2019年江苏省南京市、盐城市高考数学一模试卷(解析版)

2019年江苏省南京市、盐城市高考数学一模试卷
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）
1．（5分）已知集合A＝（﹣∞，1]，B＝{﹣1，1，2}，则A∩B＝．
2．（5分）设复数z＝a+i（其中i为虚数单位），若，则实数a的值为．3．（5分）某工厂生产A、B、C三种不同型号的产品，产品数量之比依次为2：3：5，现用分层抽样方法抽出一个容量为n的样本，样本中A种型号产品有16件．那么此样本的容量n＝．
4．（5分）从1，2，3中任选两个数字构成一个两位数，则该两位数是偶数的概率为．5．（5分）如图所示流程图中，若输入x的值为﹣4，则输出c的值为．
6．（5分）若双曲线的离心率为2，则实数m的值为．
7．（5分）已知y＝f（x）为定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）＝e x+1，则f（﹣ln2）的值为．
8．（5分）已知等比数列{a n}为单调递增数列，设其前n项和为S n，若a2＝2，S3＝7，则a5的值为．
9．（5分）如图，P A⊥平面ABC，AC⊥BC，P A＝4，，BC＝1，E，F分别为AB，PC的中点，则三棱锥B﹣EFC的体积为．
10．（5分）设A＝{（x，y）|3x+4y≥7}，点P∈A，过点P引圆（x+1）2+y2＝r2（r＞0）的两条切线P A，PB，若∠APB的最大值为，则r的值为．
11．（5分）设函数，其中ω＞0．若函数f（x）在[0，2π]上恰有2个零点，则ω的取值范围是．
12．（5分）若正实数a，b，c满足ab＝a+2b，abc＝a+2b+c，则c的最大值为．13．（5分）设函数f（x）＝x3﹣a2x（a＞0，x≥0），O为坐标原点，A（3，﹣1），C（a，0）．若对此函数图象上的任意一点B，都满足成立，则a的值为．14．（5分）若数列{a n}满足a1＝0，a4n﹣1﹣a4n﹣2＝a4n﹣2﹣a4n﹣3＝3，＝＝，其中n∈N*，且对任意n∈N*都有a n＜m成立，则m的最小值为．
二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）
15．（14分）在△ABC中，设a、b、c分别为角A、B、C的对边，记△ABC的面积为S，且．
（1）求角A的大小；
（2）若c＝7，，求a的值．
16．（14分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D、E分别是棱BC、CC1上的点（点D 不同于点C），且AD⊥DE，F为棱B1C1上的点，且A1F⊥B1C1．
求证：
（1）平面ADE⊥平面BCC1B1；
（2）A1F∥平面ADE．
17．（14分）盐城市政府响应习总书记在十九大报告中提出的“绿水青山就是金山银山”的号召，对环境进行了大力整治．目前盐城市的空气质量位列全国前十，吸引了大量的外地游客．某旅行社组织了一个旅游团于近期来到了盐城市黄海国家森林公园．数据显示，近期公园中每天空气质量指数近似满足函数
，其中x为每天的时刻．若在凌晨6点时刻，测得空气质量指数为29.6．
（1）求实数m的值；
（2）求近期每天在[4，22]时段空气质量指数最高的时刻．（参考数值：ln6＝1.8）18．（16分）已知椭圆的两个焦点之间的距离为2，两条准线间的距离为8，直线l：y＝k（x﹣m）（m∈R）与椭圆C相交于P、Q两点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设椭圆的左顶点为A，记直线AP、AQ的斜率分别为k1、k2．
①若m＝0，求k1k2的值；
②若，求实数m的值．
19．（16分）若函数y＝f（x）在x＝x0处取得极大值或极小值，则称x0为函数y＝f（x）的极值点．设函数f（x）＝x3﹣tx2+1（t∈R）．
（1）若函数f（x）在（0，1）上无极值点，求t的取值范围；
