北京市东城区普通校2013届九年级上学期期中联考数学试题

东城区普通校2012-2013学年第一学期联考试卷
初三数学
命题校：国子监中学 2012年11月本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共120分，考试用时120 分
钟。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

祝各位考生考试顺利！
第Ⅰ卷
一、选择题：（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
1．在下列四个图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是
A． B． C． D．
2. 袋子中有两个同样大小的4个小球，其中3个红球，1个白球，从袋中任意地同时摸出一个小球，则摸到白球概率是( )
A、
2
1
B、
4
3
C、
3
1
D、
4
1
3．将抛物线2
2
y x
=的图象先向右平移2个单位，再向上平移3个单位后，得到的抛物线
的解析式是
A．2
2(2)3
y x
=--B．2
2(2)3
y x
=-+
C．2
2(2)3
y x
=+-D．2
2(2)3
y x
=++
4．已知两圆的半径分别为7和1，当它们外切时，圆心距为（）
A．6 B．7 C．8 D．9
5．下列说法正确的是( )
①平分弦的直径，必平分弦所对的两条弧．
②圆的切线垂直于圆的半径.
③三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等。

④三点可以确定一个圆．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
6.如图，△MBC中，∠B=90°，∠C=60°，
MB=，点A在MB上，以AB为直径作⊙O与MC相切于点D，则CD的长为
A． 2 B．3 C．2 D．3
(第6题
7.边长为a 的正六边形的边心距等于（ ）
A ．a 2
3 B ．
2
a C ．a
D ．
22
3a
8．如图所示, 二次函数 y = ax 2 + bx + c (a ≠ 0) 的图像经过点(-1, 2), 且与x 轴交点的横坐标分别为x 1, x 2, 其中 -2 < x 1 < -1, 0 < x 2 < 1, 下列结论⑴ 4a - 2b + c < 0; ⑵ 2a - b < 0;
⑶ a - 3b > 0; ⑷ b 2 + 8a < 4ac ; 其中正确的有( )
A . 1个
B . 2个
C . 3个
D . 4个
第Ⅱ卷
二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分）
9. 二次函数y=3 (x-1)(x+3)的对称轴方程是______________. 10.如图3，在Rt △ABC 中，∠C=90°，CA=CB=2。

分别以A 、B 、C 为圆心，以
2
1
AC 为半径画弧，三条弧与边AB 所围成的阴影部分的面积是______.
11.如图，是一个半径为6cm ，面积为π12cm 2
的扇形纸片，现
需要一个半径为R 的圆形纸片，使两张纸片刚好能组合成圆锥
体，
则R 等于 cm
12. 如图，在平面直角坐标系中，已知点A(-4,0)，B(0,3)，对△AOB 连续作旋转变换，依次
得到三角形(1)、(2)、(3)、(4)、…，则第（7）个三角形的直角顶点．．．．的坐标是 ；第（2011）个三角形的直角顶点．．．．的坐标是__________．
三、解答题：（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
13. 用配方法将二次函数y=2x 2-4x-6化为k h x a y +-=2
)(的形式（其中k h ,为常数），并
图3
（第12题）
写出这个二次函数图象的顶点坐标和对称轴．
14.如图8，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，Rt△ABC的顶点均在
格点上，建立平面直角坐标系后，点A的坐标为（-4,1），点B的坐标为（-1,1）（1）先将Rt△ABC向右平移5个单位，再向下平移1个单位后得到Rt△A1B1C1.试在图中画出图形Rt△A1B1C1.，并写出A1的坐标
（2）将Rt△A1B1C1.，绕点A1顺时针旋转90°后得到Rt△A2B2C2，试在图中画出图形Rt△A2B2C2，并计算Rt△A1B1C1在上述旋转过程中C1.所经过的路程.
15.如图，CD为⊙O的直径，AB⊥CD于E，
DE=8cm，CE=2cm，求AB的长．
16. 2
(2)求这个二次函数的解析式．
17.已知：如图，△ABC的外接圆⊙O的直径为4，
∠A=30°，求BC的长.
18.学校奖励给王伟和李丽上海世博园门票共两张，其中一张为指定日门票，另一张为普通日门票。

王伟和李丽分别转动下图的甲、乙
第18题图
两个转盘（转盘甲被二等分、转盘乙被三等分）确定指定日门票的归属，在两个转盘都
停止转动后，若指针所指的两个数字之和为偶数，则王伟获得指定日门票；若指针所指的两个数字之和为奇数，则李丽获得指定日门票；若指针指向分隔线，则重新转动。

你认为
O
B
E
F
这个方法公平吗？请画树状图或列表，并说明理由.
四、解答题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
19. 如图，等腰直角△ABC 中，∠ABC=90°，点D 在AC 上，将△ABD 绕顶点B 沿顺时针方
向旋转90°后得到△CBE. ⑴求∠DCE 的度数；
⑵当AB=4，AD ∶DC=1∶3时，求DE 的长.
20. 已知：二次函数的表达式为21322
y x x =-++．
（1）写出这个函数图象的对称轴和顶点坐标；并画出图像。

