中考数学总复习 第五单元 三角形 第25课时 解直角三角形及其应用课件
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影长度来确定时间的仪器,称为圭表.如图 25-3 是一个根据北京的
地理位置设计的圭表,其中,立柱 AC 高为 a.已知冬至时北京的正午
日光入射角∠ABC 约为 26.5°,则立柱根部与圭表的冬至线的距离
(即 BC 的长)约为 (
)
图 25-3
A.asin26.5°
2021/12/9
B.
tan 26.5°
=x,
ta n45°
根据题意,得 AD-BD=4,即
-x=4.
tan 30°
果不取近似值)
解得 x=2 3+2.
答:雕塑的高 CD 为(2 3+2)米.
图 25-17
2021/12/9
第二十一页，共二十二页。
内容(nèiróng)总结
UNIT FIVE。第 25 课时 解直角三角形及其应用。高频考向探究。[方法模型] 转化思想——化实际问
第十三页，共二十二页。
高频考向探究
拓考向
1.[2018·朝阳一模] 如图 25-11,某数学小组要测量校园内旗
杆 AB 的高度,其中一名同学站在距离旗杆 12 米的点 C 处,测
得旗杆顶端 A 的仰角为 α,此时该同学的眼睛到地面的高 CD
为 1.5 米,则旗杆的高度为
米(用含 α 的式子表示).
近的湿地公园测量园内雕塑的高度.用测角仪在 A 处测得雕
塑顶端点 C 的仰角为 30°,再往雕塑方向前进 4 米至 B 处,
测得仰角为 45°.问:该雕塑有多高?(测角仪高度忽略不计,结
解:如图,设雕塑的高 CD 为 x 米.
在 Rt△ ACD 中,AD=
,在 Rt△ BCD
tan 30°
中,BD=
图 25-11
2021/12/9
第十四页，共二十二页。
[答案] (1.5+12tanα)
高频考向探究
2.[2018·怀柔期末] 数学实践课上,同学们分组测量教学楼前旗杆
的高度.小泽同学所在的组先设计了测量方案,然后开始测量了.
他们全组分成两个测量队,分别负责室内测量和室外测量(如图
25-12).室内测量组来到教室内窗台旁,在点 E 处测得旗杆顶部 A
先在点 C 处测得建筑物 AB 的顶点 A 的仰角为 30°,然后向建筑
物 AB 前进 10 m 到达点 D 处,又测得点 A 的仰角为 60°,那么建筑
物 AB 的高度是
m.
图 25-7
2021/12/9
第十一页，共二十二页。
[答案] 5 3
高频考向探究
[方法模型] 结合视角知识构造直角三角形:
第二页，共二十二页。
课前双基巩固
对点演练(yǎn liàn)
题组一
[答案(dáàn)] C
必会题
1.坡比常用来反映斜坡的倾斜程度,如图 25-1 所示,斜坡 AB 的
坡比为
(
)
图 25-1
A.1∶3
B.3∶1
C.1∶2 2
D.2 2∶1
2021/12/9
第三页，共二十二页。
课前双基巩固
2.如图 25-2,小雅家(图中点 O 处)门前有一条东西走向的公路,
(duìyìng)的正切值为坡度.
2021/12/9
第十七页，共二十二页。
[答案]5
高频考向探究
拓考向
1.如图 25-15,小明爬一土坡,他从 A 处到 B 处所走的直线距
离 AB=4 m,此时,他距离地面高度为 h=2 m,则这个土坡的坡
角∠A=
°.
图 25-15
2021/12/9
第十八页，共二十二页。
时照明效果最佳.此时,路灯的灯柱 BC 高度应该设计为 (
A.(11-2 2)米
B.(11 3-2 2)米
C.(11-2 3)米
D.(11 3-4)米
)
图25-6
2021/12/9
第八页，共二十二页。
高频考向探究
[答案]D
[解析] 如图,过 D 作 DE⊥AB 交 AB 于点 E,过 C 作 CF⊥DE 交 DE 于点 F.
