2020高考数学名师预测 知识点05解析几何

高考猜题
专题05 解析几何
一.选择题（共6小题，每小题5分，共30分）
1若圆)0(2
22>=+r r y x 上恰有相异两点到直线02534=+-y x 的距离等于1，则r 的取值范围是：
A ．[4，6]
B ．)6,4[
C ．]6,4(
D ．)6,4(
2、直线0=+-b y ax 与圆0222
2
=+-+by ax y x 的图象可能是：
3．从集合{1，2，3，…，11}中的任意取两个元素作为椭圆22
221x y m n
+=方程中的m 和n ，则
能组成落在矩形区域(){},|||11,||9B x y x y =<<内的椭圆的个数是
A ．43
B ．72
C ．86
D ．90
4、 动点P （m,n ）到直线5:-=x l 的距离为λ2
2n m +，点P 的轨迹为双曲线（且原点O
为准线l 对应的焦点），则λ的取值为
A 、λ∈R
B 、λ=1
C 、λ＞1
D 、0＜λ＜1
5．点P （-3,1）在椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的左准线上．过点P 且方向为a =（2,-5）的光
线，经直线y=-2反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为 （ ）
A ．
3
B ．
1
3
C ．
2
D ．
12
6．点P 到点A （
21，0），B （a ，2）及到直线x ＝－2
1
的距离都相等，如果这样的点恰好只有一个，那么a 的值是 A ．
2
1
B ．2
3
C ．21或2
3
D ．－
21或2
1 7．已知对k∈R,直线y-kx-1=0与椭圆152
2=+m
y x 恒有公共点，则实数m 的取值范围是 （ ）
A ．（0，1）
B ．（0，5）
C ．［1，5］∪（5,+∞）
D ．［1,5］
8．在椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>中，12,F F 分别是其左右焦点，若122PF PF =，则该椭圆
离心率的取值范围是
（ ）
A ．1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭
B ．1,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭
C ．10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭
D ．10,3
⎛⎤ ⎥⎝
⎦
9．如图所示，下列三图中的多边形均为正多边形,M 、N 是所在边的中点，双曲线均以图中的
F 1,F 2为焦点，设图中的双曲线的离心率分别为e 1,e 2,e 3，则 （ ）
A ．e 1>e 2＞e 3
B ．e 1<e 2<e 3
C ．e 1＝e 3<e 2
D ．e 1=e 3>e 2
10．设P 是△ABC 内任意一点，S △ABC 表示△ABC 的面积，λ1＝
ABc PBC S S ∆∆， λ2＝ABC PCA S S ∆∆，λ3＝ABC
PAB S S
∆∆，定义f （P ）=（λ1, λ, λ3）,若G 是△ABC 的重心，f （Q ）＝（
21，31，6
1
），则 A ．点Q 在△GAB 内 B ．点Q 在△GBC 内
C ．点Q 在△GCA 内
D ．点Q 与点G 重合
11、 点P 在直线:1l y x =-上，若存在过P 的直线交抛物线2
y x =于,A B 两点，且
|||PA AB =，则称点P 为“正点”，那么下列结论中正确的是
（ ）
A ．直线l 上的所有点都是“正点”
B ．直线l 上仅有有限个点是“正点”
C ．直线l 上的所有点都不是“正点”
D ．直线l 上有无穷多个点（点不是所有的点）是“正点” 12 若存在过点(1,0)的直线与曲线3
y x =和215
94
y ax x =+-都相切，则a 等于
( )
A ．1-或25-
64 B ．1-或214 C ．74-或25
-64
D ．74-或7
二.填空题（共4小题，每小题5分，共20分）
13、椭圆14
92
2=+y x 的焦点为21,F F ，点P 为其上的动点，当21PF F ∠为钝角时，点P 横坐标的取值范围是：
14、若不论k 为何实数，直线1+=kx y 与圆04222
2
2
=--+-+a a ax y x 恒有交点，则实数a 的取值范围是：
15．直线y x a =+与圆2
2
4x y +=交于点,A B ，若2OA OB =-u u u r u u u r
g （O 为坐标原点），则实数
a 的值为 。