（2）求图象与x 轴的交点坐标； （3）观察图象，指出使函数值y ＞
3
2
时自变量x 的取值范围 21.如图，点B 、C 、D 都在⊙O 上，过点C 作AC ∥BD 交OB 延
长线于点A ，连接CD ，且∠CDB=∠OBD=30°，DB=63cm ． （1）求证：AC 是⊙O 的切线； （2）求⊙O 的半径长；
（3）求由弦CD 、BD 与弧BC 所围成的阴影部分的面积 （结果保留π）．
22.已知，如图，在四边形ABCD 中，∠B +∠D =180°，AB =AD ，
E 、
F 分别是线段BC 、CD 上的点，且B E + FD = EF 。

求证：∠EAF =2
1
∠BAD
五、解答题：（第23题、24题各7分，第25题8分，共22分）
23．如图，已知∠xoy =90°，线段AB=10，若点A 在oy 上滑动，点B 随着线段AB 在射线ox 上滑动，（A 、B 与O 不重合），Rt △AOB 的内切⊙K 分别与OA 、OB 、AB 切于E 、F 、P ． （1）在上述变化过程中：Rt △AOB 的周长，⊙K 的半径，△AOB 外接圆半径，这几个量中
不会发生变化的是什么？并简要说明理由； （2）当AE = 4时，求⊙K 的半径r ；
24. 已知：m 、n 是方程x
2－6x +5＝0的两个实n ，
抛
物线y＝－x2+bx+c的图像经过点A(m，0)、B(0，n).
（1）求这个抛物线的解析式；
（2）设（1）中抛物线与x轴的另一交点为C，抛物线的顶点为D，试求出点C、D的坐标和△BCD的面积
（3）P是线段OC上的一点，过点P作PH⊥x轴，与抛物线交于H点，若直线BC把△PCH 分成面积之比为2∶3的两部分，请求出P点的坐标.
25.如图9，若△ABC和△ADE为等边三角形，M，N分别EB，CD的中点，易证：CD=BE，
△AMN是等边三角形．
（1）当把△ADE绕A点旋转到图10的位置时，CD=BE是否仍然成立？若成立请证明，若不成立请说明理由；
（2）当△ADE绕A点旋转到图11的位置时，△AMN是否还是等边三角形？若是，请给出证明，并求出当AB=2AD时，△ADE与△ABC及△AMN的面积之比；若不是，请说明理由．
图9 图10 图11
东城区普通校2012-2013学年第一学期联考试卷
初三数学参考答案
命题校：国子监中学
2012年11月
9． X=-1
10. 2
2π
-
11. 2
12. (24，0)；(8040，0)
13. 解：y=2x 2-4x-6 =2(x 2-2x)-6 =2(x-1)2 -8
∴ 顶点(1,-8). 对称轴x=1.
14. 解：（1）画出Rt △A 1B 1C 1.的图形；A 1的坐标为（1,0）
（2）画出Rt △A 2B 2C 2.的图形；A 1C 1
===
C 1.
．
15.8cm
16.(1)m=0 ,(2)y=x 2-2x-3
17. 解：作直径CD ，连接BD ， ∴ ∠CBD=90°．
∵ ∠A=30°，∴ ∠D=30°． ∴ BC=2
1
CD ．
∵ CD=4， ∴ BC=2．
18. 解：
开始
21
=
（两数和为偶数）P 2
1
=（两数和为奇数）P ∴这个方法公平合理。