（2）求证：对任意实数t，在函数f（x）的图象上总存在两条切线相互平行；
（3）当t＝3时，若函数f（x）的图象上存在的两条平行切线之间的距离为4，间；这样的平行切线共有几组？请说明理由．
20．（16分）已知数列{a n}，其中n∈N*．
（1）若{a n}满足．
①当q＝2，且a1＝1时，求a4的值；
②若存在互不相等的正整数r，s，t，满足2s＝r+t，且a r，a s，a t成等差数列，求q的值．
（2）设数列{a n}的前n项和为b n，数列{b n}的前n项和为c n，c n＝b n+2﹣3，n∈N*，若a1＝1，a2＝2，且恒成立，求k的最小值．
[选修4-2：矩阵与变换]
21．（10分）直线l：2x﹣y+3＝0经过矩阵M＝变换后还是直线l，求矩阵M的特征值．
[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．（10分）在极坐标系中，圆C的极坐标方程为ρ＝2cosθ．以极点O为原点，极轴Ox 所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为（t为参数），
求直线l被圆C截得的弦长．
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知正实数x、y、z，满足x+y+z＝3xyz，求xy+yz+xz的最小值．
[必做题]（第22、23题，每小题10分，计20分．请把答案写在答题纸的指定区域内）24．（10分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，P A⊥平面ABCD，AD＝1，
，点E是棱PB的中点．
（1）求异面直线EC与PD所成角的余弦值；
（2）求二面角B﹣EC﹣D的余弦值．
25．（10分）已知数列{a n}满足a1＝1，a2＝3，且对任意n∈N*，都有
＝成立．（1）求a3的值；
（2）证明：数列{a n}是等差数列．
2019年江苏省南京市、盐城市高考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）
1．【解答】解：因为：﹣1∈A，﹣1∈B，
1∈A，1∈B，
2∈B，2∉A，
故A∩B＝，
故答案为：{﹣1，1}．
2．【解答】解：∵z＝a+i，，
∴a2+1＝2，∴a2＝1，∴a＝±1．
故答案为：±1．
3．【解答】解：n×
∴n＝80
故答案是80
4．【解答】解：从1，2，3中任选两个数字构成一个两位数，有：12，13，23，21，31，32，共6个基本事件，
其中满足条件的有2个，
故两位数是偶数的概率为：
5．【解答】解：模拟流程图的运行过程如下，
输入x＝﹣4时，x＝﹣4+2＝﹣2，
x＝﹣2+2＝0，
x＝0+2＝2，
c＝2×2＝4，
则输出c＝4．
故答案为：4．
6．【解答】解：∵双曲线的离心率为2，
∴＝2，
解得m＝6．
故答案为：6．
7．【解答】解；根据题意，当x＞0时，f（x）＝e x+1，则f（ln2）＝e ln2+1＝3；
又由函数f（x）为奇函数，则f（﹣ln2）＝﹣f（ln2）＝﹣3；
故答案为：﹣3．
8．【解答】解：∵等比数列{a n}为单调递增数列，
设其前n项和为S n，a2＝2，S3＝7，
∴，
解得a1＝1，q＝2，
∴a5＝＝1×24＝16．
故答案为：16．
9．【解答】解：∵P A⊥平面ABC，AC⊥BC，P A＝4，，
BC＝1，E，F分别为AB，PC的中点，
∴＝＝，
F到平面ABC的距离d＝＝＝2，
∴三棱锥B﹣EFC的体积为：
V B﹣EFC＝V F﹣BCE＝＝＝．
故选：．
10．【解答】解：根据题意，设直线l为3x+4y＝7，圆（x+1）2+y2＝r2的圆心为M，则A＝{（x，y）|3x+4y≥7}，为直线3x+4y＝7的上方以及直线部分，
过点P引圆（x+1）2+y2＝r2（r＞0）的两条切线P A，PB，若∠APB的最大值为，必有MP的距离最小，
