教学设计6：1.1.2 导数的概念

1.1.2 导数的概念
教材分析
一般地，学习导数概念的起点是极限，但就高中学生的认知水平而言，学生很难理解极限的形式化定义，因此也影响了对导数本质的理解．本节课，教材将学习导数的概念分为两个阶段：第一阶段是通过大量实例，利用逼近思想直观理解瞬时速度的含义；第二阶段则是将瞬时速度一般化，即通过对瞬时速度的理解来引出导数的概念．整个过程蕴涵了逼近的思想和用已知探求未知的思想方法．
课时分配
1课时．
教学目标
1．知识与技能目标
利用学生对瞬时速度的理解，逐步达到对导数概念和基本方法的直观、准确的理解．
2．过程与方法目标
用形象直观的“逼近”方法定义导数，学习和掌握用已知探究未知的思想方法．
3．情感、态度与价值观
通过本节课的学习，培养学生运动变化的观点和辩证统一的思想．在对实际问题的分析过程中，体会、感受数学的创造美．
重点难点
重点：瞬时速度、瞬时变化率的概念、导数的概念；
难点：准确理解导数的概念．
教学过程
引入新课
问题1：物体作自由落体运动的方程是s (t )＝12
g t 2，求1 s 到2 s 的平均速度． 问题2：物体作自由落体运动的方程是s (t )＝12
g t 2，如何求t ＝3 s 这一时刻的速度呢？ 活动设计：先让学生独立思考，然后小组交流，教师巡视指导，并注意与学生交流． 学情预测：经过简单运算，学生能够回答出第一个问题．对于第二个问题，可能在理解“瞬时速度”上有难度，感觉无从下手．
教师提问：这两个问题在解法上有什么区别和联系？能否从它们的联系上寻找第二个问题的解法？你对“t ＝3 s 这一时刻”怎么理解？
学情预测：学生能够利用物理知识解决速度问题，但对某一时刻的速度，未必能从“平均速度”和“瞬时速度”的关系上说清楚．
教师提示：我们可以取t ＝3 s 临近时间间隔内的平均速度去“逼近”t ＝3 s 时刻的“瞬时速度”，如在[3,3＋Δt ]内或在[3－Δt ,3]内，不过时间间隔Δt 要尽可能小．
学情预测：经过提示和讨论后，学生应该能从尽可能缩小时间间隔的角度进行感性认识和猜测了．
活动成果：师生共同得出如下结论：
取一小段时间：[3,3＋Δt ]，Δs ＝12g(3＋Δt )2－92g ，Δv ＝Δs Δt ＝g 2
(6＋Δt )． 当Δt →0时，Δv →3g.
设计意图
从学生学过并且熟悉的物理问题切入，以平均速度和瞬时速度作对比设计两个问题，使学生有一个思考的台阶，在教师的引导提示下，感性地认识瞬时速度的概念．
探究新知
在高台跳水运动中，运动员在不同时刻的速度是不同的．我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度．运动员的平均速度不一定能反映他在某一时刻的瞬时速度．那么，如何求运动员的瞬时速度呢？
提出问题：在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h (单位：m)与跳后的时间t (单位：s)存在函数关系h (t )＝－4.9t 2＋6.5t ＋10，试探求运动员在t ＝2 s 时的瞬时速度是多少？
活动设计：以小组为单位，列好表格，准备好计算器，分别计算时间间隔Δt ＝－0.01，－0.001，－0.000 1，－0.000 01，－0.000 001，…在区间[2＋Δt ,2]内的平均速度和Δt ＝0.01，0.001,0.000 1,0.000 01,0.000 001，…时，在区间[2,2＋Δt ]内的平均速度．并观察当|Δt |逐渐变小时，平均速度v 的取值变化情况．
活动成果：当Δt <0时，在[2＋Δt ,2]这段时间内 v ＝h (2)－h (2＋Δt )2－(2＋Δt )＝4.9Δt 2＋13.1Δt －Δt
＝－4.9Δt －13.1. 当Δt ＝－0.01时，v ＝－13.051；
当Δt ＝－0.001时，v ＝－13.095 1；
当Δt ＝－0.000 1时，v ＝－13.099 51；
当Δt ＝－0.000 01时，v ＝－13.099 951；
当Δt ＝－0.000 001时，v ＝－13.099 995 1；
……
当Δt >0时，在[2,2＋Δt ]这段时间内v ＝h (2＋Δt )－h (2)(2＋Δt )－2
＝－4.9Δt 2－13.1Δt Δt ＝－4.9Δt －13.1.
当Δt ＝0.01时，v ＝－13.149；
当Δt ＝0.001时，v ＝－13.104 9；
当Δt ＝0.000 1时，v ＝－13.100 49；
当Δt ＝0.000 01时，v ＝－13.100 049；
当Δt ＝0.000 001时，v ＝－13.100 004 9；
……
可以看出，当|Δt |逐渐变小时，平均速度v 的取值逐渐趋近于一个稳定的值－13.1，从物理的角度看，时间间隔|Δt |无限变小时，平均速度v 就无限趋近于t ＝2 s 时的瞬时速度．所以说，运动员在t ＝2 s 时的瞬时速度是－13.1 m/s.
