2018届福建省闽侯二中五校教学联合体高三上学期期中考试数学(文)试题(解析版)

闽侯二中五校教学联合体2017—2018学年第一学期高三年段
文科数学
第I卷（选择题共60分）
一、选择题（本大题12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.）
1.某食品广告词为“幸福的人们都拥有”．初听起来，这似乎只是普通的赞美之词，然而它的实际效果却很大．原来这句广告词的等价命题是( )
A. 不拥有的人们不一定幸福
B. 不拥有的人们可能幸福
C. 拥有的人们不一定幸福
D. 不拥有的人们不幸福
【答案】D
【解析】
本题考查原命题与逆否命题的关系。

解答：根据原命题与逆否命题等价
原命题为：幸福的人们都拥有
逆否命题为：不拥有的人们不幸福
故选D。

2.不等式的一个必要不充分条件是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
通过解二次不等式求出的充要条件，通过对四个选项的范围与充要条件的范围间的包含关系的
判断，得到的一个必要不充分条件
的充要条件为－＜x＜3
对于A是0的充要条件
对于B，是的充分不必要条件
对于C，的不充分不必要条件
对于D，是的一个必要不充分条件
故选D
解决一个命题是另一个命题的什么条件，应该先化简各个命题，再进行判断，判断时常有的方法有：定定义法、集合法。

3.已知满足约束条件，则的最大值为（）
A. 8
B. 10
C. 16
D.
【答案】B
【解析】
【详解】作出不等式组表示的可行域，如图所示：
可以看作可行域内的点与原点(0,0)距离的平方，
右图易知，当点P与点A(1,1)重合时距离最小，此时，
当P与点C(1,3)重合时距离最大，此时，
所以.，即最大值为10.
故选B.
【点睛】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，属于中档题．求目标函数最值的一般步骤是“一画、二找、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移或旋转变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.
4.若曲线在处的切线与直线ax+2y+1=0互相垂直，则实数a的值等于（）
A. －2
B. －1
C. 1
D. 2
【答案】D
试题分析：∵，∴，由导数的几何意义得在处的切线斜率为
，又直线ax+2y+1=0的斜率为，∴，∴，故选D
考点：本题考查了导数的几何意义
点评：在处导数即为所表示曲线在处切线的斜率,即,则切线方
程为:
5.将函数的图象向左平移个单位后，得到的函数图象关于直线轴对称，则的最小值为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
试题分析：将函数的图象向左平移个单位后，
可得函数的图象．
再根据得到的函数图象关于轴对称，可得的最小正值为，，
故选D．
考点：函数的图像和性质
6.如图所示的方格纸中有定点，则( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
由向量的加法的平行四边形法则易得解.
【详解】在方格纸上作出，如下图，
则容易看出，
故选D.
【点睛】本题主要考查了平面向量的加法运算平行四边形法则，属于基础题.
7.函数的最大值为( )
A. B. C. D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】
将函数变形，进而利用基本不等式即可得最值.
【详解】根据题意,有,
则，
而，当且仅当时取最小值2.
所以有最大值,
故选A.
【点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.
8.已知向量则
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
选D.
9.已知函数的定义域为，且时，，则不等式的解集为( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
通过求导得到函数的单调性，结合函数的奇偶性，讨论和求解不等式即可.
【详解】当时，，有.
∴在递减，
又，
∴是奇函数，
∴在递减，
又，
∴当时，由，可得；
当时，由，可得
∴时,，
故选：D.
【点睛】本题主要考查了利用函数的单调性和奇偶性解不等式，涉及到分情况讨论，属于常考题型.
10.函数的零点有两个，求实数的取值范围（）
A. B. 或 C. 或 D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由题意可得，的图象（红色部分）和直线有2个交点，数形结合求得的范围．
【详解】由题意可得的图象(红色部分)和直线有2个交点，如图所示：
故有或，
故选：B.
【点睛】已知函数零点(方程根)的个数，求参数取值范围的三种常用的方法：(1)直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法，先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后
数形结合求解．一是转化为两个函数的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点
的个数就是函数零点的个数，二是转化为的图象的交点个数问题 .
11.在三棱锥中，为等边三角形，边长为，面，，则此三棱锥的外接球的表面积为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
试题分析：根据已知底面是边长为的正三角形，面，
可得此三棱锥外接球，即为以为底面以为高的正三棱柱的外接球
∵△ABC是边长为的正三角形，
∴的外接圆半径球心到的外接圆圆心的距离，
故球的半径，
故三棱锥P-ABC外接球的表面积，
故选D．
考点：球的体积和表面积
12.定义为个正数的“均倒数”，已知数列的前项的“均倒数”为，
又，则（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由题中“均倒数”的概念可得数列的前n项和为，进而可得，从而可得，代入条件可利用裂项求和的方式得解.
【详解】由已知得数列前项的“均倒数”为，
可得，则，
所以时，；时，.
所以.
