河北省辛集中学2020届高三数学9月月考试题 理

河北省辛集中学2020届高三数学9月月考试题 理
一．选择题（每小题5分，共80分。

下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）
1．2(12i)i
-在复平面内对应的点位于（ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
2．已知
，则
（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
3．若函数()2
231
x
x f x a -+=在()1,3上是增函数，则关于x 的不等式11x a ->的解集为（ ）
A ．{}| 1 x x >
B ．{}| 1 x x <
C ．{}|0 x x >
D ．{}|0 x x <
4．在ABC ∆中，3,2,AB AC ==12
BD BC =u u u r u u u r ，则AD BD ⋅=u u u r u u u r
( )
A ．52-
B ．52
C ．54-
D ．54
5．设1a >，若曲线1
y x
=与直线1x =，x a =，0y =所围成封闭图形的面积为2，则a = A ．2
B ．e
C ．2e
D ．2e
6．数列{a n }的通项公式是a n ＝，若前n 项和为10，则项数n 为( )
A ．120
B ．99
C ．110
D ．121 7．下列选项中，说法正确的是（ ）
A ．命题2000",0"x R x x ∃∈-≤的否定为2
",0"x R x x ∃∈->
B ．命题“在AB
C ∆中，30A >o
，则1
sin 2
A >
”的逆否命题为真命题 C ．若非零向量a v 、b v 满足||||||a b a b +=-v v v v ，则a v 与b v
共线
D ．设{a n }是公比为q 的等比数列，则”q>1”是{a n }为递增数列”的充分必要条件 8．定义在R 上的偶函数()cos x k
f x e
x -=-（其中e 为自然对数的底）
，记12log 3a f ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，
()2log 5b f =， ()2c f k =+，则a ， b ， c 的大小关系是（ ）
A ．a c b <<
B ．c a b <<
C ．b c a <<
D ．b a c <<
9．在等差数列{}n a 中，1001010,0a a <>，且100101a a <，n S 为其前n 项和，则使0n S <的最大正整数n 为（ ） A ．202
B ．201
C ．200
D ．199
10．设函数(),0,013,1x x
e x
f x e x x x -⎧<⎪=≤≤⎨⎪->⎩
，若互不相等的实数,,a b c 满足()()()f a f b f c ==，
则()()()af a bf b cf c ++的取值范围是（ ） A ．91,2⎛⎤ ⎥⎝⎦
B ．[
)1,2 C ．92,4⎛
⎤ ⎥⎝
⎦ D ．91,4
⎛⎤ ⎥⎝⎦
11．平行四边形ABCD 中2,1,AB AD ==1AB AD ⋅=-u u u r u u u r ，点M 在边CD 上，则MA MB ⋅u u u r u u u r
的最大
值为( )
A ．21-
B ．31-
C ．0
D ．2
12．在数列{}n a 中，10a =，()()1522*,2n n a a n n N n --+=+∈≥，若数列{}n b 满足
18
1()11
n n n b n a +=+，则数列{}n b 的最大项为( )
A ．第5项
B ．第6项
C ．第7项
D ．第8项
13．已知函数1
()4sin cos 2
f x x x =-，若()()f x a f x a -=-+恒成立，则实数a 的最小正值为（ ） A ．2π
B ．π
C ．
2
π D ．
4
π 14．数列{}n a 是递减的等差数列，{}n a 的前项和是，且
，有以下四个结论：
①； ②若对任意,n N +∈都有成立，则的值等于7或8时；③存在正整数，使
；④存在正整数
，使
.
其中所有正确结论的序号是（ ） A ．①②
B ．①②③
C ．②③④
D ．①②③④
15．已知函数()f x 的定义域为R ，1122f ⎛⎫=-
⎪
⎝⎭
，对任意的x ∈R 满足()4f x x '>.当[0,2]απ∈时，不等式(sin )cos 20f αα+>的解集为( )
A ．711,66ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
B ．45,33ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
C ．2,33ππ
⎛⎫
⎪⎝
⎭
D ．5,66ππ⎛⎫
⎪⎝
⎭
16．已知函数2
()35f x x x =-+，()ln g x ax x =-，若对(0,)x e ∀∈，12,(0,)x x e ∃∈且
12x x ≠，使得()()(1,2)i f x g x i ==，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．16(,)e e
B ． 746[,)e e
C ．741
[,)e e
D ．7
416(0,][,)e e e U
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上 17．已知1sin()6
4x π
+
=
，则 25sin(
)cos ()63
x x ππ
-+-的值是_____. 18．已知12
()2log (3)x f x x =-+,，若2(2)(2)f a f a a -<-，则a 的取值范围______． 19. 丹麦数学家琴生（Jensen ）是19世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别是在函数的凸凹性与不等式方面留下了很多宝贵的成果，设函数
在
上的导函数为()f x '，()f x '在
上的导函数为()f x ''，若在
上()0f x ''<恒成立，则称函数f(x)在
上为“凸函
数”，已知
432
3()1,4432
x t f x x x t =-+在（）上为“凸函数”，则实数的取值范围是 。