高频考向探究
探究(tànjiū)一
解有关高度(宽度)的问题
例 1 如图 25-6,要在宽为 22 米的九洲大道 AB 两边安装路灯,路灯的灯臂 CD 长为 2 米,且与灯柱 BC 成 120°
角,路灯采用圆锥形灯罩,灯罩的中轴线 DO 与灯臂 CD 垂直,当灯罩的中轴线 DO 通过公路路面的中心线
观大道 A 处的俯角为 30°,B 处的俯角为 45°.如果此时直升机镜头 C
处的高度 CD 为 200 米,点 A,D,B 在同一直线上,则 A,B 两点的距离
是
2021/12/9
米.
图 25-4
第六页，共二十二页。
课前双基巩固
题组二
易错题
[答案] C
【失分点】
在计算
sin
=c 变形时容易错误地得到 a=
故选 D.
2021/12/9
第九页，共二十二页。
高频考向探究
[方法模型] 转化思想——化实际问题为数学问题
本题考查(kǎochá)了解直角三角形的应用,解此类题目的一般过程:①将实际问题转化为数学问题(画出平面图形,构造出
直角三角形进而转化为数学问题中的解直角三角形问题);②根据题目中已知条件选用适当的锐角三角函数或边角
在实际测量高度、宽度、距离等问题中,常结合视角知识构造直角三角形,利用三角函数或相似三角形
来解决问题.常见的构造的基本图形有以下几种:
(1)不同地点看同一点;
图 25-8
2021/12/9
第十二页，共二十二页。
高频考向探究
(2)同一地点看不同点;
图 25-9
(3)利用反射构造相似.
图 25-10
2021/12/9
∵∠DCB=120°,CB⊥AB,OD⊥CD,
∴∠DOB=360°-∠DCB-∠CBO-∠ODC=360°-120°-90°-90°=60°,∠DCF=30°,
3
1
1
∴ CF=CD·cos30°=2× 2 = 3,DF=2CD=1,∴CF=BE= 3,∴OE=OB-BE=2AB-BE=11- 3,
∴DE=OEtan60°= 3(11- 3) =11 3-3,∴BC=DE-DF=11 3-3-1=11 3-4.
的仰角 α 为 45°,旗杆底部 B 的俯角 β 为 60°.室外测量组测得 BF
的长度为 5 米.则旗杆 AB=
米.
图 25-12
2021/12/9
第十五页，共二十二页。
[答案] (5+5 3)
高频考向探究
3.如图 25-13,一艘渔船正自西向东航行追赶鱼群,在 A 处望见岛 解:如图,过点 C 作 CD⊥AB,交 AB 的延长线
题为数学问题。②根据题目中已知条件选用适当的锐角三角函数或边角关系去解直角三角形,得到数学问题
的答案,再转化得到实际问题的答案.。[方法模型] 坡角是坡面与水平面所构成的夹角,而该角所对应(duì
yìng)
的正切值为坡度.
No
Image
12/9/2021
第二十二页，共二十二页。
经测得有一水塔(图中点 A 处)在他家北偏东 60°方向的 500
米处,那么水塔所在的位置到公路的距离 AB 是
(
)
图 25-2
A.250 米
500
C.