又，故.
所以.
故选C.
【点睛】裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方
法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)；（2） ； （3）
；（4） ；此外，需注意裂项之后相
消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.
第II 卷（非选择题，共90分）
二、填空题 （每小题5分，共20分）
13.若集合中只有一个元素，则满足条件的实数构成的集合为____________
【答案】
【解析】
由题意得
，满足条件的实数构成的集合为
14.不等式的解集为 .
【答案】
【解析】
试题分析：
,故应填:
考点：简单分式不等式.
15.
的内角
所对的边分别为，则形状为__________．
【答案】直角三角形 【解析】 【分析】
由余弦的二倍角公式及余弦定理可得，从而得三角形为直角三角形.
【详解】因为，
又因为，
所以
，
又因为， 所以
，
所以，
因为，
所以，
又因为，
所以
所以为直角三角形，
故答案为：直角三角形.
【点睛】根据正弦定理、余弦定理判断三角形的形状时，常用的方法有两种，一是把边化成角后进行判断，另一种方法是把角化为边后再进行判断，解题时注意对两种方法的选择．
16.若函数的图象关于直线对称，则值是____ .
【答案】
【解析】
【分析】
由函数的图象关于直线对称，可得函数为偶函数，通过偶函数定义可计算得，从而可求.
【详解】因为函数的图象关于直线对称，
所以将函数的图象向右平移2个单位，得函数的图象关于直线对称，即
是偶函数.
设，
因为
所以，
解之得．
所以，
有.
故答案为：-9.
【点睛】本题主要考查了函数的轴对称性质，将对称轴平移至y轴，则得到一个偶函数，进而利用函数奇
偶性求解即可，本题的运算是难点，多项式展开式项数较多，需认真计算.
三、解答题（本大题6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.已知函数的定义域为集合，函数的值域为集合．
（1）求；
（2）若集合，且，求实数的取值范围．
【答案】（1）；（2）．
【解析】
试题分析：（1）是函数的定义域，只要解不等式即得，是函数的值域，由指数函数的单调性
可得；（2）条件，等价于，是的子集，要分类，分为空集和不为空集两类求解．
试题解析：（1）要使函数f（x）=有意义,则,解得,
∴其定义域为集合A=[2,+∞）；对于函数,∵,
∴,其值域为集合B=[1,2]．∴A B={2}．
（2）∵,∴C B．当时,即时,C=,满足条件；
当时,即时,要使C B,则,解得．
综上可得：．
考点：集合的运算，集合的包含关系．
18.的内角所对的边分别为，且.
（1）求角的大小；
（2）若的面积为，且，求的周长.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）利用正弦定理将边化为角可得，从而可得；
（2）由面积公式及余弦定理可得由，解方程可得，从而得周长.
【详解】（1）因为
，由正弦定理得
，
即=sin(A+C)．
因为B ＝π－A －C ，所以sinB=sin(A+C)，
所以．
因为B ∈(0，π)，所以sinB≠0，
所以，因为，所以．
（2）△ABC 的面积为，且,
由
，
．所以,
所以的周长 . 【点睛】本题主要考查了正余弦定理及面积公式解三角形，属于公式的应用，比较基础.
19.如图，在正方体中，分别为的中点，为与的交点.
（1）证明：面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2）
. 【解析】
【分析】
（1）先证，进而有故从而, 即,再由线
面垂直可证得，从而得证；
（2）连接,由（1）知，,即为直线与平面所成角,由求解即可.
【详解】（1）证明：因为，，,
所以,
从而
在中
故从而,
即,
又因为，∥,
所以,
又因为,
故,
又因为
所以,
（2）解：连接,由（1）知，,
故即为直线与平面所成角,
设正方体的棱长为1 ，则，
在中，因为，所以,
故,
所以．
【点睛】本题考查直线与平面位置关系的判断，线面角的求解，考查空间想象能力、推理论证、计算能力．求直线与平面所成的角由两种方法：一是传统法，证明线面垂直找到直线与平面所成的角，利用平面几何知识解答；二是利用空间向量，求出直线的方向向量以及平面的方向向量，利用空间向量夹角余弦公式求解即可.
20.设数列的前项和为，数列的前项和为，满足.
(1)求的值；
(2)求证：数列为等比数列；
(3)求数列的通项公式．
【答案】（1）1；（2）证明见解析；（3）.
【解析】
【分析】
（1）令n＝1时，代入条件直接求解即可；
（2）当n≥2时，S n＝T n－T n－1，可得S n＝2S n－1＋2n－1，进而有S n+1＝2S n＋2n＋1，两式作差可得a n+1＝2a n ＋2，变形得a n+1＋2＝2(a n＋2)，从而得证；
（3）由（2）可利用等比数列的通项公式求解，即可得解.
【详解】(1)当n＝1时，T1＝2S1－12.
因为T1＝S1＝a1，所以a1＝2a1－1，
解得a1＝1.
