高中数学第三章不等式3.4基本不等式学案(含解析)新人教A版必修5(2021学年)

２０17-2０１8学年高中数学第三章不等式 3.4 基本不等式学案(含解析)新人教A版必修5
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3。

4 基本不等式:错误!≤错误!
基本不等
式
[提出问题］
问题1:若ａ，ｂ∈Ｒ，则代数式a2+b2与2aｂ有何大小关系？
提示:∵(a2+b2)－２ab＝（a-b）2≥0,
∴a２+ｂ2≥2aｂ．
问题2：上述结论中，等号何时成立？
提示：当且仅当a=b时成立．
问题３:若以＼r(ａ）,错误!分别代替问题1中的ａ,ｂ，可得出什么结论?
提示：a＋b≥2＼ｒ（ab）．
问题4:问题3的结论中,等何时成立?
提示:当且仅当a＝b时成立．
[导入新知］
１.重要不等式
当ａ，b是任意实数时,有a２+b2≥2ab,当且仅当a=b时，等号成立．
2.基本不等式
（1）有关概念：当a，b均为正数时，把＼f(a＋ｂ,２)叫做正数a，ｂ的算术平均数,把＼r（aｂ)叫做正数ａ，b的几何平均数．
（2)不等式：当a，b是任意正实数时，ａ，b的几何平均数不大于它们的算术平均数，即＼r(ab)≤＼ｆ(ａ＋b，2），当且仅当a＝b时,等号成立.
（3）变形：ab≤错误!2,a＋b≥2错误!（其中ａ＞０,b＞0,当且仅当a=b时等号成立).
[化解疑难]
1.基本不等式成立的条件：ａ＞0且ｂ＞0；其中等号成立的条件:当且仅当a=b时取等号,即若a≠b时，则错误!≠错误!,即只能有错误!＜错误!。

２.从数列的角度看，ａ,ｂ的算术平均数是ａ,b的等差中项,几何平均数是a，b的正的等比中项,则基本不等式可表示为：a与ｂ的正的等比中项不大于它们的等差中项.
利用基本不等式证明不
等式
［例1] 已知ａ,b，c∈R,求证:a４+b4+ｃ4≥ａ2b２+b2ｃ2＋c2a2.
证明:由基本不等式可得
a4＋ｂ４=(ａ2）２＋(ｂ2)2≥２a２b2,
同理，b4+c４≥2b2c2,
ｃ4+a4≥2a2c2,
∴（ａ4＋b４）＋（b4＋c４)+（c4+ａ４)≥2a2b２＋2b2c2+２ａ2c2,
从而a4+ｂ4+c4≥ａ2b2+b２c２＋c２a2。

［类题通法]
1.利用基本不等式证明不等式，关键是所证不等式中必须有“和"式或“积”式,通过将“和”式转化为“积”式或将“积”式转化为“和”式,从而收到放缩的效果.
2.注意多次运用基本不等式时等号能否取到．
[活学活用]
设ａ＞０,b〉0,证明:错误!＋错误!≥a＋b。

证明：∵a>０,b〉０,
∴错误!+a≥2ｂ,错误!＋b≥2ａ,
∴错误!+错误!≥ａ＋b.
利用基本不等式求最
值
[例２] (１）已知
（2）已知x＞3，求f(x)＝x+错误!的最小值；
(３)设x>0，y>0，且2x＋y＝1，求1
x
＋错误!的最小值．
[解] (1)∵m，n>0且m＋ｎ=16，
∴由基本不等式可得mn≤错误!2=错误!2=６４，当且仅当m＝n=8时，mn取得最大值６4。

（2）∵x＞3，
∴x－３＞０，４
x-3
＞0，
于是f（x)=x+错误!=x-３+错误!＋3≥2 错误!+3=7,
当且仅当x-3＝错误!即x＝5时，ｆ(x)取得最小值7。

(3）法一:∵x>0,y>0,2ｘ+y=1,
∴＼f（１,x）＋错误!＝错误!+错误!
＝3＋y
x
+＼f(2ｘ,y）≥3+2 错误!＝３+2错误!,
当且仅当错误!＝错误!，即y=错误!x时，等号成立，
解得x=1－错误!，y＝错误!-1，
∴当ｘ=1－错误!，ｙ＝错误!－1时,错误!＋错误!有最小值３＋2错误!.
法二：错误!＋错误!＝错误!·1=错误!（2ｘ＋y)=3＋错误!＋错误!≥3＋2 错误!=3＋２错误!，以下同法一．
［类题通法]
1．利用基本不等式求最值,必须按照“一正,二定,三相等”的原则.
（1)一正:符合基本不等式错误!≥错误!成立的前提条件：a＞0，ｂ>0。

