020·湖北襄樊一模)已知OA →＝(1，－3)，OB →＝(2，－1)，OC →
＝(k ＋1，k －2)，若A ，B ，C 三点不能构成三角形，则实数k 应满足的条件是( ) A ．k ＝－2
B ．k ＝12
C ．k ＝1
D ．k ＝－1
答案 C
解析 若点A ，B ，C 不能构成三角形，则向量AB →与AC →共线. 因为AB →＝OB →－OA →
＝(2，－1)－(1，－3)＝(1，2)，AC →＝OC →－OA →
＝(k ＋1，k －2)－(1，－3)＝(k ，k ＋1)．因此1×(k＋1)－2k ＝0，解得k ＝1，故选C.
9．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，设向量OA →＝a ，OB →
＝b ，其中a ＝(3，1)，b ＝(1，3)．若OC →
＝λa ＋μb ，且0≤λ≤μ≤1，则C 点所有可能的位置区域用阴影表示正确的是( )
答案 A
解析 由题意知OC →
＝(3λ＋μ，λ＋3μ)，取专门值，λ＝0，μ＝0，知所求区域包含原点，取λ＝0，μ＝1，知所求区域包含(1，3)，从而选A.
10．(2021·安徽合肥一模)已知a ＝(1，3)，b ＝(－2，k)，且(a ＋2b )∥(3a －b )，则实数k ＝________． 答案 －6
解析 ∵a ＝(1，3)，b ＝(－2，k)，∴a ＋2b ＝(－3，3＋2k)，3a －b ＝(5，9－k)．∵(a ＋2b )∥(3a －b )，∴－3(9－k)－5(3＋2k)＝0，解得k ＝－6.
11．已知梯形ABCD ，其中AB∥CD，且DC ＝2AB ，三个顶点A(1，2)，B(2，1)，C(4，2)，则点D 的坐标为________． 答案 (2，4)
解析 ∵在梯形ABCD 中，DC ＝2AB ，∴DC →＝2AB →.
设点D 的坐标为(x ，y)，则DC →＝(4，2)－(x ，y)＝(4－x ，2－y)，AB →
＝(2，1)－(1，2)＝(1，－1)，
∴(4－x ，2－y)＝2(1，－1)，即(4－x ，2－y)＝(2，－2)，
∴⎩⎪⎨⎪⎧4－x ＝2，2－y ＝－2，解得⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4， 故点D 的坐标为(2，4)．
12．已知A(－3，0)，B(0，3)，O 为坐标原点，C 在第二象限，且∠AOC＝30°，OC →＝λOA →＋OB →
，则实数λ的值为________． 答案 1
解析 由题意知OA →＝(－3，0)，OB →＝(0，3)，则OC →
＝(－3λ，3)． 由∠AOC＝30°知以x 轴的非负半轴为始边，OC 为终边的一个角为150°， ∴tan150°＝3－3λ，即－33＝－3
3λ
，∴λ＝1.
13．(2020·河北联盟二模)已知点A(1，0)，B(1，3)，点C 在第二象限，且∠AOC＝150°，OC →＝－4OA →＋λOB →
，则λ＝________． 答案 1
解析 ∵点A(1，0)，B(1，3)，点C 在第二象限，OC →＝－4OA →＋λOB →
，∴C (λ－4，3λ)．∵∠AOC＝150°，∴∠COx ＝150°，∴tan150°＝3λλ－4＝－3
3，解得λ＝1.
14．已知|OA →|＝1，|OB →|＝3，OA →·OB →＝0，点C 在∠AOB 内，且∠AOC＝30°.设OC →＝mOA →
＋nOB →
(m ，n ∈R )，则m n ＝________．
答案 3
解析 方法一：如图所示，
∵OA →·OB →＝0，∴OB →⊥OA →.
不妨设|OC →|＝2，过C 作CD →⊥OA →于D ，CE →⊥OB →
于E ，则四边形ODCE 是矩形． OC →＝OD →＋DC →＝OD →＋OE →.
∵|OC →|＝2，∠COD ＝30°，∴|DC →|＝1，|OD →
|＝ 3. 又∵|OB →|＝3，|OA →
|＝1， 故OD →＝ 3 OA →，OE →
＝33
OB →.
∴OC →＝ 3 OA →
＋33OB →，现在m ＝3，n ＝33.