(2)当n≥2时，S n＝T n－T n－1＝2S n－n2－[2S n－1－(n－1)2]
＝2S n－2S n－1－2n＋1，
所以S n＝2S n－1＋2n－1，①
S n+1＝2S n＋2n＋1，②
②－①，得a n+1＝2a n＋2.
所以a n+1＋2＝2(a n＋2)，即,
当n＝1时，a1＋2＝3，a2＋2＝6，则，故n＝1时也满足上式．
因此数列{a n＋2}是以3为首项，2为公比的等比数列
(3)由（2）知，a n＋2＝3×2n－1，即a n＝3×2n－1－2.
【点睛】本题主要考查了数列的递推关系，及构造新等比数列求解数列桐乡公式，属于常规题型.
21.为了提高产品的年产量，某企业拟在2016年进行技术改革，经调查测算，产品当年的产量万件与投入
技术改革费用万元满足为常数)．如果不搞技术改革，则该产品当年的产量只能是1万件，已知2016年生产该产品的固定投入成本为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元．由于市场行情较好，厂家生产均能销售出去，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品生产成本的1.5倍(生产成本包括固定投入和再投入两部分资金)．
(1)试确定的值，并将2016年该产品的利润万元表示为技术改革费用万元的函数(利润＝销售金额－生产成本－技术改革费用)；
(2)该企业2016年的技术改革费用投入多少万元时，厂家的利润最大？并求出最大利润．
【答案】（1）；（2）该企业2016年的技术改革费用投入3万元时，厂家的利润最大，最大为21万元.
【解析】
【分析】
（1）（1）首先根据题意令m=0代入，求出常量k，这样就得出了x与m的关系式，然后根据2016年固定收入加再投入资金求出总成本为8+16x，再除以2016的件数就可以得出2016年每件的成本，而每件的销售价格是成本的1.5倍，从而得出了每件产品的销售价格，然后用每件的销售单价×销售数量得到总销售额．最后利用利润=销售金额-生产成本-技术改革费用得出利润y的关系式．
（2）根据基本不等式，求出y的最大值时m的取值即可．
【详解】(1)由题意可知，当m＝0时，x＝1万件，
∴1＝3－k，∴k＝2，
,
∴每件产品的销售价格为，
∴2016年的利润
.
(2)∵m≥0，
当且仅当，即m＝3时，取等号.
所以，当m＝3时，y max＝21.
∴该企业2016年的技术改革费用投入3万元时，厂家的利润最大，最大为21万元 .
【点睛】本题主要考查了函数的实际问题，其中解答中认真审题，建立函数的解析式，化简解析式，利用基本不等式求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以推理与运算能力.
22.已知函数.
(1)求函数的极值点；
(2)设函数，求函数在区间上的最小值．
【答案】（1）是函数的极小值点，极大值点不存在；（2）当时，的最小值为0；当时，
的最小值为；当时，的最小值.
【解析】
【分析】
（1）由已知得f′（x）=lnx+1，x>0，由f′（x）=0，得x＝，，由此利用导数性质能求出函数f（x）的极值点．
（2）由已知得g′（x）=lnx+1-a，由g′（x）=0时，x=e a-1，求出函数的单调区间，从而求出函数g（x）在[1，e]上的最小值．
【详解】(1)f′(x)＝ln x＋1，x>0，
由f′(x)＝0得x＝ ,
所以，f(x)在区间上单调递减，在区间上单调递增．
所以，x＝是函数f(x)的极小值点，极大值点不存在．
(2)g(x)＝x ln x－a(x－1)，则g′(x)＝ln x＋1－a，
由g′(x)＝0，得x＝e a－1，
所以，在区间上，g(x)为减函数，在区间(e a－1，＋∞)上，g(x)为增函数，
所以x＝e a－1是极小值点,
以下对极小值点是否在[1，e]上作分类讨论．
当e a－1≤1，即a≤1时，在区间[1，e]上，g(x)为增函数，所以g(x)的最小值为g(1)＝0.
当1<e a－1<e，即1<a<2时，
g(x)的最小值为g(e a－1)＝a－e a－1 ,
当e a－1≥e，即a≥2时，在区间[1，e]上，g(x)为减函数，g(x)的最小值为g(e)＝a＋e－a e.
综上，当a≤1时，g(x)的最小值为0；当1<a<2时，g(x)的最小值为a－e a－1；
当a≥2时，g(x)的最小值为g(e)＝a＋e－a e.
【点睛】（1）求函数的最值时，需要先求出导函数，然后根据导函数的符号判断出函数的单调性，并结合所给的范围求出最值．若函数在所给的区间内有极值，还需要比较极值与区间端点值的大小才能确定最值．（2）已知函数在给定区间上的最值求参数值时，一般要用到分类讨论．解题时要根据参数的不同取值来分类讨论，分别判断出函数的单调性，然后根据所给的最值求出参数的值，再判断参数是否符合条件，以求得所要结果．。