数值计算方法试题及答案

数值计算方法试题一
一、填空题（每空1分，共17分）
1、如果用二分法求方程在区间内的根精确到三位小数，需对分（）次。

2、迭代格式局部收敛的充分条件是取值在(）。

3、已知是三次样条函数，则
=（)，=（),=（）。

4、是以整数点为节点的Lagrange插值基函数，则
（)，（），当时（)。

5、设和节点则
和.
6、5个节点的牛顿—柯特斯求积公式的代数精度为，5个节点的求积公式最高代数精度为.
7、是区间上权函数的最高项系数为1的正交多项式族,其中，则。

8、给定方程组，为实数，当满足,且时，SOR迭代法收敛。

9、解初值问题的改进欧拉法是
阶方法.
10、设，当（）时,必有分解式，其中为下三角阵，当其对角线元素满足（）条件时，这种分解是唯一的。

二、二、选择题（每题2分)
1、解方程组的简单迭代格式收敛的充要条件是（）。

（1），（2) ，（3) , (4)
2、在牛顿-柯特斯求积公式：中，当系数是负值时,公式的稳定性不能保证,所以实际应用中,当（)时的牛顿-柯特斯求积公式不使用。

(1），（2），（3), （4）,
（1)二次; （2)三次；（3）四次；（4）五次
4、若用二阶中点公式求解初值问题，试问为保证该公式绝对稳定，步长的取值范围为( ）。

（1），(2）, (3)，（4)
三、1、(8分）用最小二乘法求形如的经验公式拟合以下数据：
2、（15
(1)（1) 试用余项估计其误差。

（2）用的复化梯形公式（或复化Simpson公式）计算出该积分的近似值.
四、1、（15分）方程在附近有根，把方程写成三种不同的等价形式(1)对应迭代格式；（2）对应迭代格式；（3）对应迭代格式。

判断迭代格式在的收敛性，选一种收敛格式计算附近的根,精确到小数点后第三位.选一种迭代格式建立Steffensen迭代法，并进行计算与前一种结果比较，说明是否有加速效果.
2、（8分）已知方程组,其中
，
（1）（1）列出Jacobi迭代法和Gauss—Seidel迭代法的分量形式。

（2）(2) 求出Jacobi迭代矩阵的谱半径，写出SOR迭代法。

五、1、（15分）取步长，求解初值问题用改进的欧拉法求的值；用经典的四阶龙格—库塔法求的值。

2、(8分)求一次数不高于4次的多项式使它满足
，，，，
六、（下列2题任选一题，4分)
1、1、数值积分公式形如
（1）（1）试确定参数使公式代数精度尽量高;(2）设，推导余项公式，并估计误差。

2、2、用二步法
求解常微分方程的初值问题时，如何选择参数使方法阶数尽可能高,并求局部截断误差主项，此时该方法是几阶的。

数值计算方法试题二
一、判断题：（共16分,每小题２分）
１、若是阶非奇异阵，则必存在单位下三角阵和上三角阵，使唯一成立。

（)
２、当时,Newton－cotes型求积公式会产生数值不稳定性.
（）
3、形如的高斯（Gauss）型求积公式具有最高代数精确度的次数为。

（)
４、矩阵的２－范数＝９。

（）
5、设,则对任意实数，方程组都是病态的.（用）（）
6、设，，且有（单位阵），则有。

（)
7、区间上关于权函数的直交多项式是存在的，且唯一.（)
8、对矩阵A作如下的Doolittle分解：
，则的值分别为2，2。

( )
二、填空题：（共20分，每小题2分）
1、设,则均差
__________，__________.
2、设函数于区间上有足够阶连续导数,为的一个重零点,Newton迭
代公式的收敛阶至少是__________阶。

３、区间上的三次样条插值函数在上具有直到__________阶的连续导数。

4、向量,矩阵，则
__________，__________。

5、为使两点的数值求积公式：具有最高的代数精确度，则其求积
基点应为__________,__________。

6、设,,则（谱半径)__________。

（此处填小于、大于、等于）
7、设，则__________。

三、简答题：（9分）
1、1、方程在区间内有唯一根，若用迭代公式: ，则其产生的
序列是否收敛于？说明理由.
2、2、使用高斯消去法解线性代数方程组,一般为什么要用选主
元的技术?
3、3、设，试选择较好的算法计算函数值。

四、(10分）已知数值积分公式为：
，试确定积分公式中的参数，使其代数精确度尽量高，并指出其代数精确度的次数。

五、（8分)已知求的迭代公式为：
证明:对一切，且序列是单调递减的，
从而迭代过程收敛.
六、（9分）数值求积公式是否为插值型求积公式？为什么？其代数
精度是多少？
七、（9分）设线性代数方程组中系数矩阵非奇异，为精确解，，若向
量是的一个近似解，残向量，证明估计式：(假定所用矩阵范数与向量范数相容)。