（2)二定:化不等式的一边为定值.
（３）三相等：必须存在取等号的条件，即等号成立.
以上三点缺一不可.
２．若是求和式的最小值,通常化(或利用）积为定值；若是求积的最大值,通常化(或利用)和为定值，其解答技巧是恰当变形，合理拆分项或配凑因式．
[活学活用]
（1)已知ｌg ａ+lg b＝2,求a+b的最小值；
(2）已知x＞０，y>０,且２x＋3y=６,求xy的最大值;
（3）已知x＞0，y＞０,错误!＋错误!＝1,求x+y的最小值.
解：（1)由lg a＋lｇb＝2可得lg ab＝2,
即ab＝1０0，且a＞0,b＞0，
因此由基本不等式可得ａ＋b≥２错误!=2错误! =20,当且仅当a＝b＝１０时,a+b取得最小值2０。

(２)∵x＞0,y>0，２ｘ+３y=６，
∴xy＝错误!(2x·３y)≤错误!·错误!2
＝＼f（1,6)·错误!2=错误!，
当且仅当2ｘ＝3y，
即x=错误!,y=1时，ｘy取得最大值错误!.
(3)∵＼ｆ（1，x）+＼f(9,ｙ)=１,
∴x＋ｙ＝(x+y）错误!
=1+＼f（9x,y）+错误!+9=错误!+错误!+10.
又∵x＞０,ｙ>0，
∴错误!+错误!+1０≥２错误!+10=１６,
当且仅当y
x
＝＼f（9x,y)，
即y＝3x时，等号成立．
由错误!
得错误!即当x＝4,y=12时，x＋y取得最小值16。

利用基本不等式解应
用题
［例3] 如图所示间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．
（1）现有３6 m长的钢筋网材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时,可使每间虎笼面积最大?
(2)若使每间虎笼面积为24 ｍ2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小?
[解] (１)设每间虎笼长为x m,宽为ｙ m,
则由条件得4x＋6ｙ＝3６,即２x+3y=1８，
设每间虎笼面积为S,则S=xy。

由于2x＋3y≥2＼r（２x·3y)=2错误!，
∴２错误!≤18，得ｘy≤错误!,即Ｓ≤错误!，
当且仅当2x＝３y时,等号成立，
由错误!解得错误!
故每间虎笼长为４。

５m，宽为３ m时，可使面积最大.
(2)设每间虎笼第为ｘ m,宽为y m。

法一:由条件知Ｓ＝xｙ=24,
设钢筋网总长为l,则l=4ｘ+6ｙ。

∵２ｘ+3y≥2错误!＝２错误!=2４,
∴l＝4x+6ｙ＝２(2x+3y）≥4８,
当且仅当2x=3ｙ时，等号成立.
由错误!解得错误!
故每间虎笼长6 m，宽4 ｍ时,可使钢筋网总长最小.
法二：由ｘｙ=24,得ｘ=错误!。

∴l＝4x+6y＝错误!+6ｙ=6错误!≥6×2 错误!=４8,
当且仅当错误!＝y,即y＝４时，等号成立．此时x=6.
故每间虎笼长6 m，宽4 m时，可使钢筋网总长最小.
[类题通法］
在应用基本不等式解决实际问题时,应注意如下的思路和方法：
（1)先理解题意,设出变量，一般把要求最值的量定为函数;
(2)建立相应的函数关系，把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题;
(3）在定义域内，求出函数的最大值或最小值;
(4)根据实际背景写出答案．
[活学活用］
某汽车公司购买了4辆大客车,每辆２00 万元，用于长途客运，预计每辆车每年收入约1０0 万元,每辆车第一年各种费用约为1６万元,且从第二年开始每年比上一年所需费用要增
加16 万元.
(1)写出４辆车运营的总利润ｙ(万元）与运营年数x(x∈N*）的函数关系式．
（2)这4辆车运营多少年,可使年平均运营利润最大?
解:（1)依题意,每辆车x年总收入为１00x万元,
总支出为200+1６×(１＋2＋…＋ｘ)＝200＋＼f(1,２)x(x+1)·１６.
∴y＝4错误!
=16（-2ｘ２+23x-50)．
(２)年平均利润为
＼f（y，x)＝16错误!=16错误!.
又x∈N*，
∴x+错误!≥2 错误!＝1０,
当且仅当x＝5时,等号成立，
此时错误!≤16×(23-20)=48。

