八年级数学下册 第四章 相似图形教案 北师大版 教案

第四章相似图形
§1 线段的比
教学目标
知识目标
1、结合现实情境了解线段的比和成比例线段。

2、理解并掌握比例的性质及其简单应用。

能力目标通过现实情境，进一步发展学生从数学的角度提出问题、分析问题和解决问题的能力，培养学生的数学应用意识，体会教学与自然、社会的密切联系
德育目标
培养学生学习数学的兴趣及理论联系实际的能力
重点难点
线段比的概念及其求解
教具媒体
多媒体
教材分析
本节通过具体问题的情境，使学生认识线段的比和成比例线段等概念，并利用引入比值k的方法研究比例的主要性质，为后续学习奠定基础
1、新课引入
创设一个恰当的问题情境，促进学生自觉地认识现实中的比例模型，在解决问题的氛围中了解线段的比
引入比值k 的方法是解决比例问题的一种重要方法，事实上，利用这种方法，可以很方便地推导出比例的性质
通过本例与学生一起探讨线段比的应用：在已知比例尺（线段比的情况下，知道图上长度可求实际长度；求法类似解分式方程。

利用powerpoint打出图片，并结合图片给出问题：
（1）如果把大树和小颖的高分别看成如图4 -1所示的两条虚线段AB，CD，那么这两条线段的长度比是多少？（2）已知小颖的身高是1.6m，大树的实际高度是多少？
两条线段长度的比与所采用的长度单有没有关系？
通过思考、交流，引导学生得出：线段的长度比与所采用的长度单位无关如果选用一个长度单位量得两条线段AB，CD的长度分别是m、n，那么就说这两条线段的比AB：CD=m：n，或
写成
CD
AB
=
n
m
.其中，线段AB：CD分别叫做这个线段比的前项和后项.如果把
n
m
表示成比值k，那么
CD
AB
=k，或AB=k·CD
此处对线段比的前项、后项概念作进一步解析。

例1在某市城区地图（比例尺1：9000）上，新安大街的图上长度与光华大街的图上长度分别是16cm，10cm. （1）新安大街与光华大街的实际长度各是多少米？
（2）新安大街与光华大街的图上长度之比是多少？它们的实际长度之比呢？
解：（1）根据题意，得
9000
1
9000
1
=
=
光华大街的实际长度
光华大街的图上长度
新安大街的实际长度
新安大街的图上长度
学生结合课本进行测量、计算、讨论、交流，尽量给出答案
学生交流、探讨
学生自学，了解“两条线段的比”的概念
注意将本题与所学地理学科进行联系
实际长度之比等于图上长度之比，这一结论以后可以直接使用
为成比例线段埋下伏笔
随堂练习因此，新安大街的实际长度是
16×9000=144000（cm），
144000cm=1440m
光华大街的实际长度是
10×9000=90000（cm）
90000cm=900m
（2）新安大街与光华大街的图上长度之比是
16：10=8：5
新安大街与光华大街的实际长度使比是
14400：90000=8：5
1、在比例尺为1：8000的某学校地图上，矩形运动场的图上尺寸是1cm×2cm，矩形运动场的实际尺寸是多少？
2、生活中还有哪些利用线段比的事例？
注意单位的换算
注意体会利用所求得的结论推导出有用结论
学生计算回答
通过此问题回答，紧密联系生活
课堂小结
本节通过具体问题的情境，使学生认识线段的比的概念，并利用引入比值k的方法研究比例的方法，应熟练掌握线段比的概念以及它们在实际中的运用。

