2021年四川几个初赛试题的出处

3 3 5
3 2 2 2
b b
x 2
y 2
2019 年四川几个初赛试题的出处
π
2. 双曲线
-
a
2
b 2
= 1(a > 0, b > 0)的右焦点为 F ，离心率为e ，过点 F 且倾斜角为 的直 3
线与该双曲线交于点 A,B ，若 AB 中点为 M ，且 FM 等于半焦距，则e = _____ .
【解析】设原点为 O ，则 ∆OFM 为等腰三角形，且顶角为 120°
，由中点弦结论知：
2
k OM ⋅ k AB = a
2 ，得 2
3 ⋅ = 1 = a
2 ，则e = = 2.
注：此题利用中点弦（全国卷考查频率极高）改编了 2015 新课标全国卷 II 第 11 题：
（2015 新课标全国卷 II 理 11）已知 A ，B 为双曲线 E 的左，右顶点，点 M 在 E 上，∆ABM 为等腰三角形，且顶角为 120°，则 E 的离心率为（ ）
A ．
B ． 2
C ．
D ．
在《解析几何的系统性突破》（淘宝的博约书斋店铺为唯一正版销售书店），作了系统
性梳理，把椭圆和双曲线上的点到两顶点斜率之积为定值作为第三定义，并指明可以推广为曲线上关于原点对称的两点，且和中点弦结论是一致的。

6.已知a 为实数，且对任意 k ∈ [-1,1]，当 x ∈ (0, 6]时， 6 ln x + x 2
- 8x + a ≤ kx 恒成立，
则 a 的最大值是
2
6 2 (x -1)(x - 3)
【解析】令 f ( x ) = 6 ln x + x - 8x + a ，则 f '(x ) =
+ 2x - 8 =
，根据单
x
x
调性作出函数图像，注意到 y = kx 绕着原点旋转，结合图形知：(6, f (6))
与原点的连线斜
6 ln 6 -12 + a 率 ≤ -1，即 a ≤ 6 - 6 ln 6 。

6
注：在《高观点下函数导数压轴题的系统性解读》（淘宝的博约书斋店铺为唯一正版销售书店）把参数的变化化为几何中的运动视为处理参数的一种基本方法。

9.设点 A 的坐标为(0,3)，点 B,C 为圆O : x 2 + y 2 = 25 的两动点，满足 ∠BAC = 900
，求
∆BAC 面积的最大值。

源自：（2017 清华大学自主招生）给定圆 O 及圆内一点 P ，设 A,B 是圆 O 上的两个动点，满足∠APB = 900
，则 AB 中点的轨迹为（
）
A. 一个圆
B. 一个椭圆
C. 一段双曲线
D. 一段抛物线 变式：（2017 北大自主招生）正方形 ABCD 与点 P 在同一平面内，已知该正方形的边长为 1，且 PA 2
+ PB 2
= PC 2
，则 PD 的最大值为（
）
A. 2 +
B. 2
C. 1+
D. 前三个答案都不对
1+ b 2 a 2 2
max
注：在即将出版的《高观点下全国卷数学高考压轴题解题研究三部曲》（淘宝的博约书斋店铺为唯一正版销售书店）结合自主招生和高考中给出了圆产生的六种方式。

11.已知函数 f (x ) = x ln x - ax 2, a ∈ R .
f (x ) + ax 2 - x +
2
（1）证明：当1 < x < 3 时，
(3 - x )e x
1
e
2 ；
（2）设函数 F (x )
= f (x ) (x ∈[1, e ])
有极小值，求 a 的取值范围。

注 1：（1）容易发现 ⎡⎣(3 - x )e x ⎤⎦
= e 2 ，故把函数分为两部分分别来考虑。

全国卷多次考
查，比如：
变式 1：（2012 新课标文第 12 题）设函数 f ( x ) =
则 M + m =
( x + 1)2
+ sin x
x 2
+ 1
，最大值为 M ,最小值为m ,
变式 2：（2017 全国 3 卷第 11 题）已知函数 f (x ) = x 2 - 2x + a (e
x -1
+ e - x +1) 有唯一零点，
则 a =（ ）
A ． - 1
2
B ． 1
3
C ． 1
2
D ．1:
在即将出版的《高观点下全国卷数学高考压轴题解题研究三部曲》（淘宝的博约书斋店铺为唯一正版销售书店），上升到哲学层面，即思考如何把整体和部分之间关系应用于解题。

注 2：（2）是对 2013 年湖北卷选择题的改编。

变式
（2013 年湖北）已知a 为常数，函数 f (x ) = x (ln x - ax )有两个极值点
x 1, x 2 ( x 1 < x 2 ) ，
则（ ）
f ( x ) > 0, f ( x ) > -
1 1
A.
1
2
2
B. f ( x 1 ) < 0, f ( x 2 ) < - 2
f ( x ) > 0, f ( x ) < - 1
f ( x ) < 0, f ( x ) > - 1
C. 1 2 2
D. 1 2 2
【解析】从数到形：由 f '( x ) = 1 - 2ax + ln x = 0 得ln x = 2ax -1，作出 y = ln x , y = 2ax -1
的图像。

从形到数：直线 y = 2ax -1恒过 (0,-1)，当直线绕着(0,-1)旋转，容易得到满足条件 1 的直线位于切线l 与直线 y = -1这两条红线之间，从而得到0 < a < .
2
>
借助图像，可以确定讨论的分界点，当 a ≥ 1
时， f (x ) = x ln x - ax 2
恒单减；当 a ≤ 1
2
e
时， f (x ) = x ln x - ax 2
恒单增；当 1 < a < 1
时， f (x ) = x ln x - ax 2
有增有减，结合函数
e 2
值正负的考虑，也可以得到答案。

在《高观点下函数导数压轴题的系统性解读》（淘宝的博约书斋店铺为唯一正版销售书店），从数和形的反复转化，非常容易就突破了 2013 湖北这道选择题。