∴运营5年可使年平均运营利润最大，最大利润为4８万元．
错误!
［典例] 已知ａ＞０,b>0，a+b＝2,则y＝错误!＋错误!的最小值是（）A。

错误!ﻩ B.4
Ｃ.错误!ﻩＤ.5
[解析] ∵a+b=2,∴错误!=1。

∴1
a
＋
4
b
＝错误!错误!
=＼ｆ(5,2）+错误!≥错误!＋2 错误!=错误!错误!.
故y=＼f(1，a)＋
4
ｂ
的最小值为
9
2。

[答案] Ｃ[易错防范］
1.解答本题易两次利用基本不等式,如：
∵a>0，b＞０，a+b＝２，∴ab≤＼f（a＋ｂ2,4）＝1。

又ｙ＝＼f（１,ａ)+＼ｆ（4,b）≥２错误!=4 错误!，又ab≤1,
∴y≥4错误!=4。

但它们成立的条件不同,一个是ａ=b,另一个是b＝4ａ,这显然是不能同时成立的,故不正确.
2.使用基本不等式求最值,其失误的真正原因是对其前提“一正、二定、三相等”的忽视.要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可.
3．在运用重要不等式时,还要特别注意“拆"“拼”“凑”等技巧,使其满足重要不等式中“正”“定"“等”的条件．
[成功破障]
(福建高考）下列不等式一定成立的是( )
Ａ．lg（ｘ2＋１
4
)＞lg ｘ（x＞0)
Ｂ．ｓiｎx+
1
sin x
≥2（x≠kπ,k∈Z）
C．x2＋1≥2｜ｘ|（x∈Ｒ)
D．错误!>1（x∈R)
解析：选C 取x＝错误!，则lｇ(x2+错误!）＝lｇｘ,故排除Ａ;取x=错误!,则sin x=-1，故排除B;取x=0,则＼f(１，ｘ2＋1）=1,故排除D。

[随堂即时演练]
1.已知f(ｘ)＝x＋错误!-2(ｘ<0）,则ｆ（x）有( ）
A.最大值为０ﻩＢ．最小值为０
Ｃ．最大值为－４D．最小值为-4
解析:选C ∵x<0,
∴f（x)＝-错误!-２≤－２-2＝-４,
当且仅当-ｘ=错误!,即x＝－1时取等号．
２．若a >b ＞０，则下列不等式成立的是（ )
Ａ.a >b >错误!＞错误! Ｂ.a ＞错误!>错误!＞b C ．a >错误!>b ＞错误!
D.a ＞错误!＞错误!＞b
解析:选B ａ=错误!>错误!＞错误!＞ 错误!=b ，因此只有Ｂ项正确. 3．若x ，y ∈R +,且ｘ+４y ＝1,则ｘ·ｙ的最大值为______＿_． 解析:1=x +４y ≥2＼r （4ｘy )=４＼ｒ(ｘy ), ∴ｘｙ≤错误!,当且仅当x ＝4ｙ时等号成立． 答案：错误!
4．已知x ＞0,y >0,lg x ＋l ｇ y ＝1,则z ＝＼ｆ（2,x )+5
y
的最小值为__＿_____．
解析：由已知条件lg x +lg ｙ＝1，可得xy ＝１0。

则错误!＋错误!≥２ 错误!＝2,
故错误!最小值＝2,当且仅当２y ＝5x 时取等号． 又ｘy ＝1０,即x ＝2，y =５时等号成立． 答案:2
5．已知a ,ｂ，c 均为正数，a ,b ,ｃ不全相等.求证:
错误!＋错误!+错误!〉a ＋ｂ+c .
证明：∵a >0,ｂ>０,c >０,
∴bc
a
＋错误!≥２ 错误!=2c ， 错误!＋错误!≥2 错误!＝２a ,错误!+错误!≥2 错误!=2ｂ.
又a ,b ,c 不全相等，故上述等号至少有一个不成立. ∴错误!＋错误!+错误!>a +ｂ＋ｃ.
[课时达标检测］
一、选择题
1.下列不等式中正确的是( ）
A ．a ＋错误!≥4 ﻩ
B ．ａ2
+ｂ2
≥4ａb C.错误!≥错误! ﻩD ．x 2
+错误!≥2错误! 解析:选D a <０,则a +
4
ａ
≥4不成立,故A 错；
ａ＝１,b=1，ａ2+ｂ2＜4ab，故B错;
a=4,b＝16，则＼r(ａb)<错误!，故C错;
由基本不等式可知D项正确．
2.已知０＜x<1，则x(3－３ｘ)取得最大值时ｘ的值为( ）A。