作业 A
习题4.1--------------1、2、3
B
目标检测
§4.2 黄金分割
教学目标
（一）教学知识点
1.知道黄金分割的定义.
2.会找一条线段的黄金分割点.
3.会判断某一点是否为一条线段的黄金分割点.
（二）能力训练要求
通过找一条线段的黄金分割点，培养学生的理解与动手能力.
（三）情感与价值观要求
理解黄金分割的意义，并能动手找到和制作黄金分割点和图形，让学生认识数学与人类生活的密切联系对人类历史发展的作用.
教学重点
了解黄金分割的意义，并能运用.
教学难点
找黄金分割点和画黄金矩形.
教学方法
讲解法
教具准备
投影片一张：（记作§4.2 A）
教学过程
Ⅰ.创设问题情境，引入新课
图4－6
［师］生活中我们见到过许许多多的图形，形态各异，美观大方.那么这些漂亮的图形你能画出来吗？比如，右图是一个五角星图案，如何找点C把AB分成两段AC和BC，使得画出的图形匀称美观呢？本节课就研究这个问题.
Ⅱ.讲授新课
［师］在五角星图案中，大家用刻度尺分别度量线段AC、BC的长度，然后计算
AB
AC
、
AC
BC
,它们的值相等吗？
［生］相等.
［师］所以
AC
BC
AB
AC
=.
1.黄金分割的定义
在线段AB上，点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果
AC
BC
AB
AC
=,那么称线段AB被点C黄金分割
（golden section）,点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比.其中
AB
AC
≈0.618.
投影片（§4.2 A）
黄金分割在几何作图上有很多应用，如五角星形的各边是按黄金分割划分的，其中点C就是线段AB的一个黄金分割点.作圆的内接正十边形也能归结为黄金分割.
黄金分割也被广泛用在建筑设计、美术、音乐、艺术等方面.如在设计工艺品或日用品的宽和长时，常设计成宽与长的比近似为0.618,这样易引起美感；在拍照时，常把主要景物摄在接近于画面的黄金分割点处，会显得更加协调、悦目；舞台上报幕员报幕时总是站在近于舞台的黄金分割点处，这样音响效果就比较好，而且显得自然大方，等等.
黄金分割在工厂里也有着普遍的应用.如“优选法”中常用的“0.618法”就是黄金分割的一种应用.
［师］既然黄金分割的实用价值这么大，我们就必须把它学好，还要用好，下面我们来学习如何找一条线段的黄金分割点.
2.作一条线段的黄金分割点.
图4－7
如图，已知线段AB ，按照如下方法作图： （1）经过点B 作BD ⊥AB ，使BD =
2
1
AB . （2）连接AD ，在DA 上截取DE =DB .
（3）在AB 上截取AC =AE .则点C 为线段AB 的黄金分割点. ［师］你知道为什么吗？
若点C 为线段AB 的黄金分割点，则点C 分线段AB 所成的线AC 、BC 间须满足AC
BC
AB AC =
.下面请大家进行验证.自己有困难时可以互相交流.为了计算方便，可设AB =1.
证明：∵AB =1,AC =x ,BD =21AB =2
1 ∴AD =x +
2
1
在Rt △ABD 中，由勾股定理，得
（x +21）2=12+（21）2
∴x 2
+x +41=1+4
1
∴x 2
=1－x ∴x 2=1·（1－x ）
∴AC 2
=AB ·BC
即：AC
BC AB AC =
即点C 是线段AB 的一个黄金分割点， 在x 2
=1－x 中 整理，得x 2
+x －1=0 ∴x =
2
5
12411±-=
+±- ∵AC 为线段长，只能取正 ∴AC =
2
1
5-≈0.618 ∴AB
AC
≈0.618 ∴黄金比约为0.618.
3.想一想
图4－8
古希腊时期的巴台农神庙（Parthenom Temple ）.把它的正面放在一个矩形ABCD 中，以矩形ABCD 的宽
AD 为边在其内部作正方形AEFD ，那么我们可以惊奇地发现，BC
AB
BE BC =
,点E 是AB 的黄金分割点吗？矩形ABCD 的宽与长的比是黄金比吗？
［师］请大家互相交流.
［生］因为四边形AEFD 是正方形，所以AD =BC =AE ,又因为BC AB BE BC =,所以AE AB BE AE =,即AE
BE
AB AE =
,因此点E 是AB 的黄金分割点，矩形ABCD 宽与长的比是黄金比.
［师］在上面这个矩形中，宽与长的比是黄金比，这个矩形叫做黄金矩形.你学会作了吗？ Ⅲ.随堂练习
1.解：设AB =a ,根据题意，得
AE =
2
a
, 由勾股定理，得
EF =EB =22AE AB ++ =4
2
2
a a +
=
2
5
a ∴AF =AH =BE －AE =21
5-a BH =AB －AH =a －a a 2
5
3215-=-
∴
=AB
AH
2
1521
5-=
-a a
21
51
55321525
3-=
--=--=a a
AH BH ∴AH
BH AB AH = ∴点H 是AB 的黄金分割点. Ⅳ.课时小结
本节课学习了：1.黄金分割点的定义及黄金比. 2.如何找一条线段的黄金分割点，以及会画黄金矩形. 3.能根据定义判断某一点是否为一条线段的黄金分割点. Ⅴ.课后作业 习题4.3 Ⅵ.活动与探究
要配制一种新农药，需要兑水稀释，兑多少才好呢？太浓太稀都不行.什么比例最合适，要通过试验来确定.如果知道稀释的倍数在1000和2000之间，那么，可以把1000和2000看作线段的两个端点，选择AB 的黄金分割点C 作为第一个试验点，C 点的数值可以算是1000+（2000－1000）×0.618=1618.试验的结果，如果按1618倍，水兑得过多，稀释效果不理想，可以进行第二次试验.这次的试验点应该选AC 的黄金分割点D ，