此时P在直线3x+4y＝7上且MP与直线l垂直，
此时|MP|＝＝2，∠APM＝×∠APB＝，
则有r＝|MP|×sin∠APM＝2×＝1，
即r的值为1；
故答案为：1．
11．【解答】解：根据题意，设在y轴右侧与x轴的第二个交点横坐标为α，第三个交点的横坐标为β，
则有ω×α+＝2π，ω×β+＝3π，
解可得α＝，β＝，
若函数f（x）在[0，2π]上恰有2个零点，则≤2π＜，
解可得：≤ω＜，
即ω的取值范围为[，）；
故答案为：[，）．
12．【解答】解：∵ab＝a+2b，a＞0，b＞0，
∴ab≥8，
∴1＜，
∵abc＝a+2b+c，
∴（ab﹣1）c＝a+2b，
∴c＝＝＝1+的最大值．
故答案为：
13．【解答】解：设B（x，x3﹣a2x），由向量的数量积运算有：
则＝（3，﹣1），＝（x，x3﹣a2x），＝（a，0），＝（x﹣a，x3﹣a2x），
因为•≤，
所以•≤0，
即3（x﹣a）﹣（x3﹣a2x）≤0，
即（x﹣a）（x2+ax﹣3）≥0，
又a＞0，由韦达定理可得，
方程x2+ax﹣3＝0有一正根，一负根，
由高次不等式可得：
不等式（x﹣a）（x2+ax﹣3）≥0，在x＞0时恒成立，
则：x＝a为方程x2+ax﹣3＝0的正根，
即2a2﹣3＝0，
又a＞0，
则a＝，
故答案为：．
14．【解答】解：根据题意，数列{a n}满足a1＝0，a4n﹣1﹣a4n﹣2＝a4n﹣2﹣a4n﹣3＝3，＝
＝；
当n＝1时，有a3﹣a2＝a2﹣a1＝3，则a2＝3，a3＝6，a4＝3，a5＝，
分析可得：在a4n﹣3、a4n﹣2、a4n﹣1、a4n中，最大为a4n﹣1，
设b n＝a4n﹣1，则有b1＝a3＝6，
且b n+1＝b n+6，
变形可得：b n+1﹣8＝（b n﹣8），分析可得数列{b n﹣8}为首项为6﹣8＝﹣2，公比为的等比数列，
则b n﹣8＝（﹣2）×（）n﹣1＝，
则b n＝8﹣，
则a4n﹣1＝8﹣，
若对任意n∈N*都有a n＜m成立，则m≥8，即m的最小值为8；
故答案为：8
二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）
15．【解答】解：（1）由，得bc sin A＝bc cos A，
因为A∈（0，π），
所以tan A＝1，
可得：A＝．……（6分）
（2）△ABC中，cos B＝，
所以sin B＝，
所以：sin C＝sin（A+B）＝sin A cos B+cos A sin B＝，..（10分）
由正弦定理，得＝，解得a＝5，…（14分）
（评分细则：第一问解答中不交代“A∈（0，π）”而直接得到“A＝”的，扣（1分）；
第二问解答中不交代“由正弦定理得的”，扣（1分）．）
16．【解答】证明：（1）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BB1⊥平面ABC，…（2分）因为AD⊂平面ABC，所以BB1⊥AD，
又因为AD⊥DE，在平面BCC1B1中，BB1与DE相交，
所以AD⊥平面BCC1B1，
又因为AD⊂平面ADE，所以平面ADE⊥平面BCC1B1．…（6分）
解：（2）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BB1⊥平面A1B1C1，…（8分）
因为A1F⊂平面A1B1C1，所以BB1⊥A1F，
又因为A1F⊥B1C1，
在平面BCC1B1中，BB1∩B1C1＝B1，
所以A1F⊥平面BCC1B1，…（10分）
在（1）中已证得AD⊥平面BCC1B1，
所以A1F∥AD，又因为A1F⊄平面ADE，AD⊄平面ADE，
所以A1F∥平面ADE．…（14分）
17．【解答】解：（1）由题f（6）＝29.6，代入，解得m＝12，
（+）（2）由已知函数求导得：f′（x）＝+600•＝（12﹣x）
令f′（x）＝0得x＝12，
