弹塑性力学习题集_很全有答案_
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态。
题 2—13 图
题 2—14 图
2—14* 如题 2—14 图所示的变截面杆，受轴向拉伸载荷 P 作用，试确定杆体两侧外 表面处应力 σ z （横截面上正应力）和在材料力学中常常被忽
略的应力 σ x 、 τ zx 之间的关系。 2—15 如题 2—15 图所示三角形截面水坝，材料的比重 为 γ ，水的比重为 γ 1 ，已求得其应力解为： σ x = ax + by ,
2—42 如题 2—42 图所示的圆截面杆扭转时得到的应变分量为： ε x = ε y = ε z = γ xy = 0,
γ zy = θ x, γ zx = −θ y 。试检查该应变是否满足变形连续性条件，并求位移分量 u、v、w。设
在原点处 u 0 = v 0 = w0 = 0, dz 在 xoz 和 yoz 平面内没有转动，dx 在 xoy 平面内没有转动。
弹塑性力学习题
第二章 应力理论·应变理论
2—1 试用材料力学公式计算：直径为 1cm 的圆杆，在轴向拉力 P = 10KN 的作用下杆 横截面上的正应力 σ 及与横截面夹角 α = 30° 的斜截面上的总应力 Pα 、正应力 σ α 和剪应力
τ α ，并按弹塑性力学应力符号规则说明其不同点。 2—2 试用材料力学公式计算：题 2—2 图所示单元体主应力和主平面方位（应力单位 MPa） ，并表示在图上。说明按弹塑性力学应力符号规则有何不同。
题 2—41 图
题 2—42 图
第三章 弹性变形·塑性变形·本构方程
试证明在弹性变形时，关于一点的应力状态，下式成立。 1 (1) γ 8 = τ 8 ; (2) σ = kε （设ν = 0.5 ） G 3—2* 试以等值拉压应力状态与纯剪切应力状态的关系， 由应变能公式证明 G、 E、 ν之 间的关系为： 1 G= 2(1 + ν ) 1 1 3—3* 证明：如泊松比ν = ，则 G = E ， λ → ∞ ， k → ∞ , e = 0 ，并说明此时上述 2 3 各弹性常数的物理意义。 3—4* 如设材料屈服的原因是形状改变比能（畸形能）达到某一极值时发生，试根据 单向拉伸应力状态和纯剪切应力状态确定屈服极限 σ s 与 τ s 的关系。 3—5 试依据物体单向拉伸侧向不会膨胀，三向受拉体积不会缩小的体积应变规律来 1 证明泊松比ν 的上下限为： 0 < ν < 。 2 2 3—6* 试由物体三向等值压缩的应力状态来推证：K = λ + G 的关系， 并验证是否与 3 E K= 符合。 3(1 − 2v) 3—7 已知钢材弹性常数 E1 = 210Gpa，v1 = 0.3， 橡皮的弹性常数 E 2 =5MPa，v 2 = 0.47， 试比较它们的体积弹性常数（设 K1 为钢材，K2 为橡皮的体积弹性模量） 。 3—8 有一处于二向拉伸应力状态下的微分体（ σ 1 ≠ 0, σ 2 ≠ 0, σ 3 = 0 ） ，其主应变
试确定外法线的三个方向余弦相等时的微斜面上的总应力 Pα ，正应力 σ α 和剪应力 τ α 。 2—11 试求以主应力表示与三个应力主轴成等倾斜面（八面体截面）上的应力分量， 并证明当坐标变换时它们是不变量。 2—12 试写出下列情况的应力边界条件。
题 2—12 图
2—13 设题 2—13 图中之短柱体，处于平面受力状态，试证明在尖端 C 处于零应力状
v = b0 + b1 x + b2 y + b3 z w = c 0 + c1 x + c 2 y + c3 z
式中 a 0 L , a1 L , a 2 L 为常数，试证各点的应变分量为常数。 2—29 设已知下列位移，试求指定点的应变状态。
(1) u = (3x 2 + 20) × 10 −2 , v = (4 yx) × 10 −2 ，在（0，2）点处。 (2) u = (6 x 2 + 15) × 10 −2 , v = (8 zy ) × 10 −2 , w = (3z 2 − 2 xy) × 10 −2 ，在（1，3，4）点处。 2—30 试证在平面问题中下式成立： εx + εy =ε′ x + ε′ y
ε x = a 0 + a1 ( x 2 + y 2 ) + x 4 + y 4 , ε y = b0 + b1 ( x 2 + y 2 ) + x 4 + y 4 , γ xy = c 0 + c1 xy ( x 2 + y 2 + c 2 ), ε z = γ zx = γ yz = 0.