20．已知首项为2的数列{}n a 的前n 项和n S 满足： ()()
*12210n n S a n N +-+=∈，记
()()()
*123112
n
n a f n n n N -=
-+-∈，当()f n 取得最大值时， n 的值为__________． 三、解答题(本大题共4小题,共计50分)
21．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ． （1）若7b 3
==
，π
B ，AB
C ∆的面积33
S =
a +c 值； （2）若2cos C （BA BC ⋅u u u r u u u r +AB AC ⋅u u u r u u u r
）=c 2，求角C ．
22．各项均为正数的数列{}n a 中，11a =，n S 是数列{}n a 的前n 项和，对任意
2
=(),22n n n pa pa p n N R S p *+-∈∈有.
(1)求常数p 的值； (2)求数列{}n a 的通项公式； (3)记423
n
n n S b n =
⋅+，求数列{}n b 的前n 项和n T . 23．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为cos 2,
sin ,x r y r αα=+⎧⎨=⎩
（α为参数），以坐标
原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线l 的极坐标方程为3
πθ=.
（1）求曲线C 的极坐标方程；
（2）当02r <<时，若曲线C 与射线l 交于,A B 两点，求
11
OA OB
+的取值范围. 24. 已知函数()()21
ln 112
f x x x ax a x =-+-+(其中a ∈R )，且曲线()y f x =在1x =处的切线与x 轴平行. （1）求a 的值； （2）求()f x 的单调区间；
（3）若122x x +=，试比较()()12f x f x +与1的大小关系．
河北辛集中学2020级高三上学期第二次阶段考试
高三数学（理科）试卷答案
一、1-5．BCACD 6-10．ACADC 11-16．DBDDDB
16.当()0,x e ∈时，函数()f x 的值域为11,54⎡⎫
⎪⎢
⎣⎭
.由()11'ax g x a x x -=-=可知：当0a ≤时，()'0g x <，与题意不符，故0a >.令()'0g x =，得1x a =
，则()1
0,e a
∈，所以()min 11ln g x g a a ⎛⎫
==+ ⎪⎝⎭
，作出函数()g x 在()0,e 上的大致图象如图所示，观察可知
()111415
lna g e ae ⎧+<⎪⎨
⎪=-≥⎩
，解得746
a e e ≤<.
故选：B 二、17．
5
16
18． 19. 20．8
三、21．解：（1）∵73
B b AB
C π
=
=V ，，的面积33
S =
， ∴
33=12ac sin B =3
ac ，可得：ac =6， ∵由余弦定理b 2=a 2+c 2-2ac cos B ，可得：7=a 2+c 2-ac =（a +c ）2-3ac =（a +c ）2-18， 解得：a +c =5．................................6分 （2）∵2cos C （BA BC ⋅u u u r u u u r +AB AC ⋅u u u r u u u r
）=c 2，
∴2cos C （ac cos B +bc cos A ）=c 2
，可得：2cos C （a cos B +b cos A ）=c ，
∴由正弦定理可得：2cos C （sin A cos B +sin B cos A ）=sin C ，即2cos C sinC=sin C ， ∵sin C ≠0， ∴cos C =
12
， ∵C ∈（0，π）， ∴C =
3
π
．.............................12分
22．解：(1)由及，得：，
∴...........................................2分
(2)由
①，得
②
由②－①，得， 即：，
∴
，
由于数列各项均为正数，∴，即，
∴数列是首项为1，公差为的等差数列， ∴数列
的通项公式是
.............................................7分
(3)由，得：，∴， (9)
分 ∴
，
...........................................12分
23．（1）曲线C 的普通方程为：()2
222x y r -+=, 令,x cos y sin ρθρθ==，
化简得
22
440cos r ρρθ-+-=；...........................................6分 （2）把222403
C r π
θρρ=
-+-=代入曲线的极坐标方程中，得
令(
)2
2
4440,34r
r
∆=-->∴<<
方程的解12,ρρ分别为点,A B 的极径，2
12122,40r ρρρρ+==->
122
1212111124OA OB r ρρρρρρ+∴
+=+==-， 2234,041r r <<∴<-<Q ，
()11
2,OA OB
∴
+∈+∞............................................12分
24. （1）()()ln 2f x x ax a '=-+-----------1分 由题意得()10f '=----------2分
则1a =，且验证()10f ≠，所以1a =成立----------4分
（2）由（1）得：()21ln 12
f x x x x =-+，定义域为()0,+∞，---------5分 令()
g x =()ln 1f x x x '=-+ 则()1
(1)0,1g g x x
'==
----------6分 当()0,1x ∈时，()0g x '> 当()1,x ∈+∞时，()0g x '< 则()g x 的最大值为()10
g =
则对于任意的()0,x ∈+∞，都有()0f x '≤---------7分
()f x 的单调递减区间为()0,+∞---------8分 （3）()21ln 12
f x x x x =-+．
由122x x +=得，212x x =-，()()()()1211121f x f x f x f x +-=+--．9分 令()()()21F x f x f x =+--=()()2ln 2ln 221x x x x x x +---+-，02x <<．
()F x '=()ln ln 222x x x ---+，10分
令()()G x F x '=，()()()
2
2111
222x G x x x x x -'=+-=--．
当02x <<时，()0G x '≥，()G x 单调递增，即()F x '单调递增．12分
又()10F '=，所以当01x <≤时，()0F x '≤，()F x 单调递减；当12x <<时，()0F x '>，
()F x 递增．
所以()()min 10F x F ==，即()0F x ≥，所以()()121f x f x +≥．14分。