所以函数在x＝12时取极大值也是最大值，即每天空气质量指数最高的时刻为12时．答：（1）实数m的值为12；（2）每天空气质量指数最高的时刻为12时．
18．【解答】解：（1）椭圆C中，2c＝1，两准线间的距离为，得，所以，a ＝2，c＝1，所以，，
因此，椭圆C的方程为；
（2）①设点P（x0，y0），由于m＝0，则Q（﹣x0，﹣y0），由，得．所以，．
②由①得A（﹣2，0）．
方法一：设点P（x1，y1），设直线AP的方程为y＝k1（x+2），联立，消去y得，，
由韦达定理可得，所以，，代入直线AP的方程得
，所以，．
由，得，整体代换得．
设M（m，0），由P、Q、M三点共线得，即
，
化简得，所以，m＝1；
方法二：设点P（x1，y1）、Q（x2，y2），联立，消去y得（4k2+3）x2﹣8k2mx+4k2m2﹣12＝0，
由韦达定理可得，，
而＝＝
，
化简得，得m2k2+mk2﹣2k2＝0，显然k2≠0，所以，m2+m ﹣2＝0，解得m＝1或m＝﹣2（舍去）．
此时，△＞0，因此，m＝1．
19．【解答】解：（1）由函数f（x）＝x3﹣tx2+1，得f′（x）＝3x2﹣2tx，由f′（x）＝0，得x＝0，或x＝t，
因函数f（x）在（0，1）上无极值点，所以t≤0或t≥1，
解得t≤0或t≥．……………………………（4分）
（2）方法一：令f′（x）＝3x2﹣2tx＝p，即3x2﹣2tx﹣p＝0，△＝4t2+12p，
当p＞﹣时，△＞0，此时3x2﹣2tx﹣p＝0存在不同的两个解x1，x2．……………………………………………………………………（8分）
（方法二：由（1）知f′（x）＝3x2﹣2tx，令f′（x）＝1，则3x2﹣2tx﹣1＝0，
所以△＞0，即对任意实数t，f′（x）＝1总有两个不同的实数根x1，x2，
所以不论t为何值，函数f（x）在两点x＝x1，x＝x2处的切线平行．…………………………………………………………………8分）
设这两条切线方程为分别为y＝（3﹣2tx1）x﹣2+t+1和y＝（3﹣2tx2）x﹣2+t+1，
若两切线重合，则﹣2+t+1＝﹣2+t+1，
即2[﹣x1x2]＝t（x1+x2），
而x1+x2＝，化简得x1x2＝，
此时＝﹣4x1x2＝﹣＝0，与x1≠x2矛盾，
所以，这两条切线不重合，
综上，对任意实数t，函数f（x）的图象总存在两条切线相互平行…………………（10分）
（3）当t＝3时，f（x）＝x3﹣3x2+1，f′（x）＝3x2﹣6x，
由（2）知x1+x2＝2时，两切线平行．
设A（x1，﹣3+1），B（x2，﹣3+1），不妨设x1＞x2，
过点A的切线方程为：y＝（3﹣6x1）x﹣2+3
+1…………………………………………………（11分）
所以，两条平行线间的距离d＝，
化简得＝1+9，…………………………………………（13分）令＝λ（λ≥0），则λ3﹣1＝9（λ﹣1）2，
即（λ﹣1）（λ2+λ+1）＝9（λ﹣1）2，即（λ﹣1）（λ2﹣8λ+10）＝0，显然λ＝1为一解，λ2﹣8λ+10＝0有两个异于1的正根，
所以这样的λ有3解，而＝λ（λ≥0），x1＞x2，x1+x2＝2，所以x1有3解，所以满足此条件的平行切线共有3组………（16分）20．【解答】解：（1）①由{a n}满足，可得a4﹣a3＝4，a3﹣a2＝2，a2﹣a1＝1，累加可得a4＝8；
②因，可得a n﹣a n﹣1＝q n﹣2，…，
a2﹣a1＝1，q＝1时，a n＝n，满足题意；
当q≠1时，累加得a n+1＝+a1，
所以a n＝+a1，
若存在r，s，t满足条件，化简得2q s＝q r+q t，
即2＝q r﹣s+q t﹣s≥2＝2，
此时q＝1（舍去），
综上所述，符合条件q的值为1；
（2）由c n＝b n+2﹣3，可知c n+1＝b n+3﹣3，
两式作差可得：b n+3＝b n+2+b n+1，又由c1＝1，c2＝4，
可知b3＝4，b4＝7，故b3＝b2+b1，
所以b n+2＝b n+1+b n对一切的n∈N*恒成立，