八、(10分)设函数在区间上具有四阶连续导数，试求满足
下列插值条件的一个次数不超过3的插值多项式，并导出其余项。

,为的零点，是以为基点的拉格朗日(Lagrange）插值基函数，为高斯型求积公式，证明：
（1）（1）当时，
（2)
（3）
十、（选做题8分）
若,
互异,求的值,其中。

数值计算方法试题三
一、（24分）填空题
(1)（1）(2分）改变函数()的形式,使计算结果较精确。

(2)(2）（2分）若用二分法求方程在区间［1，2]内的根,要
求精确到第3位小数，则需要对分次.
(3)(3）(2分）设，则
(4)(4) (3分)设是3次样条函数，则
a= ，b= , c= .
(5)（5）（3分）若用复化梯形公式计算，要求误差不超过，
利用余项公式估计，至少用个求积节点。

(6)(6) （6分）写出求解方程组的Gauss-Seidel迭代公式
，迭代矩阵
为，
此迭代法是否收敛。

(7)（7) （4分）设，则, .
(8)（8) (2分）若用Euler法求解初值问题,为保证算法的绝对
稳定，则步长h的取值范围为
二. (64分）
(1)（1) （6分)写出求方程在区间［0，1]的根的收敛的迭代公
式，并证明其收敛性.
(2)(2）(12分)以100,121,144为插值节点，用插值法计算的近
似值，并利用余项估计误差.
(3)(3) （10分）求在区间[0，1］上的1次最佳平方逼近多项
式.
(4)（4）(10分）用复化Simpson公式计算积分的近似值，要
求误差限为.
(5)（5）（10分)用Gauss列主元消去法解方程组：
(6)(6）(8分）求方程组的最小二乘解。

(7)(7) (8分）已知常微分方程的初值问题:
用改进的Euler方法计算的近似值，取步长。

三．（12分，在下列5个题中至多选做3个题）
(1)(1）（6分)求一次数不超过4次的多项式p(x)满足：
，，，，
(2)（2）（6分）构造代数精度最高的如下形式的求积公式，
并求出其代数精度：
(3)（3）(6分)用幂法求矩阵的模最大的特征值及其相应的单
位特征向量，迭代至特征值的相邻两次的近似值的距离小于0。

05,取特征向量的初始近似值为.
(4)（4) (6分）推导求解常微分方程初值问题
的形式为，i=1,2，…，N
的公式，使其精度尽量高，其中，, i=0，1,…,N，
(5)（5) （6分）求出用差分方法求解常微分方程的边值问题
所得到的三对角线性方程组。

数值计算方法试题三
一、（24分)填空题
(9)(1）(2分）改变函数()的形式，使计算结果较精确。

(10)(2）(2分）若用二分法求方程在区间［1,2］内的根，要
求精确到第3位小数，则需要对分次。

(11)(3) (2分）设，则
(12)（4) （3分)设是3次样条函数，则
a= ，b= ，c= 。

(13)（5) (3分)若用复化梯形公式计算，要求误差不超过,利用
余项公式估计，至少用个求积节点。

(14)（6) （6分)写出求解方程组的Gauss-Seidel迭代公式
，迭代矩阵为,
此迭代法是否收敛。

(15)（7）(4分）设,则，。

(16)(8）(2分)若用Euler法求解初值问题，为保证算法的绝对
稳定，则步长h的取值范围为
二。

(64分）
(8)（1）(6分）写出求方程在区间[0,1]的根的收敛的迭代公式，
并证明其收敛性。

(9)(2) （12分)以100,121，144为插值节点，用插值法计算的近
似值,并利用余项估计误差。

(10)（3) （10分)求在区间[0,1]上的1次最佳平方逼近多项式。

(11)（4) （10分)用复化Simpson公式计算积分的近似值，要求
误差限为。

(12)（5）(10分）用Gauss列主元消去法解方程组：
(13)(6）(8分）求方程组的最小二乘解。

(14)(7) （8分）已知常微分方程的初值问题：
用改进的Euler方法计算的近似值，取步长。

三．(12分，在下列5个题中至多选做3个题）
(6)(1）（6分）求一次数不超过4次的多项式p（x）满足：
，,，，
(7)(2）(6分)构造代数精度最高的如下形式的求积公式,并求
出其代数精度：
(8)(3）(6分)用幂法求矩阵的模最大的特征值及其相应的单
位特征向量，迭代至特征值的相邻两次的近似值的距离小于
0.05，取特征向量的初始近似值为.
(9)(4) (6分)推导求解常微分方程初值问题
的形式为,i=1,2,…，N
的公式,使其精度尽量高，其中, ，i=0,1，…，N，
(10)（5) (6分)求出用差分方法求解常微分方程的边值问题
所得到的三对角线性方程组.
数值计算方法试题一答案
一、一、填空题(每空1分，共17分）
1、（10 ）
2、（）
3、=( 3 ），=( 3 ），=（1 )
4、( 1 ）、（）、（)
5、 6 、
6、9
7、0 8、9、 2 10、( ）、（)
二、二、选择题（每题2分）
1、（(2)）
2、（（1）)
3、（（1))
4、（（3））
三、1、（8分)解：
解方程组
其中
解得：所以，
2、（15分)解：
四、1、（15分)解：（1),，故收敛；
(2），，故收敛；
(3)，，故发散。