16、以双曲线13
22
=-y x 的左焦点F 和左准线l 为相应的焦点和准线的椭圆截直线3+=kx y ，所得的弦恰好被x 轴平分，则k 的取值范围是： ．
三.解答题(共6小题，17题10分，18-22题12分，共70分)
17 如图所示，已知圆M A y x C ),0,1(,8)1(:2
2
定点=++为圆上一动点，点P 在AM 上，点N 在CM 上，且满足N 点,0,2=⋅=的轨迹为曲线E .
（I ）求曲线E 的方程；
（2）过点)3
1
,0(-S 且斜率为k 的动直线l 交曲线E 于A 、B 两点，在y
轴上是否存在定点G ，满足GP GA GB =+u u u r u u u r u u u r
使四边形NAPB 为矩
形？若存在，求出G 的坐标和四边形NAPB 面积的最大值；若不存在，说明理由。

18、在平面直角坐标系中，已知A1（-3，0），A2（3，0），P （x,y ），M （92-x ，0），若实
数λ使向量P A 1，λOM ，P A 2满足λ2·（OM ）2=P A 1·P A 2。

（1）求点P 的轨迹方程，并判断P 点的轨迹是怎样的曲线；
（2）当λ=33
时，过点A1且斜率为1的直线与此时（1）中的曲线相交的另一点为B ，能否
在直线x=-9上找一点C ，使ΔA1BC 为正三角形（请说明理由）。

19． 已知M 是以点C 为圆心的圆2
2
(1)8x y ++=上的动点，定点(1,0)D ．点P 在DM 上，
点N 在CM 上，且满足2,0DM DP NP DM =⋅=u u u u r u u u r u u u r u u u u r
．动点N 的轨迹为曲线E 。

（Ⅰ）求曲线E 的方程；
（Ⅱ）线段AB 是曲线E 的长为2的动弦，O 为坐标原点，求AOB ∆面积S 的取值范
围。

20．若椭圆1E :2222111x y a b +=和椭圆2E :22
2222
1x y a b +=满足2211(0)a b m m a b ==>,则称这两个椭
圆相似，m 是相似比.
(Ⅰ)求过(且与椭圆22
142
x y +=相似的椭圆的方程； (Ⅱ)设过原点的一条射线l 分别与(Ⅰ)中的两椭圆交于A 、Ｂ两点（点Ａ在线段OB 上）.
①若P 是线段AB 上的一点，若|OA|、｜ＯP ｜、｜ＯB ｜成等比数列，求Ｐ点的轨迹方程; ②求OB OA ⋅的最大值和最小值.
21．已知定点C （-1，0）及椭圆x 2
+3y 2
=5,过点C 的动直线与椭圆相交于A ，B 两点． （1）若线段AB 中点的横坐标是-2
1，求直线AB 的方程；
（2）在x 轴上是否存在点M ，使MB MA ⋅为常数？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，
请说明理由．
22．（本题满分14分）在直角坐标系xOy 中，点P 到两点(0-，
，(0的距离之和等于4，设点P 的轨迹为C 。

（1）求曲线C 的方程；
（2）过点作两条互相垂直的直线12,l l 分别与曲线C 交于,A B 和CD 。

①以线段AB 为直径的圆过能否过坐标原点，若能求出此时的k 值，若不能说明理由； ②求四边形ABCD 面积的取值范围。

答案
一.选择题（共6小题，每小题5分，共30分）
1解析 圆心到直线02534=+-y x 的距离为5，则当4=r 时，圆上只有一个点到直线的距离为1，当6=r 时，圆上有三个点到直线的距离等于1，故应选D ．
A ．
B ．
C ．
D ．
2、解析 ：由圆的方程知圆必过原点，∴排除A 、C 选项，圆心（a ，-b ）,
由B 、D 两图知0,0>->b a ．直线方程可化为b ax y +=，可知应选B ．
3答案．B 提示：根据题意，m 是不大于10的正整数、n 是不大于8的正整数。