试求式中各系数之间应满足的关系式。 2—38* 试求对应于零应变状态（ ε ij = 0 ）的位移分量。
应力 τ 8 。
2 —24* 一点的主应力为： σ 1 = 75a, σ 2 = 50a, σ 3 = −50a ，试求八面体面上的全应力
P8 ，正应力 σ 8 ，剪应力 τ 8 。
2—25 试求各主剪应力 τ 1 、 τ 2 、 τ 3 作用面上的正应力。 2—26* 用应力圆求下列(a)、(b) 图示应力状态的主应力及最大剪应力，并讨论若(b) 图中有虚线所示的剪应力 τ ′ 时，能否应用平面应力圆求解。
题 2—15 图
12 6 0 2—17 已知一点处的应力张量为： σ ij = 6 10 0 MPa ，试求该点的最大主应力及 0 0 0 其主方向。 2—18* 在物体中某一点 σ x = σ y = σ z = τ xy = 0 ，试以 τ yz 和 τ zx 表示主应力。
2—35* 已知物体中一点的应变分量为
10 4 − 2 −4 ε ij = 4 5 3 × 10 − 2 3 − 1
试确定主应变及最大主应变的方向。 2—36* 某一应变状态的应变分量 γ xy 和 γ yz =0， 试证明此条件能否表示 ε x 、ε y 、ε z 中 之一为主应变？ 2—37 已知下列应变状态是物体变形时产生的：
(2) J 3 = I 3 + (4) J 2 = (6)
1 2 3 I1 I 2 + I1 ; 3 27
1 S ij S ij ; 2
∂J 2 = S ij . ∂σ ij
1 S ik S km S mi 。 3 2—22* 试证在坐标变换时， I 1 为一个不变量。要求：(a) 以普通展开式证明； (b) 用 张量计算证明。 5 3 8 2—23 已知下列应力状态： σ ij = 3 0 3 MPa ，试求八面体单元的正应力 σ 8 与剪 8 3 11
题 2—26 图
2—27* 试求： 如(a) 图所示， ABC 微截面与 x、 y、 z 轴等倾斜， 但 τ xy ≠ 0, τ yz ≠ 0, τ zx ≠ 0,
试问该截面是否为八面体截面？如图(b) 所示，八面体各截面上的 τ 8 指向是否垂直棱边？
题 2—27 图
2—28 设一物体的各点发生如下的位移： u = a 0 + a1 x + a 2 y + a 3 z
1 1 1 ， n y = ， nz = 的微斜面上的全应力 Pα ，正 2 2 2
试求外法线 n 的方向余弦为： n x = 应力 σ α 和剪应力 τ α 。
2—10 已知物体的应力张量为： 30 − 80 50 σ ij = 0 − 30 MPa 110 (对称)
题 2 —5 图
题 2 —6 图
G=
E 2(1 + v)
2—8 用材料力学方法试求出如题 2—8 图所示受均布载荷作用简支梁内一点的应力状 态，并校核所得结果是否满足平衡微分方程。
题 2 —8 图
2—9
已知一点的应力张量为： 50 80 50 σ ij = 0 − 75 MPa − 30 如题 2—5 图，刚架 ABC 在拐角 B 点处受 P 力，已知刚架的 EJ，求 B、C 点的 转角和位移。 （E 为弹性模量、J 为惯性矩） 2—6 悬挂的等直杆在自重 W 的作用下如题 2—6 图所示。材料比重为 γ ，弹性模量为 E，横截面积为 A。试求离固定端 z 处一点 c 的应变 ε z 与杆的总伸长 ∆l 。 2—7* 试按材料力学方法推证各向同性材料三个弹性常数：弹性模量 E、剪切弹性模 量 G、泊松比 v 之间的关系：
题 2 —2 图
题 2 —3 图
2—3 求题 2—3 图所示单元体斜截面上的正应力和剪应力（应力单位为 MPa） ，并说 明使用材料力学求斜截面应力的公式应用于弹塑性力学计算时，该式应作如何修正。 2—4 已知平面问题单元体的主应力如题 2—4 图(a)、(b)、(c)所示，应力单位为 MPa。 试求最大剪应力，并分别画出最大剪应力作用面（每组可画一个面）及面上的应力。