错误! B.错误!
C。

3
4
ﻩ D.
２
3
解析：选Ｂ由x（３-3x）=３·x(1－x）≤３错误!２=错误!，当且仅当ｘ＝1－x,即x＝错误!时，等号成立.
3.设ａ,b是实数,且a+b=３,则２ａ+2b的最小值是（）
A．6 ﻩ B.42
C.2 6 ﻩ
D.8
解析:选B ∵a，b是实数,
∴2ａ>0,2b＞0，
于是２ａ＋2b≥2错误!=2错误!＝2 错误!=４错误!,当且仅当ａ=ｂ＝错误!时取得最小值4 2。

4．已知ｘ＞0,y>０,且x＋ｙ＝8,则（1＋ｘ)（1+y)的最大值为( ）
A.1６B．25
Ｃ.9 ﻩ D.3６
解析：选B （1+ｘ)(1＋y）≤错误!２
＝错误!2=错误!2＝２5，
因此当且仅当1+x=1＋y即ｘ=y＝4时，
（1+x)·(1＋y)取最大值２5，故选B。

5．若－4〈x〈1，则ｆ(x)=＼f（x2－2x+2，２ｘ-2)（）
A.有最小值1
B.有最大值１
C．有最小值－1 D.有最大值－１
解析:选Ｄf(x）＝错误!=错误!错误!,
又∵-4〈x〈１，∴x-１<０．
∴－(x－1)>0.
∴f（x）＝－错误!错误!≤-1.
当且仅当ｘ-1＝错误!,即ｘ＝0时，等号成立．
二、填空题
６．已知x,y都是正数．
(1）如果xy=15,则x+y的最小值是______＿_;
(２)如果x+y=15,则xy的最大值是________.
解析：（１)x+y≥2错误!=2错误!,即x＋y的最小值是２错误!；当且仅当ｘ＝y＝错误!时取最小值．
(2)xy≤错误!2=错误!2＝错误!,
即xy的最大值是错误!.
当且仅当x＝y＝错误!时xy取最大值.
答案:(1)215 (2)错误!
7．若对任意x〉0,错误!≤ａ恒成立,则ａ的取值范围是____＿___．
解析:因为x〉0,所以x+错误!≥２．
当且仅当ｘ＝1时取等号，所以有
＼f(x，x2＋3x+１）＝错误!≤错误!=错误!,
即错误!的最大值为错误!，
故a≥＼f(1,５)。

答案:错误!
８．设ａ>０,ｂ＞０，给出下列不等式:
①a2+1>a;
②错误!错误!≥４;
③(a+ｂ)错误!≥4；
④a2＋9＞6a.
其中恒成立的是________（填序号）．
解析:由于ａ２+1-a＝错误!２＋错误!＞0,故①恒成立;
由于ａ＋错误!≥２,b＋错误!≥2，
∴错误!错误!≥４,故②恒成立;
由于a+b≥2错误!,错误!＋错误!≥2 错误!,
故（a+ｂ)错误!≥4，故③恒成立;
当a＝３时,a2＋9=6a,故④不能恒成立.
答案:①②③
三、解答题
9.求下列函数的最小值.
(１)设ｘ，y都是正数,且错误!＋错误!=３,求2ｘ+y的最小值;
(2)设x〉-１，求y＝ｘ+5x＋2
x＋1
的最小值.
解:（１)2x+ｙ=3２x+ｙ
３
＝１
3错误!
(2x＋y）
=错误!错误!
≥错误!（2错误!+4）=错误!。