D 的位置是1000+（1618－1000）×0.618，约等于1382，如果D 点还不理想，可以按黄金分割的方法继续试
验下去.如果太浓，可以选DC 之间的黄金分割点；如果太稀，可以选AD 之间的黄金分割点，用这样的方法，可以较快地找到合适的浓度数据.
这种方法叫做“黄金分割法”.用这样的方法进行科学试验，可以用最少的试验次数找到最佳的数据，既节省了时间，也节约了原材料.
板书设计
§4.3 形状相同的图形
教学目标
（一）教学知识点
在诸多图形中能找出形状相同的图形，并能画形状相同的图形.
（二）能力训练要求
通过找形状相同的图形，培养学生的观察能力；通过画形状相同的图形，训练大家的动手能力.同时，同学间还要互相合作交流，锻炼了大家的合作交流能力.
（三）情感与价值观要求
通过认识和动手画形状相同的图形，使学生掌握基本的识图、作图技能.丰富对现实空间及图形的认识，建立初步的空间观念，发展形象思维.
教学重点
认识和会画形状相同的图形.
教学难点
会画形状相同的图形.
教学方法
主动探索加合作交流法
教具准备
投影片三张
第一张（记作§4.3 A）
第二张（记作§4.3 B）
第三张（记作§4.3 C）
教学过程
Ⅰ.创设问题情境，引入新课
［师］到目前为止，我们已接触过很多图形，有规则的，也有不规则的；有形状相同的，也有形状不相同的，本节课我们就来研究形状相同的图形.
Ⅱ.新课讲解
1.观察图形找特点（投影片§4.3 A）
［师］请看课本102页，回答下列问题
（1）如图（1）同一张底片洗出的不同尺寸的照片中，人物的形状改变了吗？
（2）如图（2），两个足球的形状相同吗？它们的大小呢？
（3）如图（3），两个正方体物体的形状相同吗？
（4）如图（4），复印前后纸上对应图形之间分别有什么关系？
［生］（1）同一张底片洗出的不同尺寸的照片中，人物的形状没有改变，只是大小不同；
（2）两个足球的形状相同，大小不同；
（3）两个正方体物体的形状相同；
（4）复印前后纸上对应图形之间形状相同，大小不同.
［师］大家从刚才看到的四对图形中，发现每一对图形中有什么特点呢？
［生］每对图形形状相同，大小不同.
［师］对，每对图形都是形状相同的图形，从上面的图形中我们大概了解了形状相同的图形的特点，下面我们通过观察，找出形状相同的图形.
2.找形状相同的图形
投影片（§4.3 B）
在实际生活和数学学习中，我们常常会看到许多形状相同的图形，请从下图中找出形状相同的图形.
［生］（1）与（3）；（2）与（13）；（4）与（11）；（5）与（10）；（6）、（7）、（8）、（9）分别是形状相同的图形.
3.画形状相同的图形
做一做
投影片（§4.3 C）
利用下面的方法可以近似地将一个图形放大：
1.将2个长短相同的橡皮筋系在一起.
2.选取一个图形，在图形外取一个定点.
3.将系在一起的橡皮筋的一端固定在定点，把一枚铅笔固定在橡皮筋的另一端.
4.拉动铅笔，使2个橡皮筋的结点沿所选图形的边缘运动，当结点在已知图形上运动一圈时，铅笔就画出了一个新的图形.
这个新图形与已知图形形状相同.
［师］请看课本52页中按上述步骤画出的图形.下面请大家自己确定一个图形，然后按照上述步骤画形状相同的图形.
如：
图4－9
Ⅲ.课堂练习
1.解：（1）在直角坐标系中描出点O（0，0），A（1，2），B（2，4），C（3，2），D（4，0），先用线段顺次连接点O，A，B，C，D，然后用线段连接A，C两点，得到了字母A的图形，如图4－10.
图4－10
（2）填表1如下：
表1
（x,y）O（0,0）A（1,2）B（2,4）C（3,2）D（4,0）（2x,y）O1（0,0）A1（2,2）B1（4,4）C1（6,2）D1（8,0）分别连接O1A1，A1B1，B1C1，C1D1，A1C1得下图.
图4－11
得到的图形还是字母A.
填写表2如下：
表2
（x,y）O（0,0）A（1,2）B（2,4）C（3,2）D（4,0）（x,2y）O2（0,0）A2（1,4）B2（2,8）C2（3,4）D2（4,0）连接如下图
图4－12
所得图形还是字母A. 填写表3如下：
表3
（x ,y ） O （0,0） A （1,2） B （2,4） C （3,2） D （4,0） （2x ,2y ）
O 3（0,0）
A 3（2,4）
B 3（4,8）
C 3（6,4）
D 3（8,0）
连接如下图
图4－13
得到的图形还是字母A .
（3）在上述所得图形中，第1个图形和第4个图形形状相同. Ⅳ.课后作业 习题4.4 Ⅴ.课时小结
本节课我们认识了形状相同的图形，并能找出形状相同的图形，还学习了如何画形状相同的图形. Ⅵ.活动与探究
从上题的第1图和第4图中可知.
OB =52204222==+=BD AC =2
O 3B 3=5454808422===+=B 3D 3 A 3C 3=4
∴O 3B 3=2OB A 3C 3=2AC B 3D 3=2BD
由此可知：形状相同的图形中，对应线段成比例.
如△ABC 与△A ′B ′C ′形状相同，其AB =2 cm,BC =4 cm,A ′B ′=4 cm ，求B ′C ′. 解：因为形状相同的图形中对应线段成比例，所以C B BC
B A AB '
'=
'' 即
C B '
'=
4
42 所以B ′C ′=8 cm. 板书设计
§4.3 形状相同的图形 一、1.观察图形找特点. 2.找形状相同的图形.
3.画形状相同的图形（做一做）. 二、课堂练习
三、课时小结 四、课后作业。