1 (ax 2 + by 2 ) 2 1 (az 2 + by 2 ) 2 0
c( x 2 + y 2 ) cxyz 0 (3) ε ij = cxyz cy 2 x 0 0 0 0 2—33* 试证题 2—33 图所示矩形单元在纯剪应变状态时，剪应变 γ xy 与对角线应变 ε oB 之
3—1
为 ε 1 = 1.7 × 10 −4 ， ε 2 = 0.4 × 10 −4 。已知ν = 0.3，试求主应变 ε 3 。
3—9 如题 4—9 图示尺寸为 1×1×1cm 的铝方块，无间隙地嵌入——有槽的钢块中。 设钢块不变形，试求：在压力 P = 6KN 的作用下铝块内一点应力状态的三个主应力及主应 变，铝的弹性常数 E=70Gpa，ν = 0.33。 3—10* 直径 D = 40mm 的铝圆柱体， 无间隙地放入厚度为 δ = 2mm 的钢套中， 圆柱受
间的关系为 ε oB =
1 γ xy 。 （用弹塑性力学转轴公式来证明） 2
题 2—33 图
2 — 34
设 一 点 的 应 变 分 量 为 ε x = 1.0 × 10 −4 ， ε y = 5.0 × 10 −4 ， ε z = 1.0 × 10 −4 ，
ε xy = ε yz = 1.0 × 10 −4 ， ε zx = 3.0 × 10 −4 ，试计算主应变。
2—19 已知应力分量为 σ x = σ y = σ z = τ xy = 0, τ yz = a, τ zx = b, 计算主应力 σ 1 、 σ2、 σ3，
并求 σ 2 的主方向。
2—20 证明下列等式： 1 2 (1) J 2 = I 2 + I 1 ; 3 1 (3) I 2 = − (σ ii σ kk − σ ik σ ik ); 2 ∂J 2 (5) = S ij ; ∂S ij 2—21* 证明等式： J 3 =
2—31 已知应变张量
− 6 − 2 0 −3 ε ij = − 2 − 4 0 × 10 0 0 0 试求： （1）应变不变量； （2）主应变； （3）主应变方向； （4）八面体剪应变。 2—32 试说明下列应变状态是否可能存在： （式中 a、b、c 为常数）
c( x 2 + y 2 ) cxy 0 (1) ε ij = cxy cy 2 0 0 0 0 axy 2 0 (2) ε ij = 0 ax 2 y 1 1 (ax 2 + by 2 ) (az 2 + by 2 ) 2 2
2—39* 若位移分量 u i 和 u i′ 所对应的应变相同，试说明这两组位移有何差别？ 2—40* 试导出平面问题的平面应变状态（ ε x = γ zx = γ zy = 0 ）的应变分量的不变量及
主应变的表达式。 2—41* 已知如题 2—41 图所示的棱柱形杆在自重作用下的应变分量为： γz νγz εz = , εx =εy = − ; γ xy = γ yz = γ zx = 0; E E 试求位移分量，式中 γ 为杆件单位体积重量，E、ν 为材料的弹性常数。
σ y = cx + dy − γy , τ xy = − dx − ay ，其它应力分量为零。试根据
直边及斜边上的边界条件，确定常数 a、b、c、d。 2—16* 已知矩形截面高为 h， 宽为 b 的梁受弯曲时的正 My 12 M 应力 σ z = = y， 试求当非纯弯时横截面上的剪应力公 J bh 3 式。 （利用弹塑性力学平衡微分方程）
题 2—13 图
题 2—14 图
2—14* 如题 2—14 图所示的变截面杆，受轴向拉伸载荷 P 作用，试确定杆体两侧外 表面处应力 σ z （横截面上正应力）和在材料力学中常常被忽
略的应力 σ x 、 τ zx 之间的关系。 2—15 如题 2—15 图所示三角形截面水坝，材料的比重 为 γ ，水的比重为 γ 1 ，已求得其应力解为： σ x = ax + by ,