3
3米
B.250 3米
D.500 2米
2021/12/9
第四页，共二十二页。
[答案] A
课前双基巩固
3.[2018·海淀二模] 西周时期,丞相周公旦设置过一种通过测定日
ℎ
坡面的铅直高度 h 和水平宽度 l 的比叫做坡面的坡度(或坡比),记作 i=①
坡角
坡角
坡面与水平面的夹角叫做坡角,记作 α.i=tanα,坡度越大,α 角越大,坡面② 越陡
定义
指北或指南方向线与目标方向线所成的小于 90°的角叫做方向角
方向角
(或方
位角)
视线在水平线下方的叫做俯角
图例
2021/12/9
C 在船的北偏东 60°方向,前进 20 海里到达 B 处,此时望见岛 C
于点 D.由题意可知,在△ ABC 中,∠CAB=
在船的北偏东 30°方向,以岛 C 为中心的 12 海里内为军事演习的 30°,∠ABC=90°+30°=120°,∴∠ACB=30°,
危险区.请通过计算说明:如果这艘渔船继续向东追赶鱼群是否
C.acos26.5°
D.
cos 26.5°
第五页，共二十二页。
[答案] B
课前双基巩固
3
4.已知等腰三角形 ABC 中,AB=AC=5,cosB= ,则△ ABC 的面积
5
为
[答案] 4.12 5.200( 3+1)
.
5.某市举行的国际马拉松比赛中,中央电视台体育频道用直升机航
拍技术进行全程直播.如图 25-4,在直升机的镜头下,观测马拉松景
有进入危险区的可能(参考数据: 2≈1.4, 3≈1.7).
∴BC=AB=20 海里.在 Rt△ CBD 中,∠CBD
=60°,∴CD=BC·sin∠CBD=10 3(海里).
∵10 3≈10×1.7=17>12,∴这艘渔船继续向
东航行追赶鱼群没有进入危险
图 25-13
区的可能.
2021/12/9
第十六页，共二十二页。
粉饰,达到改善住宅性能和建筑物外观视觉效果的房屋修
缮行为.如图 25-16 是某小区对楼顶进行“平改坡”改造的示
意图.根据图中的数据,如果要使坡面 BC 的坡度达到 1∶1.2,
那么立柱 AC 的长为
米.
Байду номын сангаас
图 25-16
2021/12/9
第二十页，共二十二页。
[答案] 2.5
高频考向探究
4.[2018·达州] 在数学实验活动课上,老师带领同学们到附
sin
.
6.如图 25-5,为测量一棵与地面垂直的树 OA 的高度,在距离树
的底端 30 米的 B 处,测得树顶 A 的仰角∠ABO 为 α,则树 OA
的高度为 (
A.
30
tan
米
C.30tanα 米
)
B.30sinα 米
D.30cosα 米
图25-5
2021/12/9
第七页，共二十二页。
[答案]30
高频考向探究
2.[2016·石景山期末] 如果某人沿坡度 i=1∶3 的斜坡前进
10 m,那么他所在的位置比原来的位置升高了
m.
2021/12/9
第十九页，共二十二页。
[答案] 10
高频考向探究
3.[2018·石景山期末] “平改坡”是指在建筑结构许可条件下,
将多层住宅的平屋顶改建成坡屋顶,并对外立面进行整修
高频考向探究
探究(tànjiū)三
解关于坡角的实际问题
例 3 某地铁站的手扶电梯的示意图如图 25-14 所示.其中 AB,CD 分
别表示电梯出入口处的水平线,∠ABC=135°,BC 的长是 5 2 m,则
乘电梯从点 B 到点 C 上升的高度 h 是
m.
图 25-14
[方法模型] 坡角是坡面与水平面所构成的夹角,而该角所对应
UNIT FIVE
第五(dì wǔ)单元
第 25 课时(kèshí)
解直角三角形及其
应用
2021/12/9
第一页，共二十二页。
三角形
课前双基巩固
考点(kǎo
diǎn)聚焦
考点(kǎo diǎn)
解直角三角形的应用常用知识
在视线与水平线所成的角中,视线在水平线上方的叫做仰角
仰角和
仰角
俯角
俯角
坡度和
坡度
关系去解直角三角形,得到数学问题的答案,再转化得到实际问题的答案.