∴m n ＝3
3
3
＝3. 方法二：由OA →·OB →
＝0知△AOB 为直角三角形，以OA ，OB 所在直线分别为x ，y 轴建立平面直角坐标系，则可知OA →＝(1，0)，OB →＝(0，3)．又由OC →＝mOA →
＋nOB →，可知OC →
＝(m ，3n)，故由tan30°＝3n m ＝33，可知m n
＝3.
15．(2020·湖南长沙一模)在矩形ABCD 中，AB ＝3，AD ＝2，P 是矩形内部一点(不含边界)，且AP ＝1.若AP →＝xAB →＋yAD →
，则3x ＋2y 的取值范畴是________． 答案 (1，2]
解析 ∵在矩形ABCD 中，AB ＝3，AD ＝2，如图，以A 为原点，AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系，则A(0，0)，B(3，0)，D(0，2)，∴AP →＝xAB →＋yAD →
＝x(3，0)＋y(0，2)＝(3x ，2y)．
∵|AP →|＝1，∴(3x)2＋(2y)2
＝1.令3x ＝cos θ，2y ＝sin θ，θ∈(0，π2)，则3x ＋2y ＝cos
θ＋sin θ＝2sin (θ＋π4)，∵π4<θ＋π4<34π，∴22<sin (θ＋π
4)≤1，
1<3x ＋2y≤2，即3x ＋2y 的取值范畴是(1，2]．
16．已知A ，B ，C 三点的坐标分别为(－1，0)，(3，－1)，(1，2)，同时AE →＝13AC →，BF →＝13BC →
.
(1)求E ，F 的坐标； (2)求证：EF →∥AB →
.
答案 (1)E(－13，23)，F(7
3
，0) (2)略
解析 (1)设E ，F 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则依题意，得AC →＝(2，2)，BC →
＝(－2，3)，AB →
＝(4，－1)．
∴AE →＝13AC →＝(23，23)，BF →＝13BC →
＝(－23，1)．
∴AE →
＝(x 1，y 1)－(－1，0)＝(23，23
)，
BF →
＝(x 2，y 2)－(3，－1)＝(－23，1)．
∴(x 1，y 1)＝(23，23)＋(－1，0)＝(－13，2
3)，
(x 2，y 2)＝(－23，1)＋(3，－1)＝(7
3，0)．
∴E 的坐标为(－13，23)，F 的坐标为(7
3，0)．
(2)由(1)知(x 1，y 1)＝(－13，23)，(x 2，y 2)＝(7
3，0)．
∴EF →
＝(x 2，y 2)－(x 1，y 1)＝(83，－23)．
又AB →
＝(4，－1)，
∵4×(－23)－(－1)×8
3＝0，
∴EF →∥AB →
.
17．已知向量a ＝(sin θ，cos θ－2sin θ)，b ＝(1，2)． (1)若a∥b ，求tan θ的值；
(2)若|a |＝|b |，0<θ<π，求θ的值． 答案 (1)14 (2)π2或3π
4
解析 (1)因为a∥b ，因此2sin θ＝cos θ－2sin θ，因此4sin θ＝cos θ，故tan θ＝1
4.
(2)由|a |＝|b |知，sin 2
θ＋(cos θ－2sin θ)2
＝5，因此 1－2sin2θ＋4sin 2
θ＝5.
从而－2sin2θ＋2(1－cos2θ)＝4，即sin2θ＋cos2θ＝－1，因此sin (2θ＋π4)＝－2
2.
又由0<θ<π知，π4<2θ＋π4<9π4，因此2θ＋π4＝5π4或2θ＋π4＝7π
4.
因此θ＝π2或θ＝3π
4
.
18．(2020·潍坊二模)已知向量AB →＝(6，1)，BC →＝(x ，y)，CD →
＝(－2，－3)． (1)若BC →∥DA →
，求x 与y 之间的关系式；
(2)在(1)的条件下，若AC →⊥BD →
，求x ，y 的值及四边形ABCD 的面积． 答案 (1)x ＋2y ＝0
(2)x ＝－6，y ＝3，S 四边形ABCD ＝16
解析 (1)∵AD →＝AB →＋BC →＋CD →
＝(x ＋4，y －2)， ∴DA →＝－AD →
＝(－x －4，2－y)． 又BC →∥DA →且BC →
＝(x ，y)， ∴x(2－y)－y(－x －4)＝0， 即x ＋2y ＝0.①
(2)由于AC →＝AB →＋BC →
＝(x ＋6，y ＋1)， BD →＝BC →＋CD →
＝(x －2，y －3)， 又AC →⊥BD →， ∴AC →·BD →
＝0，
即(x ＋6)(x －2)＋(y ＋1)(y －3)＝0.② 联立①②，化简得y 2
－2y －3＝0. 解得y ＝3或y ＝－1. 故当y ＝3时，x ＝－6，
现在AC →＝(0，4)，BD →
＝(－8，0)， 当y ＝－1时，x ＝2.