当且仅当错误!＝错误!时等号成立,即y2=4x2。

∴y=2ｘ。

又∵错误!+错误!=３,得ｘ=错误!,y＝错误!.
∴当x＝错误!,ｙ＝错误!时，2x+y取得最小值为错误!。

(2)∵x>-１，∴x＋1＞0．
设ｘ＋1=t〉0，则x＝t-1，
于是有y＝＼f（t＋４ｔ+1,ｔ）＝＼ｆ（t2+5ｔ＋4,t)
=t+
4
ｔ
＋５≥2 ｔ·＼f(4，ｔ)＋5＝9,
当且仅当ｔ＝4
t
,即ｔ＝2时取等号,此时x=１．
∴当x＝1时,函数y=＼f(x+5x+2，x+1）取得最小值为9。

10.(１)已知0＜x<错误!，求y=错误!x(1-2ｘ）的最大值;
（2）已知ｘ〉0，求y=２-ｘ－错误!的最大值；
(3）已知x，y∈Ｒ+,且x+y＝4，求＼ｆ(1,x)+3
y
的最小值．
解:(1）∵０＜x<错误!，
∴1－２x＞0.
ｙ=错误!·２ｘ·（１－2x)≤错误!·错误!2
=＼f(１，4）×1
4
=错误!。

∴当且仅当2x＝1-2x,
即x=错误!时，y最大值＝错误!.
(２）∵ｘ＞0,
∴y＝2－x-错误!=2-错误!≤２-4=－2,
当且仅当x＝错误!,即x=2时等号成立，y的最大值为-2.
（3)法一：∵x，y∈R+,
∴（x＋y)错误!=４+错误!≥4＋2错误!。

当且仅当错误!=错误!,即ｘ＝2（错误!－１），ｙ=2（3－错误!）时取等号．
又ｘ+y=4,
∴错误!+错误!≥1＋错误!,
故错误!+错误!的最小值为1+错误!。

法二:∵x,y∈R+，且x＋y=4，
∴错误!+错误!=错误!＋错误!
＝1＋错误!≥1+2 错误!=1＋错误!。

当且仅当错误!=错误!,
即ｘ＝２(错误!－1），y＝２（３-错误!)时取等号.
∴错误!+错误!的最小值为1+错误!。

11。

如右图,某公园计划建一块面积为１４4平方米的矩形草地,一边靠墙，另外三边用铁丝网围住,现有４4米铁丝网可供使用(铁丝网可以剩余)，若利用x米墙，求:
(1)ｘ的取值范围;
(2）最少需要多少米铁丝网(精确到0。

1米）.
解:(1）由于矩形草地的面积是14４平方米,一边长是x米，则另一边长为错误!米，
则矩形草地所需铁丝网长度为y＝x＋2×错误!。

令y=ｘ+2×错误!≤44(x＞０)，
解得8≤ｘ≤３６，
则x的取值范围是［8,36］．
(2)由基本不等式，得y=ｘ+错误!≥24错误!.
当且仅当x=错误!,
即x≈1７。

0时，等号成立,
则y最小值=24２≈3４。

0，
即最少需要约３4。

0米铁丝网.
12.（1)已知x<－2，求函数y=２x+错误!的最大值; (2)求y=错误!的最小值;
（３)若正数a,ｂ满足ａb=a＋b+3，求a+ｂ的取值范围．解:(1)∵x〈-2，∴x＋2<0，-(x＋2）〉0。

∴ｙ＝2（x＋2)+
1
x＋2
－4
=-［－２（x＋2)+错误!]－４≤
－2 错误!－4
=-2＼ｒ（2）-4.
当且仅当－２(x＋2）＝错误!(ｘ<-2)，即x=－2-错误!时，y取最大值-２错误!－4。

（2)令t＝错误!，则y=f(t)=t＋错误!，
由f（ｔ)=t＋错误!(t≥２)的单调性,
知ｙ＝t＋＼f(1,ｔ)在[2,＋∞）上是增函数,
∴t＝2时，f（ｔ)mｉｎ＝2+＼f(1,２)＝错误!，
即当x2+４＝2，也就是x＝０时,y min＝错误!.
(3)∵a+b+3=ab≤错误!２,当且仅当a＝b＝3时等号成立
∴(a+b)2-4（a＋b）－12≥0．
∴（a＋b－6)(a+ｂ＋2)≥０.又a〉０,b〉０，
∴a+b≥6.即a+b的取值范围为［6,+∞］.
以上就是本文的全部内容,可以编辑修改。

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