2021/12/9
第十页，共二十二页。
高频考向探究
探究二 解关于仰角(yǎngjiǎo)、俯角和方位角的实际
例 2 [2017·丰台二模] 某中学初三年级的学生开展测量物体高
度的实践活动,他们要测量一幢建筑物 AB 的高度.如图 25-7,他们
地理位置设计的圭表,其中,立柱 AC 高为 a.已知冬至时北京的正午
日光入射角∠ABC 约为 26.5°,则立柱根部与圭表的冬至线的距离
(即 BC 的长)约为 (
)
图 25-3
A.asin26.5°
2021/12/9
B.
tan 26.5°
=x,
ta n45°
根据题意,得 AD-BD=4,即
-x=4.
tan 30°
果不取近似值)
解得 x=2 3+2.
答:雕塑的高 CD 为(2 3+2)米.
图 25-17
2021/12/9
第二十一页，共二十二页。
内容(nèiróng)总结
UNIT FIVE。第 25 课时 解直角三角形及其应用。高频考向探究。[方法模型] 转化思想——化实际问
第十三页，共二十二页。
高频考向探究
拓考向
1.[2018·朝阳一模] 如图 25-11,某数学小组要测量校园内旗
杆 AB 的高度,其中一名同学站在距离旗杆 12 米的点 C 处,测
得旗杆顶端 A 的仰角为 α,此时该同学的眼睛到地面的高 CD
为 1.5 米,则旗杆的高度为
米(用含 α 的式子表示).
近的湿地公园测量园内雕塑的高度.用测角仪在 A 处测得雕
塑顶端点 C 的仰角为 30°,再往雕塑方向前进 4 米至 B 处,
测得仰角为 45°.问:该雕塑有多高?(测角仪高度忽略不计,结
解:如图,设雕塑的高 CD 为 x 米.
在 Rt△ ACD 中,AD=
,在 Rt△ BCD
tan 30°
中,BD=
图 25-11
2021/12/9
第十四页，共二十二页。
[答案] (1.5+12tanα)
高频考向探究
2.[2018·怀柔期末] 数学实践课上,同学们分组测量教学楼前旗杆
的高度.小泽同学所在的组先设计了测量方案,然后开始测量了.
他们全组分成两个测量队,分别负责室内测量和室外测量(如图
25-12).室内测量组来到教室内窗台旁,在点 E 处测得旗杆顶部 A
先在点 C 处测得建筑物 AB 的顶点 A 的仰角为 30°,然后向建筑
物 AB 前进 10 m 到达点 D 处,又测得点 A 的仰角为 60°,那么建筑
物 AB 的高度是
m.
图 25-7
2021/12/9
第十一页，共二十二页。
[答案] 5 3
高频考向探究
[方法模型] 结合视角知识构造直角三角形:
第二页，共二十二页。
课前双基巩固
对点演练(yǎn liàn)
题组一
[答案(dáàn)] C
必会题
1.坡比常用来反映斜坡的倾斜程度,如图 25-1 所示,斜坡 AB 的
坡比为
(
)
图 25-1
A.1∶3
B.3∶1
C.1∶2 2
D.2 2∶1
2021/12/9
第三页，共二十二页。
课前双基巩固
2.如图 25-2,小雅家(图中点 O 处)门前有一条东西走向的公路,
(duìyìng)的正切值为坡度.
2021/12/9
第十七页，共二十二页。
[答案]5
高频考向探究
拓考向
1.如图 25-15,小明爬一土坡,他从 A 处到 B 处所走的直线距
离 AB=4 m,此时,他距离地面高度为 h=2 m,则这个土坡的坡
角∠A=
°.
图 25-15
2021/12/9
第十八页，共二十二页。
时照明效果最佳.此时,路灯的灯柱 BC 高度应该设计为 (
A.(11-2 2)米
B.(11 3-2 2)米
C.(11-2 3)米
D.(11 3-4)米
)
图25-6
2021/12/9
第八页，共二十二页。
高频考向探究
[答案]D
[解析] 如图,过 D 作 DE⊥AB 交 AB 于点 E,过 C 作 CF⊥DE 交 DE 于点 F.