2—42 如题 2—42 图所示的圆截面杆扭转时得到的应变分量为： ε x = ε y = ε z = γ xy = 0,
γ zy = θ x, γ zx = −θ y 。试检查该应变是否满足变形连续性条件，并求位移分量 u、v、w。设
在原点处 u 0 = v 0 = w0 = 0, dz 在 xoz 和 yoz 平面内没有转动，dx 在 xoy 平面内没有转动。
弹塑性力学习题
第二章 应力理论·应变理论
2—1 试用材料力学公式计算：直径为 1cm 的圆杆，在轴向拉力 P = 10KN 的作用下杆 横截面上的正应力 σ 及与横截面夹角 α = 30° 的斜截面上的总应力 Pα 、正应力 σ α 和剪应力
τ α ，并按弹塑性力学应力符号规则说明其不同点。 2—2 试用材料力学公式计算：题 2—2 图所示单元体主应力和主平面方位（应力单位 MPa） ，并表示在图上。说明按弹塑性力学应力符号规则有何不同。
题 2—41 图
题 2—42 图
第三章 弹性变形·塑性变形·本构方程
试证明在弹性变形时，关于一点的应力状态，下式成立。 1 (1) γ 8 = τ 8 ; (2) σ = kε （设ν = 0.5 ） G 3—2* 试以等值拉压应力状态与纯剪切应力状态的关系， 由应变能公式证明 G、 E、 ν之 间的关系为： 1 G= 2(1 + ν ) 1 1 3—3* 证明：如泊松比ν = ，则 G = E ， λ → ∞ ， k → ∞ , e = 0 ，并说明此时上述 2 3 各弹性常数的物理意义。 3—4* 如设材料屈服的原因是形状改变比能（畸形能）达到某一极值时发生，试根据 单向拉伸应力状态和纯剪切应力状态确定屈服极限 σ s 与 τ s 的关系。 3—5 试依据物体单向拉伸侧向不会膨胀，三向受拉体积不会缩小的体积应变规律来 1 证明泊松比ν 的上下限为： 0 < ν < 。 2 2 3—6* 试由物体三向等值压缩的应力状态来推证：K = λ + G 的关系， 并验证是否与 3 E K= 符合。 3(1 − 2v) 3—7 已知钢材弹性常数 E1 = 210Gpa，v1 = 0.3， 橡皮的弹性常数 E 2 =5MPa，v 2 = 0.47， 试比较它们的体积弹性常数（设 K1 为钢材，K2 为橡皮的体积弹性模量） 。 3—8 有一处于二向拉伸应力状态下的微分体（ σ 1 ≠ 0, σ 2 ≠ 0, σ 3 = 0 ） ，其主应变
试确定外法线的三个方向余弦相等时的微斜面上的总应力 Pα ，正应力 σ α 和剪应力 τ α 。 2—11 试求以主应力表示与三个应力主轴成等倾斜面（八面体截面）上的应力分量， 并证明当坐标变换时它们是不变量。 2—12 试写出下列情况的应力边界条件。
题 2—12 图
2—13 设题 2—13 图中之短柱体，处于平面受力状态，试证明在尖端 C 处于零应力状
v = b0 + b1 x + b2 y + b3 z w = c 0 + c1 x + c 2 y + c3 z
式中 a 0 L , a1 L , a 2 L 为常数，试证各点的应变分量为常数。 2—29 设已知下列位移，试求指定点的应变状态。
(1) u = (3x 2 + 20) × 10 −2 , v = (4 yx) × 10 −2 ，在（0，2）点处。 (2) u = (6 x 2 + 15) × 10 −2 , v = (8 zy ) × 10 −2 , w = (3z 2 − 2 xy) × 10 −2 ，在（1，3，4）点处。 2—30 试证在平面问题中下式成立： εx + εy =ε′ x + ε′ y
ε x = a 0 + a1 ( x 2 + y 2 ) + x 4 + y 4 , ε y = b0 + b1 ( x 2 + y 2 ) + x 4 + y 4 , γ xy = c 0 + c1 xy ( x 2 + y 2 + c 2 ), ε z = γ zx = γ yz = 0.