为了表述方便，我们用
0lim t ∆→ h (2＋Δt )－h (2)Δt
＝－13.1 来表示“当Δt →0时，v →－13.1”．
提出问题：仍以高台跳水为例，运动员在某一时刻t 0的瞬时速度怎样表示？能用它来表示函数f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率吗？
活动设计：学生独立思考，两名学生板演，其他学生在练习本上试着写出结果，然后教师点评．
活动成果：根据上面对瞬时速度概念的探究，可知：
运动员在某一时刻t 0的瞬时速度为0lim t ∆→ h (t 0＋Δt )－h (t 0)Δt
. 类似地，函数f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率可以表示为
0lim x ∆→ f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝0lim x ∆→ Δf Δx
.
我们称它为函数f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)＝0lim x ∆→ f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝0lim x ∆→ Δf Δx . 理解新知
例1 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热，如果第x h 时，原油的温度(单位：℃)为f (x )＝x 2－7x ＋15(0≤x ≤8)，计算第2 h 时和第6 h 时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义．
学情预测：根据上面所学知识，学生能够求出第2 h 时和第6 h 时原油温度的瞬时变化率，但是在说明它们的意义时可能有困难，或表述不准确．
活动设计：学生先独立思考，一名学生板演，其他学生在练习本上试着写出过程和结果．教师适时点评．
活动结果：在第2 h 时和第6 h 时，原油温度的瞬时变化率就是f ′(2)和f ′(6)．
根据导数的定义，Δf Δx ＝f (2＋Δx )－f (x 0)Δx
＝(2＋Δx )2－7(2＋Δx )＋15－(22－7×2＋15)Δx
＝Δx －3， 所以，f ′(2)＝0lim x ∆→ Δf Δx ＝0
lim x ∆→ (Δx －3)＝－3.同理可得：f ′(6)＝5. 在第2 h 时和第6 h 时，原油温度的瞬时变化率分别为－3和5.说明在2 h 附近，原油温度大约以3 ℃/h 的速率下降；在第6 h 附近，原油温度大约以5 ℃/h 的速率上升．
点评：(1)函数f (x )在x ＝x 0处的导数即为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率；
(2)瞬时变化率是平均变化率的极限；
(3)Δx ＝x －x 0，当Δx →0时，x →x 0，所以f ′(x 0)＝0lim x x → f (x )－f (x 0)x －x 0
； (4)由定义知，求f (x )在x 0处的导数的步骤为：
求增量Δy ＝f (x ＋Δx )－f (x )算比值Δy Δx ＝f (x ＋Δx )－f (x )Δx 求极限y ′＝0lim x ∆→ Δy Δx
. 由导数的定义，我们知道，高度h 关于时间t 的导数就是运动员的瞬时速度；气球半径r 关于体积V 的导数就是气球的瞬时膨胀率．实际上，导数可以描述任何事物的瞬时变化率，如效率、国内生产总值的增长率等等．设计本例的主要目的还是让学生在实际问题背景中体会导数的产生、导数的意义等．设计意图
运用新知
例2 (1)求函数f (x )＝－x 2＋x 在x ＝－1附近的平均变化率，并求出在该点处的导数．
(2)求函数y ＝3x 2在x ＝1处的导数．
思路分析：求函数f (x )在任意点处的导数都应先求平均变化率，再求f ′(x 0)．
解：(1)因为Δf Δx ＝－(－1＋Δx )2＋(－1＋Δx )＋2Δx ＝3－Δx ， 所以f ′(－1)＝0lim x ∆→ Δy Δx ＝－(－1＋Δx )2＋(－1＋Δx )＋2Δx ＝0
lim x ∆→ (3－Δx )＝3. (2)因为Δf ＝Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝6Δx ＋3(Δx )2，所以Δf Δx ＝6＋3Δx ，0lim x ∆→ Δf Δx
＝6. 点评：体会求函数f (x )在任一点处的导数的一般步骤，进一步感受平均变化率与瞬时变化率的关系，对于Δy 与Δx 的比值，感受和认识在Δx 逐渐变小的过程中趋近于一个固定的常数A 这一现象．
例3 函数f (x )满足f ′(1)＝1，则当x 无限趋近于0时，
(1) 0lim x → f (1＋x )－f (1)2x
＝__________， (2) lim x→0 f (1＋2x )－f (1)x
＝____________. 思路分析：因为f (x )在x ＝1处存在导数，所以当x 无限趋近于0时，2x 也无限趋近于0，故lim x →0 f (1＋x )－f (1)x ＝1， lim 2x→0 f (1＋2x )－f (1)2x