19. 解：（1）∵△CBE 是由△ABD 旋转得到的，
∴△ABD ≌△CBE ，
5 )3,1__(=)4,1__()5,1__()3,2__()4,2__()
5,2__(==5
=6=7=54325431
O
B
E F
∴∠A ＝∠BCE ＝45°，
∴∠DCE ＝∠DCB ＋∠BCE ＝90°
（2）在等腰直角三角形ABC 中，∵AB ＝4，∴AC ＝42.
又∵AD ︰DC ＝１︰3， ∴AD=2，DC=32
由（１）知AD ＝CE 且∠DCE ＝90°,
∴DE 2＝DC 2＋CE 2＝2＋18＝20，∴DE ＝25
20.解 （1）y=-12
(x-1)2+2 (2)3或-1 图像略 （3）0＜x ＜2．
21. （1）证明：连接CO .
∵ ∠CDB=∠OBD=30°， ∴ ∠BOC=60°． ∵ AC ∥BD ，
∴ ∠A=∠OBD=30°． ∴ ∠ACO=90°． ∴ AC 为⊙O 切线．
（2）解：∵ ∠ACO =90°，AC ∥BD ，
90BEO ACO ∴∠=∠=°．
∴ DE=BE=
332
1
=BD ． ∴OB=6．
即O ⊙的半径长为6cm ． （3）解：∵∠CDB=∠OBD=30°，
又CED BEO ∠=∠，BE ED =， CDE OBE ∴△≌△ ．
∴ ππ6360
660S 2
OBC =⨯==扇阴S (cm 2)
答：阴影部分的面积为6πcm 2．
22. 延长FD 到H ，使DH=BE ，
证明△A B E ≌△A D H 再证△AEF ≌△AHF ∴∠EAF=∠FAH=
21∠EAH=2
1
∠BAD 23.解 ：（1）不会发生变化的是△AOB 的外接圆半径，
∵∠AOB=90°，
∴AB 是△AOB 的外接圆的直径
AB 的长不变，即△AOB 的外接圆半径不变
（2）设⊙K 的半径为r ，⊙K 与Rt △AOB 相切于E
、F 、P ，
连EK 、KF
（第21题图）
图11
C N
D
A
B
M
E
∴∠KEO=∠OFK=∠C=90°，
∴四边形EOFK 是矩形，又OE=OF ∴四边形EOFK 是正方形， ∴OE=OF=r ，AE=AP=4， ∴PB=BF=6，
∴（4+r ）2+（6+r ）2=100， ∴r=-12（不符合题意），r=2，
24. （1）解方程x 2－6x +5＝0得x 1＝5，x 2＝1，由m ＜n ，有m ＝1，n ＝5，所以点A 、
B 的坐标分别为A （1，0），B （0，5）.将A （1，0），B （0，5）的坐标分别代入y ＝－x 2+bx +c .得10,5.b c c -++=⎧⎨
=⎩解这个方程组，得4
5
b c =-⎧⎨=⎩所以，抛物线的解析式为y ＝－x 2－4x +5.
（2）由y ＝－x 2－4x +5，令y ＝0，得－x 2－4x +5＝0.解这个方程，得x 1＝－5，x 2＝1，所以C 点的坐标为（－5，0）.由顶点坐标公式计算，得点D （－2，9）.过D 作x 轴的垂线
交x 轴于M .则S △DMC ＝
12×9×(5－2)＝27
2
，S 梯形MDBO
＝
12×2×(9+5)＝14，S △BOC ＝12
×5×5＝252，所以S △BCD ＝S 梯形MDBO + S △DMC －S △BOC ＝14+272－252
＝15.
（3）设P 点的坐标为（a ，0）因为线段BC 过B 、C 两点，所以BC 所在的直线方程为y
＝x +5.那么，PH 与直线BC 的交点坐标为E (a ，a +5)，PH 与抛物线y ＝－x 2－4x +5的交点坐
标为H (a ，－a 2－4a +5).由题意，得①EH ＝32EP ，即(－a 2－4a +5)－(a +5)＝3
2
(a +5). 解这个方程，得a ＝－32或a ＝－5（舍去）；②EH ＝23EP ，即(－a 2－4a +5)－(a +5)＝2
3(a +5). 解这个
方程，得a ＝－23或a ＝－5（舍去）；即P 点的坐标为 (－32，0)或 (－2
3
，0).
25. 解：（1）CD =BE ．理由如下:
∵△ABC 和△ADE 为等边三角形
∴AB=AC ，AE=AD ，∠BAC=∠EAD =60o ∵∠BAE =∠BAC －∠EAC =60o
－∠EAC ， ∠DAC =∠DAE －∠EAC =60o －∠EAC ， ∴∠BAE=∠DAC ， ∴△ABE ≌ △ACD ∴CD=BE
（2）△AMN 是等边三角形．理由如下： ∵△ABE ≌ △ACD ， ∴∠ABE =∠ACD ． ∵M 、N 分别是BE 、CD 的中点， ∴BM =
11
22
BE CD CN == ∵AB=AC ，∠ABE=∠ACD ， ∴△ABM ≌ △ACN ．
∴AM=AN ，∠MAB=∠NAC ．
∴∠NAM=∠NAC+∠CAM=∠MAB+∠CAM=∠BAC =60o ∴△AMN 是等边三角形． 设AD=a ，则AB=2a ．
∵AD=AE=DE ，AB=AC ， ∴CE=DE ．
∵△ADE 为等边三角形， ∴∠DEC=120 o ， ∠ADE=60o ， ∴∠EDC =∠ECD =30o ， ∴∠ADC =90o ．
∴在Rt △ADC 中，AD=a ，∠ACD =30 o ， ∴ CD ．
∵N 为DC 中点，
∴DN =
， ∴AN ===． ∵△ADE ，△ABC ，△AMN 为等边三角形，
∴S △ADE ∶S △ABC ∶ S △AMN 7:16:44
7:4:1)27(:)2(:222===a a a
解法二：△AMN 是等边三角形．理由如下：
∵△ABE ≌ △ACD ，M 、N 分别是BE 、CN 的中点，∴AM=AN ，NC=MB ． ∵AB=AC ，∴△ABM ≌ △ACN ，∴∠MAB=∠NAC ， ∴∠NAM=∠NAC+∠CAM=∠MAB+∠CAM=∠BAC =60o ∴△AMN 是等边三角形
设AD=a ，则AD =AE =DE = a ，AB =BC =AC =2a 易证BE ⊥AC ，∴BE =
a a a AE AB 3)2(2222=-=-，
∴EM =
∴a a a AE EM AM 2
7)23(
2222=+=+= ∵△ADE ，△ABC ，△AMN 为等边三角形
∴S △ADE ∶S △ABC ∶ S △AMN 7:16:44
7:4:1)27(:)2(:222===a a a。