但是当m n
=时22
221x y m n
+=是圆而不是椭圆。

先确定n ，n 有8种可能，对每一个确定的n ，
m 有1019-=种可能。

故满足条件的椭圆有8972⨯=个。

选B
4答案、D 由双曲线定义及点P （m,n ）到原点的距离为2
2n m +可得：
e=2
22
2n m n m ++λ=λ1
＞1, ∴0＜λ＜1，故选D 。

（也可直接用解析法推导）
5．A 解析：如图,过点P （-3，1）的方向向量)5,2(-=
所以)3(2
5
1;,25+-=--=x y l K PQ PQ 则， 即1325;-=+y x L PQ
联立：)2,59
(2
1325--⎩⎨⎧-=-=+Q y y x 得，
由光线反射的对称性知：2
5
1=
QF K 所以)5
9
(252;1+=+x y L QF ，
即0525:1=+-y x L QF 令y=0,得F 1（-1，0）
综上所述得： c=1，3,32
==a c
a 则 所以椭圆的离心率.333
1===
a c e 故选A 。

6答案．D 提示：（思路一）点P 在抛物线y 2
=2x 上，设P （22y ,y ）,则有（22y +2
1）2
=
（22y －a ）2+（y －2）2,化简得（21－a ）y 2－4y+a 2+415=0, 当a =21时, 符合题意；当a≠
2
1
时，∆=0,有3
a －22a +415a +817=0,（ a +21）（a 2
－a +4
17）=0, a =－21。

选D ．
（思路二） 由题意有点P 在抛物线y 2
=2x 上，B 在直线y=2上,当a=－2
1
时,B 为直线y=2与准线的交点，符合题意；当a=2
1
时，B 为直线y=2与抛物线通径的交点，也符合题意，故选D ．答案：D
7．答案:C 解析:直线y-kx-1=0恒过点（0,1），仅当点（0，1）在椭圆上或椭圆内时，此直
线才恒与椭圆有公共点,所以
m
1
≤1且m ＞0，得m≥1．故选C ． 8．【解析】B 根据椭圆定义122PF PF a +=，将设122PF PF =代入得223
a
PF =
，根据椭圆的几何性质，2PF a c ≥-，故
23a a c ≥-，
即3a c ≤，故13c a ≥，即1
3
e ≥，又1e <，故该椭圆离心率的取值范围是1,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭。

9答案．解析:D 在图（1）中令|F 1F 2|=2c,因为M 为中点，所以|F 1M|=c 且|MF 2|=c 3．
∴131
32||||||2212211+=-=-==
MF MF F F a c e
在图（2）中，令|F 1M|=m,则|F 1F 2|=2m 2，|MF 2|=m 5． ∴1122121322
101
522||||||e MF MF F F e =+<+=-=-=
．
在图（3）中, 令|F 1F 2|=2c,则|F 1P|=c,
|F 2P|=c 3．∴e 3=13+．故e 1=e 3 >e 2．故选D ．
10答案．A 提示：由题f （p ）=).,,(321λλλ若G 为)3
1
,31,31()(=∆G f ，ABC 则的重心． 而)6
1,31,21()(=Q f 与之比较知。