＝1. 【解析】(1)lim x →0
f (1＋x )－f (1)2x ＝lim x→0 12f (1＋x )－f (1)x ＝12， (2)lim x →0 f (1＋2x )－f (1)x ＝2lim 2x →0f (1＋2x )－f (1)2x
＝2. 【答案】(1)12
(2)2 点评：理解导数的意义，关键在理解当Δx →0时，Δy Δx ＝f (x ＋Δx )－f (x )Δx
的变化趋势． 巩固练习
1．一物体的运动方程是s ＝3＋t 2，则在一小段时间[2,2.1]内相应的平均速度为( )
A ．0.41
B ．3
C ．4
D ．4.1
2．设函数f (x )可导，则0lim x ∆→ f (1＋Δx )－f (1)3Δx
等于( ) A ．f ′(1) B ．不存在
C. 13
f ′(1) D ．以上都不对 3．设f (x )＝1x ，则lim x a
→ f (x )－f (a )x －a 等于( ) A ．－1a B. 2a C ．－1a 2 D. 1a 2 【答案】1.D 2.C 3.C
变练演编
变式(1)设f (x )在x ＝x 0处可导，若f (x 0＋4Δx )－f (x 0)Δx
无限趋近于1，则f ′(x 0)＝__________. 变式(2)设f (x )在x ＝x 0处可导，若f (x 0－4Δx )－f (x 0)Δx
无限趋近于1，则f ′(x 0)＝__________. 变式(3)设f (x )在x ＝x 0处可导，当Δx 无限趋近于0时，f (x 0＋2Δx )－f (x 0－2Δx )Δx
所对应的常数与f ′(x 0)的关系．
活动设计：学生独立完成，教师将所有发现的结果一一列举，再由学生相互之间交流、评价，最后教师给出正确答案．
【答案】变式(1)：14
变式(2)：－14
变式(3)：当Δx 无限趋近于0时，f (x 0＋2Δx )－f (x 0－2Δx )Δx
＝4f ′(x 0) 设计意图
对于函数f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率0lim t ∆→ f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝0lim t ∆→ Δf Δx
，Δx 表示的意义是一个尽可能小的改变量，是一个广义的概念．通过变练(就是变式训练)演编(就是让学生试着自己编题)，让全班同学通过交流合作的形式，在辨析中加深对导数概念的理解．
达标检测
1．当自变量x 由x 0增加到x 1时，函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数……
( )
A ．在区间[x 0，x 1]上的平均变化率
B ．在x 0处的变化率
C ．在x 1处的变化率
D ．在区间[x 0，x 1]上的导数
2．下列各式中正确的是( )
A ．f ′(x 0)＝0lim t ∆→ f (x 0－Δx )－f (x 0)2Δx
B ．f ′(x 0)＝0lim t ∆→ f (x 0－Δx )－f (Δx )Δx
C ．f ′(x 0)＝0lim t ∆→ f (x 0＋Δx )＋f (x 0)－Δx
D ．f ′(x 0)＝0
lim t ∆→ f (x 0)－f (x 0－Δx )Δx 3．设f (x )＝ax ＋4，若f ′(1)＝2，则a 的值为( )
A ．2
B ．－2
C ．3
D ．－3
4．y ＝x 3－1，当x ＝2时，0lim t ∆→ Δy Δx
＝______. 【答案】1.A 2.D 3.A 4.12
课堂小结
本节课通过大量的实例，引出了瞬时速度、瞬时变化率的概念，进而形成了导数的概念．其中探究从平均速度到瞬时速度的过程和方法，从特殊推向一般的思想和方法，以及利用所学知识解决实际问题的思想和方法都具有非常重要的作用．
布置作业
课本习题1.1A2、A3、B1.
补充练习
1．若f (x )＝x 3，f ′(x 0)＝3，则x 0的值是( )
A ．1
B ．－1
C ．±1
D ．33
【答案】C
2．设函数f (x )＝mx 3＋2，若f ′(－1)＝3，则m ＝__________.
【答案】1
3．设一物体在t 秒内所经过的路程为s 米，并且s ＝4t 2＋2t －3，试求物体分别在运动开始及第5秒末的速度．
解：开始的速度为2米/秒，第5秒末的速度为42米/秒．
设计说明
本节课从变化率入手，通过大量的实验和学生的广泛参与，用形象直观的逼近思想来理解瞬时速度和瞬时变化率，在此基础上再给出导数定义．这样做可以避免学生因未学习极限的概念而影响对导数的认识，可以使学生更直观形象地理解导数概念，同时还能使学生对逼近思想有一定的了解．
教学过程中，从形成导数定义到理解导数内涵都使用了瞬时速度这个具体的物理模型，
教学的关键放在了让学生充分经历从平均速度探究到瞬时速度上．整个过程采用的方法都是遵循循序渐进的原则，尊重学生的认知水平和认知规律．另外，本节还选配了一些其他方面的变化率问题，形式丰富的实例有利于学生辨别出它们具有的共同特征，认识到导数可以描述任何事物的瞬时变化率，从而加深对导数概念的理解．。