现在AC →＝(8，0)，BD →
＝(0，－4)． ∴S 四边形ABCD ＝12
|AC →|·|BD →
|＝16.
1．(2020·西安一模)已知向量a ＝(m －1，2)，b ＝(3，m ＋4)，若a ∥b ，且方向相反，则|b |＝( ) A. 5 B.10 C ．3 5 D ．210
答案 B
思路 本题需要先利用向量共线定理(或利用向量的坐标运算)，求出参数m 的值(注意向量
a ，
b 方向相反)，再依照向量模的运算公式进行求解．
解析 方法一：依题意可设a ＝t b (t<0)，
则(m －1，2)＝t(3，m ＋4)，因此⎩⎪⎨⎪⎧m －1＝3t ，2＝t （m ＋4），解得⎩⎪⎨⎪
⎧t ＝－2，m ＝－5.
从而b ＝(3，－1)，因此|b |＝10.故选B. 方法二：因为a ∥b ，因此(m －1)(m ＋4)－6＝0，
解得m ＝－5或m ＝2.
依照向量a ，b 方向相反可知，m ＝－5符合题意． 从而b ＝(3，－1)，因此|b |＝10.故选B.
2．在平面直角坐标系中，点O(0，0)，P(6，8)，将向量OP →
绕点O 按逆时针方向旋转3π4后
得向量OQ →
，则点Q 的坐标是( ) A ．(－72，－2) B ．(－72，2) C ．(－46，－2) D ．(－46，2)
答案 A
解析 设OP →与x 轴正半轴的夹角为θ，则cos θ＝35，sin θ＝45，则由三角函数定义，可得OQ
→
＝(|OP →|cos (θ＋3π4)，|OP →
|sin (θ＋3π4
))．
∵|OP →|cos (θ＋3π4)＝62＋82
×(cos θcos 3π4－sin θsin 3π4)＝10×[35×(－22)－45×22]
＝－72，
|OP →|sin (θ＋3π4)＝62＋82
×(sin θcos 3π4＋cos θsin 3π4)＝10×[45×(－22)＋35×22]
＝－2，
∴OQ →
＝(－72，－2)， 即点Q 的坐标为(－72，－2)．
3．(2020·吉林一般高中二模)在等腰直角三角形ABC 中，AC ＝BC ，点D 在AB 边上且满足CD →
＝tCA →＋(1－t)CB →
.若∠ACD＝60°，则t 的值为( ) A.
3－1
2 B.3－1
C.3－2
2
D.
3＋1
2
答案 A
解析 ∵CD →＝tCA →＋(1－t)CB →
，∴A ，B ，D 三点共线．
由题意建立如图所示的直角坐标系，设AC ＝BC ＝1，则C(0，0)，A(1，0)，B(0，1)．直线AB 的方程为x ＋y ＝1，直线CD 的方程为y ＝3x ，联立解得x ＝
3－12，y ＝3－32，∴D(3－12，3－32)，∴CD →
＝(3－12
，
3－32)．∵CA →＝(1，0)，CB →＝(0，1)，∴tCA →＋(1－t)CB →
＝(t ，1－t)，∴(3－12，3－32)＝(t ，1－t)，解得t ＝
3－1
2
.故选A. 4．与直线3x ＋4y ＋5＝0的方向向量共线的一个单位向量是( ) A ．(3，4) B ．(4，－3) C ．(35，45)
D ．(45，－35
)
答案 D
5．若平面向量a ，b 满足|a ＋b |＝1，a ＋b 平行于x 轴，b ＝(2，－1)，则a ＝________． 答案 (－1，1)或(－3，1)
解析 设a ＝(x ，y)，∵b ＝(2，－1)，则a ＋b ＝(x ＋2，y －1)，∵a ＋b 平行于x 轴，∴y －1＝0，y ＝1，故a ＋b ＝(x ＋2，0)，又∵|a ＋b |＝1，∴|x ＋2|＝1，∴x ＝－1或x ＝－3，∴a ＝(－1，1)或a ＝(－3，1)．。