高频考向探究
探究(tànjiū)一
解有关高度(宽度)的问题
例 1 如图 25-6,要在宽为 22 米的九洲大道 AB 两边安装路灯,路灯的灯臂 CD 长为 2 米,且与灯柱 BC 成 120°
角,路灯采用圆锥形灯罩,灯罩的中轴线 DO 与灯臂 CD 垂直,当灯罩的中轴线 DO 通过公路路面的中心线
观大道 A 处的俯角为 30°,B 处的俯角为 45°.如果此时直升机镜头 C
处的高度 CD 为 200 米,点 A,D,B 在同一直线上,则 A,B 两点的距离
是
2021/12/9
米.
图 25-4
第六页，共二十二页。
课前双基巩固
题组二
易错题
[答案] C
【失分点】
在计算
sin
=c 变形时容易错误地得到 a=
故选 D.
2021/12/9
第九页，共二十二页。
高频考向探究
[方法模型] 转化思想——化实际问题为数学问题
本题考查(kǎochá)了解直角三角形的应用,解此类题目的一般过程:①将实际问题转化为数学问题(画出平面图形,构造出
直角三角形进而转化为数学问题中的解直角三角形问题);②根据题目中已知条件选用适当的锐角三角函数或边角
在实际测量高度、宽度、距离等问题中,常结合视角知识构造直角三角形,利用三角函数或相似三角形
来解决问题.常见的构造的基本图形有以下几种:
(1)不同地点看同一点;
图 25-8
2021/12/9
第十二页，共二十二页。
高频考向探究
(2)同一地点看不同点;
图 25-9
(3)利用反射构造相似.
图 25-10
2021/12/9
∵∠DCB=120°,CB⊥AB,OD⊥CD,
∴∠DOB=360°-∠DCB-∠CBO-∠ODC=360°-120°-90°-90°=60°,∠DCF=30°,
3
1
1
∴ CF=CD·cos30°=2× 2 = 3,DF=2CD=1,∴CF=BE= 3,∴OE=OB-BE=2AB-BE=11- 3,
∴DE=OEtan60°= 3(11- 3) =11 3-3,∴BC=DE-DF=11 3-3-1=11 3-4.
的仰角 α 为 45°,旗杆底部 B 的俯角 β 为 60°.室外测量组测得 BF
的长度为 5 米.则旗杆 AB=
米.
图 25-12
2021/12/9
第十五页，共二十二页。
[答案] (5+5 3)
高频考向探究
3.如图 25-13,一艘渔船正自西向东航行追赶鱼群,在 A 处望见岛 解:如图,过点 C 作 CD⊥AB,交 AB 的延长线
题为数学问题。②根据题目中已知条件选用适当的锐角三角函数或边角关系去解直角三角形,得到数学问题
的答案,再转化得到实际问题的答案.。[方法模型] 坡角是坡面与水平面所构成的夹角,而该角所对应(duì
yìng)
的正切值为坡度.
No
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12/9/2021
第二十二页，共二十二页。
经测得有一水塔(图中点 A 处)在他家北偏东 60°方向的 500
米处,那么水塔所在的位置到公路的距离 AB 是
(
)
图 25-2
A.250 米
500
C.
3
3米
B.250 3米
D.500 2米
2021/12/9
第四页，共二十二页。
[答案] A
课前双基巩固
3.[2018·海淀二模] 西周时期,丞相周公旦设置过一种通过测定日
ℎ
坡面的铅直高度 h 和水平宽度 l 的比叫做坡面的坡度(或坡比),记作 i=①
坡角
坡角
坡面与水平面的夹角叫做坡角,记作 α.i=tanα,坡度越大,α 角越大,坡面② 越陡
定义
指北或指南方向线与目标方向线所成的小于 90°的角叫做方向角
方向角
(或方
位角)
视线在水平线下方的叫做俯角
图例
2021/12/9
C 在船的北偏东 60°方向,前进 20 海里到达 B 处,此时望见岛 C
于点 D.由题意可知,在△ ABC 中,∠CAB=
在船的北偏东 30°方向,以岛 C 为中心的 12 海里内为军事演习的 30°,∠ABC=90°+30°=120°,∴∠ACB=30°,
危险区.请通过计算说明:如果这艘渔船继续向东追赶鱼群是否
C.acos26.5°
D.