中在GAB Q ∆。

故选A 。

11、解析设()(),,,1A m n P x x -，则()2,22B m x n x ---，∵2
,A B y x =在上，
∴22
21(2)
n m n x m x ⎧=⎨-+=-⎩消去n ,整理得关于x 的方程22
(41)210x m x m --+-= （1）∵2
2
2
(41)4(21)8850m m m m ∆=---=-+>恒成立，∴方程（1）恒有实数解，∴
应选A.
12 解析 设过(1,0)的直线与3
y x =相切于点300(,)x x ，所以切线方程为
320003()y x x x x -=-
即23
0032y x x x =-，又(1,0)在切线上，则00x =或032
x =-
， 当00x =时，由0y =与2
1594y ax x =+-相切可得2564
a =-，
当032x =-时，由272744y x =-与215
94
y ax x =+-相切可得1a =-，所以选A .
二.填空题（共4小题，每小题5分，共20分）
13、解析：设P(x,y)，则当ο
9021=∠PF F 时，点P 的轨迹方程为52
2
=+y x ，由此可得
点P 的横坐标5
3±
=x ，又当点P 在x 轴上时，ο
021=∠PF F ；点P 在y 轴上时，2
1PF F ∠为钝角，由此可得点P 横坐标的取值范围是：5
5
3553<<-
x ． 14、解析：题设条件等价于直线上的定点（0，1）在圆内或圆上，或等价于点（0，1）到圆心（a ，0）的距离小于或等到于圆的半径42+a ，所以31≤≤-a
15．【解析】 方法1．设1122(,),(,)A x y B x y ，将直线方程代入圆的方程得
2
2
2240x ax a ++-=，则212124
,2
a x x a x x -+=-=，
2121212121212()()2()OA OB x x y y x x x a x a x x a x x a =+=+++=+++u u u r u u u r g
2222442a a a a =--+=-=-，即22a =，即a =
方法2．222cos 2OA OB AOB =-⇔⋅∠=-u u u r u u u r
g
，即120AOB ∠=o ，问题等价于圆心到直
1=，故a =
16、解析：双曲线的左焦点为F （-2，0），左准线l 为2
3
-
=x ，因为椭圆截直线所得的弦恰好被x 轴平分，故根据椭圆的对称性，知椭圆的中心即为直线3+=kx y 与x 轴的交点
（0,3k -
），故23-<-k ，得2
3
0<<k ．
三.解答题(共6小题，17题10分，18-22题12分，共70分)
17解：Ⅰ）.0,2=⋅=Θ ∴NP 为AM 的垂直平分线，∴|NA|=|NM|.
又.222||||,22||||>=+∴=+AN CN NM CN Θ ∴动点N 的轨迹是以点C （－1，0），A （1，0）为焦点的椭圆. 且椭圆长轴长为,222=a 焦距2c=2. .1,1,22===
∴b c a
∴曲线E 的方程为.12
22
=+y x （2）动直线l 的方程为：,3
1-
=kx y 由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧
=+-=,
12
,3122y x kx y 得.091643)12(22=--+kx x k
设).,(),,(2211y x B y x A 则.)
12(916
,)12(3422
1221+-=+=
+k x x k k x x 假设在y 上存在定点G （0，m ），满足题设，则
18答案、解：（1）由已知可得，P A 1=（x+3,y ）,P A 2=(x-3,y),OM =(
92
-x ,0), ∵λ2（OM ）2=
P A 1·P A 2，∴λ2（x2-9）=x2-9+y2,
即P 点的轨迹方程（1-λ2）x2+y2=9（1-λ2）
当1-λ2＞0，且λ≠0，即λ∈（-1，0）时，有92
x +)1(92
2λ-y =1， ∵1-λ2＞0，∴
)1(92
2
λ-y ＞0，∴x2≤9。

∴P 点的轨迹是点A1，（-3，0）与点A2（3，0）
当λ=0时，方程为x2+y2=9，P 的轨迹是点A1（-3，0）与点A2（3，0）
当1-λ2＜0，即入∈（-∞，-1）∪（1，+∞）时，方程为92
x -)1(92
2λ-y =1，P 点的轨迹是双曲线。

当1-λ2=0，即λ=±1时，方程为y=0，P 点的轨迹是射线。

（2）过点A1且斜率为1的直线方程为y=x+3,
当λ=33时，曲线方程为92x +62
y =1，
由（1）知，其轨迹为点A1（-3，0）与A2（3，0） 因直线过A1（-3，0），但不过A2（3，0）。

所以，点B 不存在。

所以，在直线x=-9上找不到点C 满足条件。

19．解：（Ⅰ）2,0.DM DP NP DM =⋅=u u u u r u u u r u u u r u u u u r
Q
∴NP 为DM 的垂直平分线，∴||||ND NM =,
又|||||||| NM CN DN +=∴
+=>Q （2分） ∴动点N 的轨迹是以点(1,0),(1,0)C D -
为焦点的长轴为
∴轨迹E 的方程为.12
22
=+y x （4分） （Ⅱ） 解法一∵线段AB 的长等于椭圆短轴的长，要使三点A O B 、、能构成三角形， 则弦AB 不能与x 轴垂直，故可设直线AB 的方程为y kx b =+，
由22
,1.2
y kx b x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，并整理，得
222(12)4220.k x kbx b +++-=
设),(11y x A ，),(22y x B ，则
122
412kb
x x k
+=-+，21222(1)12b x x k -=+。