选择（1）:，,，,，
,
Steffensen迭代:
计算结果：，，有加速效果。

2、（8分）解：Jacobi迭代法：
Gauss-Seidel迭代法:
,
SOR迭代法：
五、1、（15分）解：改进的欧拉法：
所以;
经典的四阶龙格—库塔法：
，所以。

2、(8分）解：设为满足条件的Hermite插值多项式，
则代入条件得：
六、（下列2题任选一题，4分)
1、解：将分布代入公式得：
构造Hermite插值多项式满足其中
则有:,
2、解：
所以
主项：该方法是二阶的。

数值计算方法试题二答案
一、一、判断题：(共10分，每小题２分)
1、（Ⅹ）
2、（∨）
3、（Ⅹ）
4、（∨)
5、（Ⅹ）
6、（∨）
7、（Ⅹ）
8、（Ⅹ)
二、二、填空题：(共10分，每小题2分）
1、、0
2、__二___
3、__二___
4、_16 、90__
5、
6、 =
7、0
三、三、简答题：(15分)
1、1、解：迭代函数为
2、2、答：Gauss消去法能进行到底的条件是各步消元的主
元素全不为0，如果在消元过程中发现某个主元素为0，即使，则消元过程将无法进行；其次，即使主元素不为0，但若主元
素的绝对值很小，用它作除数，将使该步消元的乘数绝对值很
大,势必造成舍入误差的严重扩散，以致于方程组解的精确程度
受到严重影响,采用选主元的技术，可避免主元素=0或很小的
情况发生，从而不会使计算中断或因误差扩大太大而使计算不
稳定。

3、3、解：
四、四、解:显然精确成立;
时，；
时，；
时，；
时,；
所以，其代数精确度为3。

五、五、证明：
故对一切。

又所以，即序列是单调递减有下界，
从而迭代过程收敛。

六、六、解：是。

因为在基点1、2处的插值多项式为。

其代数精度为1.
七、七、证明:由题意知：
又
所以。

八、解:设
所以
由得：
所以
令,作辅助函数
则在上也具有4阶连续导数且至少有4个零点：
反复利用罗尔定理可得：，
所以
九、九、证明：形如的高斯（Gauss)型求积公式具有
最高代数精度2n+1次，它对取所有次数不超过2n+1次的多项式均精确成立
1）
2）因为是n次多项式，且有
所以()
3)取,代入求积公式:因为是2n次多项式，
所以
故结论成立。

十、十、解:
数值计算方法试题三答案
一.（24分）
（1）(2分）(2）（2分）10
（3) (2分）（4) (3分）3 -3 1 （5) (3分）477（6) (6分）收敛
(7) (4分）9 91 （8) (2分) h<0.2
二。

(64分）
（1) （6分），n=0,1,2，…
∴对任意的初值，迭代公式都收敛。

（2) （12分）用Newton插值方法:差分表:
10+0.0476190(115-100)—0.0000941136(115—100)(115—121）=10.7227555
（3) (10分）设
，，,，，
，，
=0.873127+1.69031x
（4）（10分)
或利用余项：
,，
（5）(10分）
3。

0000 1.0000 5。

0000 34。

0000 0.0000 3。

6667 0.3333 12.6667 0。

0000 5。

3333 —2.3333 4.3333
3。

0000 1.0000 5.0000 34。

0000 0.0000 5.3333 -2.3333 4。

3333
0.0000 0.0000 1.9375 9。

6875
(6）(8分) ，，
若用Householder变换，则：
最小二乘解：（—1。

33333,2.00000)T.
(7) (8分)
，
三。

(12分）
（1）差分表：
其他方法:设
令，，求出a和b
(2）取f(x）=1，x，令公式准确成立，得：
, ，
f(x)=x2时，公式左右=1/4; f（x)=x3时，公式左=1/5, 公式右=5/24∴公式的代数精度=2
（3) ①, ，
②，，,
③, ，，
∴，
(4）局部截断误差=
令,得，，
计算公式为，i=0，1,2，…
( 局部截断误差= )
（5）记，，，,,
，i=0。

.N
, i=1.。

N-1
即，i=1。

N-1 （1）
，与（1）取i=1的方程联立消去y2得
（2）
,与(1）取i=N—1的方程联立消去y N得
（3)
所求三对角方程组:方程(2)，方程组(1）(i=1。

N—2），方程(3)。