试求式中各系数之间应满足的关系式。 2—38* 试求对应于零应变状态（ ε ij = 0 ）的位移分量。
应力 τ 8 。
2 —24* 一点的主应力为： σ 1 = 75a, σ 2 = 50a, σ 3 = −50a ，试求八面体面上的全应力
P8 ，正应力 σ 8 ，剪应力 τ 8 。
2—25 试求各主剪应力 τ 1 、 τ 2 、 τ 3 作用面上的正应力。 2—26* 用应力圆求下列(a)、(b) 图示应力状态的主应力及最大剪应力，并讨论若(b) 图中有虚线所示的剪应力 τ ′ 时，能否应用平面应力圆求解。
题 2—15 图
12 6 0 2—17 已知一点处的应力张量为： σ ij = 6 10 0 MPa ，试求该点的最大主应力及 0 0 0 其主方向。 2—18* 在物体中某一点 σ x = σ y = σ z = τ xy = 0 ，试以 τ yz 和 τ zx 表示主应力。
2—35* 已知物体中一点的应变分量为
10 4 − 2 −4 ε ij = 4 5 3 × 10 − 2 3 − 1
试确定主应变及最大主应变的方向。 2—36* 某一应变状态的应变分量 γ xy 和 γ yz =0， 试证明此条件能否表示 ε x 、ε y 、ε z 中 之一为主应变？ 2—37 已知下列应变状态是物体变形时产生的：
(2) J 3 = I 3 + (4) J 2 = (6)
1 2 3 I1 I 2 + I1 ; 3 27
1 S ij S ij ; 2
∂J 2 = S ij . ∂σ ij
1 S ik S km S mi 。 3 2—22* 试证在坐标变换时， I 1 为一个不变量。要求：(a) 以普通展开式证明； (b) 用 张量计算证明。 5 3 8 2—23 已知下列应力状态： σ ij = 3 0 3 MPa ，试求八面体单元的正应力 σ 8 与剪 8 3 11
题 2—26 图
2—27* 试求： 如(a) 图所示， ABC 微截面与 x、 y、 z 轴等倾斜， 但 τ xy ≠ 0, τ yz ≠ 0, τ zx ≠ 0,
试问该截面是否为八面体截面？如图(b) 所示，八面体各截面上的 τ 8 指向是否垂直棱边？
题 2—27 图
2—28 设一物体的各点发生如下的位移： u = a 0 + a1 x + a 2 y + a 3 z
1 1 1 ， n y = ， nz = 的微斜面上的全应力 Pα ，正 2 2 2
试求外法线 n 的方向余弦为： n x = 应力 σ α 和剪应力 τ α 。
2—10 已知物体的应力张量为： 30 − 80 50 σ ij = 0 − 30 MPa 110 (对称)
题 2 —5 图
题 2 —6 图
G=
E 2(1 + v)
2—8 用材料力学方法试求出如题 2—8 图所示受均布载荷作用简支梁内一点的应力状 态，并校核所得结果是否满足平衡微分方程。
题 2 —8 图
2—9
已知一点的应力张量为： 50 80 50 σ ij = 0 − 75 MPa − 30 如题 2—5 图，刚架 ABC 在拐角 B 点处受 P 力，已知刚架的 EJ，求 B、C 点的 转角和位移。 （E 为弹性模量、J 为惯性矩） 2—6 悬挂的等直杆在自重 W 的作用下如题 2—6 图所示。材料比重为 γ ，弹性模量为 E，横截面积为 A。试求离固定端 z 处一点 c 的应变 ε z 与杆的总伸长 ∆l 。 2—7* 试按材料力学方法推证各向同性材料三个弹性常数：弹性模量 E、剪切弹性模 量 G、泊松比 v 之间的关系：
题 2 —2 图
题 2 —3 图