cos 26.5°
第五页，共二十二页。
[答案] B
课前双基巩固
3
4.已知等腰三角形 ABC 中,AB=AC=5,cosB= ,则△ ABC 的面积
5
为
[答案] 4.12 5.200( 3+1)
.
5.某市举行的国际马拉松比赛中,中央电视台体育频道用直升机航
拍技术进行全程直播.如图 25-4,在直升机的镜头下,观测马拉松景
有进入危险区的可能(参考数据: 2≈1.4, 3≈1.7).
∴BC=AB=20 海里.在 Rt△ CBD 中,∠CBD
=60°,∴CD=BC·sin∠CBD=10 3(海里).
∵10 3≈10×1.7=17>12,∴这艘渔船继续向
东航行追赶鱼群没有进入危险
图 25-13
区的可能.
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第十六页，共二十二页。
粉饰,达到改善住宅性能和建筑物外观视觉效果的房屋修
缮行为.如图 25-16 是某小区对楼顶进行“平改坡”改造的示
意图.根据图中的数据,如果要使坡面 BC 的坡度达到 1∶1.2,
那么立柱 AC 的长为
米.
Байду номын сангаас
图 25-16
2021/12/9
第二十页，共二十二页。
[答案] 2.5
高频考向探究
4.[2018·达州] 在数学实验活动课上,老师带领同学们到附
sin
.
6.如图 25-5,为测量一棵与地面垂直的树 OA 的高度,在距离树
的底端 30 米的 B 处,测得树顶 A 的仰角∠ABO 为 α,则树 OA
的高度为 (
A.
30
tan
米
C.30tanα 米
)
B.30sinα 米
D.30cosα 米
图25-5
2021/12/9
第七页，共二十二页。
[答案]30
高频考向探究
2.[2016·石景山期末] 如果某人沿坡度 i=1∶3 的斜坡前进
10 m,那么他所在的位置比原来的位置升高了
m.
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第十九页，共二十二页。
[答案] 10
高频考向探究
3.[2018·石景山期末] “平改坡”是指在建筑结构许可条件下,
将多层住宅的平屋顶改建成坡屋顶,并对外立面进行整修
高频考向探究
探究(tànjiū)三
解关于坡角的实际问题
例 3 某地铁站的手扶电梯的示意图如图 25-14 所示.其中 AB,CD 分
别表示电梯出入口处的水平线,∠ABC=135°,BC 的长是 5 2 m,则
乘电梯从点 B 到点 C 上升的高度 h 是
m.
图 25-14
[方法模型] 坡角是坡面与水平面所构成的夹角,而该角所对应
UNIT FIVE
第五(dì wǔ)单元
第 25 课时(kèshí)
解直角三角形及其
应用
2021/12/9
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三角形
课前双基巩固
考点(kǎo
diǎn)聚焦
考点(kǎo diǎn)
解直角三角形的应用常用知识
在视线与水平线所成的角中,视线在水平线上方的叫做仰角
仰角和
仰角
俯角
俯角
坡度和
坡度
关系去解直角三角形,得到数学问题的答案,再转化得到实际问题的答案.
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高频考向探究
探究二 解关于仰角(yǎngjiǎo)、俯角和方位角的实际
例 2 [2017·丰台二模] 某中学初三年级的学生开展测量物体高
度的实践活动,他们要测量一幢建筑物 AB 的高度.如图 25-7,他们