（6分）
||2,AB =
Q 2.=22
1212(1)()44k x x x x ⎡⎤∴++-=⎣⎦， 2
22
2248(1)(1)4,1212kb b k k k ⎡⎤
-⎛⎫∴+--=⎢⎥ ⎪++⎝⎭⎢⎥⎣
⎦ 2
2
12(1)1b k ∴
=-+，211k +≥Q ，2112
b ∴≤<． （8分） 又点O 到直线AB
的距离h =
1||2S AB h ∴=
⋅h =，22S h ∴=222(1)b b =-2211
2()22
b =--+ （10分）
21
02
S ∴<≤
，0S ∴<≤ （12分）
解法二：∵线段AB 的长等于椭圆短轴的长，要使三点A O B 、、能构成三角形，则弦AB 不能与x 轴垂直，故可设直线AB 的方程为y kx b =+，
由22
,
1.2
y kx b x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，并整理，得
222(12)4220.k x kbx b +++-=
设),(11y x A ，),(22y x B ，则122
412kb
x x k
+=-+，21222(1)12b x x k -=+ （8分） ||2,AB =
Q 2.=22
1212(1)()44k x x x x ⎡⎤∴++-=⎣⎦，
2
22
2248(1)(1)4,1212kb b k k k ⎡⎤-⎛⎫∴+--=⎢⎥ ⎪++⎝⎭⎢⎥⎣
⎦22
221,2(1)k b k +∴=+ （10分） 又点O 到直线AB
的距离h =
1
||2
S AB h ∴=
⋅h =。

2
2
S h ∴=221b k
=+22212(1)k k +=+221112(1)k k =-++ 设211t k =
+，则221(01)2S t t t =-+<≤，2
102
S ∴<≤
，02S ∴<≤．
20．解:(Ⅰ)设与22142x y +=相似的椭圆的方程22
221x y a b
+=.
则有22
2461
a b a b ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得2216,8a b ==,所求方程是
221168x y +=. (Ⅱ) ① 当射线l
的斜率不存在时(0,(0,A B ±,
设点P 坐标P(0,0)y ,则2
04y =,02y =±.即P(0,2±).
当射线l 的斜率存在时，设其方程y kx =,P(,)x y
由11(,)A x y ,22(,)B x y 则11221
1142y kx x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得2
12221
2412412x k
k y k ⎧=⎪⎪+⎨⎪=
⎪+⎩
||OA ∴=
同理||OB =
又点P 在l 上，则y k x
=，且由2
2222222222
2
8(1)
8(1)8()12212y k x y x x y y k x y x
++++===+++, 即所求方程是22
184
x y +=. 又Q (0,2±)适合方程,故所求椭圆的方程是22
184
x y +=. ②由①可知,当l 的斜率不存在时，OB OA ⋅4222=⋅=
,
当l 的斜率存在时, OB OA ⋅()
2
2221442118k
k b ++=++=, ∴84≤⋅≤OB OA
综上OB OA ⋅的最大值是8,最小值是4.
)
12(9)
1569()1(189132)12(34)31()12(9)1(169
1
32))(31()1()31
31()31)(31()())(().
,(),,(222222222212122
212221221212121212211+-++-=
+
++++-++-=+
++++-+=+-+----+=++-+=--+=⋅-=-=k m m k m m m k k m k k k m m x x m k x x k m kx kx m kx kx x x m y y m y y x x m y m y x x GB GA m y x m y x
由假设得对于任意的0=⋅⋅∈R k 恒成立，
即⎪⎩⎪⎨⎧=-+=-,
0159,012
2m m m 解得m=1。