2—3 求题 2—3 图所示单元体斜截面上的正应力和剪应力（应力单位为 MPa） ，并说 明使用材料力学求斜截面应力的公式应用于弹塑性力学计算时，该式应作如何修正。 2—4 已知平面问题单元体的主应力如题 2—4 图(a)、(b)、(c)所示，应力单位为 MPa。 试求最大剪应力，并分别画出最大剪应力作用面（每组可画一个面）及面上的应力。
1 (ax 2 + by 2 ) 2 1 (az 2 + by 2 ) 2 0
c( x 2 + y 2 ) cxyz 0 (3) ε ij = cxyz cy 2 x 0 0 0 0 2—33* 试证题 2—33 图所示矩形单元在纯剪应变状态时，剪应变 γ xy 与对角线应变 ε oB 之
3—1
为 ε 1 = 1.7 × 10 −4 ， ε 2 = 0.4 × 10 −4 。已知ν = 0.3，试求主应变 ε 3 。
3—9 如题 4—9 图示尺寸为 1×1×1cm 的铝方块，无间隙地嵌入——有槽的钢块中。 设钢块不变形，试求：在压力 P = 6KN 的作用下铝块内一点应力状态的三个主应力及主应 变，铝的弹性常数 E=70Gpa，ν = 0.33。 3—10* 直径 D = 40mm 的铝圆柱体， 无间隙地放入厚度为 δ = 2mm 的钢套中， 圆柱受
间的关系为 ε oB =
1 γ xy 。 （用弹塑性力学转轴公式来证明） 2
题 2—33 图
2 — 34
设 一 点 的 应 变 分 量 为 ε x = 1.0 × 10 −4 ， ε y = 5.0 × 10 −4 ， ε z = 1.0 × 10 −4 ，
ε xy = ε yz = 1.0 × 10 −4 ， ε zx = 3.0 × 10 −4 ，试计算主应变。
2—19 已知应力分量为 σ x = σ y = σ z = τ xy = 0, τ yz = a, τ zx = b, 计算主应力 σ 1 、 σ2、 σ3，
并求 σ 2 的主方向。
2—20 证明下列等式： 1 2 (1) J 2 = I 2 + I 1 ; 3 1 (3) I 2 = − (σ ii σ kk − σ ik σ ik ); 2 ∂J 2 (5) = S ij ; ∂S ij 2—21* 证明等式： J 3 =
2—31 已知应变张量
− 6 − 2 0 −3 ε ij = − 2 − 4 0 × 10 0 0 0 试求： （1）应变不变量； （2）主应变； （3）主应变方向； （4）八面体剪应变。 2—32 试说明下列应变状态是否可能存在： （式中 a、b、c 为常数）
c( x 2 + y 2 ) cxy 0 (1) ε ij = cxy cy 2 0 0 0 0 axy 2 0 (2) ε ij = 0 ax 2 y 1 1 (ax 2 + by 2 ) (az 2 + by 2 ) 2 2
2—39* 若位移分量 u i 和 u i′ 所对应的应变相同，试说明这两组位移有何差别？ 2—40* 试导出平面问题的平面应变状态（ ε x = γ zx = γ zy = 0 ）的应变分量的不变量及
主应变的表达式。 2—41* 已知如题 2—41 图所示的棱柱形杆在自重作用下的应变分量为： γz νγz εz = , εx =εy = − ; γ xy = γ yz = γ zx = 0; E E 试求位移分量，式中 γ 为杆件单位体积重量，E、ν 为材料的弹性常数。
σ y = cx + dy − γy , τ xy = − dx − ay ，其它应力分量为零。试根据
直边及斜边上的边界条件，确定常数 a、b、c、d。 2—16* 已知矩形截面高为 h， 宽为 b 的梁受弯曲时的正 My 12 M 应力 σ z = = y， 试求当非纯弯时横截面上的剪应力公 J bh 3 式。 （利用弹塑性力学平衡微分方程）