对b n+3＝b n+2+b n+1，b n+2＝b n+1+b n，
两式进行作差可得a n+3＝a n+2+a n+1，
又由b3＝4，b4＝7可知a3＝1，a4＝3，
故a n+2＝a n+1+a n（n≥2），
又由a n+22﹣a n+1a n+3＝（a n+1+a n）2﹣a n+1（a n+2+a n+1）
＝（a n+1+a n）2﹣a n+1（a n+2a n+1）＝﹣a n+12+a n a n+2，n≥2，
所以|a n+22﹣a n＝1a n+3|＝|a n+12﹣a n a n+2|，
所以当n≥2时|a n+12﹣a n a n+2|＝5，
当n＝1时|a n+12﹣a n a n+2|＝3，故k的最小值为5．
[选修4-2：矩阵与变换]
21．【解答】解：设直线l上一点（x，y），经矩阵M变换后得到点（x′，y′），所以＝，即，
因为变换后的直线还是直线l，将点（x′，y′）代入直线l的方程，
于是2ax﹣（x+dy）+3＝0，
即（2a﹣1）x﹣dy+3＝0，所以，
解得a＝，d＝1，………………（6分）
所以矩阵M的特征多项式f（λ）＝＝（λ﹣a）（λ﹣d）＝0，
解得λ＝a，或λ＝d，所以矩阵的M的特征值为与1．…………………………………………………（10分）
[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．【解答】解：由ρ＝2cosθ，得ρ2＝2ρcosθ，
所以x2+y2﹣2x＝0，
所以圆C的普通方程为（x﹣1）2+y2＝1，
圆心C（1，0），半径r＝1，…………………………………………（3分）
又，消去参数t，
得直线l方程为：x+y﹣2＝0，…………………………………………（6分）
所以圆心到直线l的距离d＝＝，
所以直线l被圆C截得的弦长为：2＝．………………………………………
（10分）
[选修4-5：不等式选讲]
23．【解答】解：因为x+y+z＝3xyz，
所以＝3，………………………（5分）
又xy+yz+xz＝
∴由柯西不等式可得，（xy+yz+xz）（）≥（1+1+1）2＝9，
所以xy+xz+yz≥3，当且仅当x＝y＝z＝1时取等号，
所以，xy+xz+yz的最小值为3．………………………（10分）
[必做题]（第22、23题，每小题10分，计20分．请把答案写在答题纸的指定区域内）24．【解答】解：（1）∵P A⊥底面ABCD，且底面ABCD为矩形，∴AB，AD，AP两两垂直，以A为原点，AB，AD，AP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
又∵AD＝1，，
∴A（0，0，0），B（，0，0），C（，1，0），D（0，1，0），P（0，0，），∵E为棱PB的中点，∴E（，）．
∴＝（，1，﹣），＝（0，1，﹣），
∴cos＜＞＝，
∴异面直线EC与PD所成角的余弦值为；
（2）由（1）得＝（，1，﹣），，，设平面BEC的法向量为，
由，令x1＝1，得平面BEC的一个法向量为
，
设平面DEC的法向量为，
由，令，得平面DEC的一个法向量为
，
∴cos＜＞＝，
由图可知二面角B﹣EC﹣D为钝角，
∴二面角B﹣EC﹣D的余弦值为﹣．
25．【解答】（1）解：在＝中，令n＝1，则a1C10+a2C11＝a3﹣1，由a1＝1，a2＝3，解得a3＝5，
（2）证明：假设a1，a2，a3，…，a n是公差为2的等差数列，则a n＝2n﹣1，
①当n＝1时，a1＝1，a2＝3，a3＝5，此时假设成立，
②当n＝k时，若a1，a2，a3，…，a k是公差为2的等差数列，
由a1C k﹣10+a2C k﹣11+a3C k﹣12+…+a k C k﹣1k﹣1＝（a k+1﹣1）2k﹣2，k≥2，
对该式倒序相加，得（a1+a k）2k﹣1＝2（a k+1﹣1）2k﹣2，
所以a k+1﹣a k＝a1+2＝1，
所以a k+1＝2k+1＝2（k+1）﹣1
根据①、②可知数列{a n}是等差数列．。