因此，在y 轴上存在定点G ，使得以AB 为直径的圆恒过这个点， 点G 的坐标为（0，1） …………10分 这时，点G 到AB 的距离.))(1(||1
3422122x x k AB k d -+=⋅+=
.)12(4
9916)
12(964)1(216344)(3
4
)(34||2
22222221221221++=+++=-+=-=
=k k k k k x x x x x x d AB S GAPB
设,122
t k =+则,2
1
2-=
t k 得[)(].1,01,,1∈+∞∈t
t
所以.9
32
])291(481[21916)1(21)1(2991622≤--=-=
t t t S GAPB 当且仅当11
=t
时，上式等号成立。

因此，GAPB ∆面积的最大值是
.9
32
21．解 （1）依题意，直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为y=k （x+1）,
将y=k （x+1）代入x 2+3y 2
=5,
消去y 整理得（3k 2+1）x 2+6k 2x+3k 2
-5=0． 设A （x 1,y 1）,B （x 2,y 2）,
则⎪⎩
⎪
⎨⎧+-=+>-+-=∆.136,0)53)(13(4362
221224k k x x k k k 由线段AB 中点的横坐标是-2
1
，
得221x x +=-1
3322+k k =-21,解得k=±33
，适合①．
所以直线AB 的方程为x-3y+1=0,或x+3y+1=0． （2）假设在x 轴上存在点M （m ，0），使⋅为常数． （ⅰ）当直线AB 与x 轴不垂直时，由（1）知 x 1+x 2=-1
3622+-
k k ,x 1x 2=
1
35322+-k k ． ③
所以MB MA ⋅=（x 1-m ）（x 2-m ）+y 1y 2
=（x 1-m ）（x 2-m ）+k 2
（x 1+1）（x 2+1）
=（k 2+1）x 1x 2+（k 2-m ）（x 1+x 2）+k 2+m 2
． 将③代入，整理得
⋅=
1
35)16(22+--k k m +m 2
=
1
33142)13)(312(22+-
-+-k m k m +m 2 =m 2
+2m-3
1-
)
13(31462
++k m ．
注意到⋅是与k 无关的常数，从而有 6m+14=0，m=-3
7，此时⋅=9
4． （ⅱ）当直线AB 与x 轴垂直时， 此时点A ，B 的坐标分别为⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛
-32,
1、⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--32,1， 当m=-3
7
时，亦有⋅=9
4．
综上，在x 轴上存在定点M ⎪⎭⎫
⎝⎛-0,3
7
，使⋅为常数．
22．【解析】（1）设(,)P x y ，由椭圆定义可知，点P 的轨迹C
是以(0(0-，为焦点，
长半轴为2
的椭圆．它的短半轴1b =
=，
故曲线C 的方程为2
2
14
y x +=．（4分） ① ②
（2
）①设直线1:l y kx =1122()()A x y B x y ，，，，其坐标满足
2
214y x y kx ⎧+
=⎪⎨
⎪=+⎩
， 消去y
并整理得22
(4)10k x ++-=，
故1212
221
44
x x x x k k +=-
=-++，．（6分） 以线段AB 为直径的圆过能否过坐标原点，则OA OB ⊥u u u r u u u r
，即12120x x y y +=．
而2121212()3y y k x x x x =++，
于是22
12122
221630444
k k x x y y k k k +=---+=+++， 化简得2
430k -+=
，所以2
k =±
．（8分） ②由①，
21224(1)
4
k AB x k +=-===+，
将上式中的k 换为1
k
-得22
4(1)41k CD k +=+， 由于AB CD ⊥,故四边形ABCD 的面积为22
22
18(1)2(4)(41)
k S AB CD k k +==++，（10分） 令2
1k t +=，则
22
2
2
2888
8
(3)(43)499
111125
994924t t S t t t t t t t ===
=
+-+-⎛⎫⎛⎫⎛⎫-++--+
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
⎝⎭
，
而1(0,1)t ∈，故2
112525
49244t ⎛⎫<--+≤
⎪⎝⎭
，故32225S ≤<， 当直线1l 或2l 的斜率有一个不存在时，另一个斜率为0， 不难验证此时四边形ABCD 的面积为2，
故四边形ABCD 面积的取值范围是32,225⎡⎤
⎢
⎥⎣⎦
．。