高一数学必修第一册2019(A版)_《函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换和应用》教学设计二

《函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换和应用》教学设计
教学设计
一、导入新课
做简谐运动的单摆对平衡位置的位移y 与时间x 的关系、交流电的电流y 与时间x 的关系等都是形如sin()y A x ωϕ=+的函数，这种函数我们称为正弦型函数.那么怎样画正弦型函数的图象呢？正弦型函数又有什么性质呢？这节课我们来学习相关内容.
二、新知探究
如何用“五点法”画出sin()y A x ωϕ=+的图象呢？ 教师提出问题，出示例题：
例1 用“五点法”画出2sin 23x y π⎛⎫
=+ ⎪⎝⎭在一个周期内的简图.
学生回顾相关内容，找出五点，求出x 的值.
分析：先选点，再列表，最后描点画图.
解：令0x π+=，π，π，3π
，2π，分别求出x ，列表：
描点画图如下：
归纳总结：
用“五点法”画出sin()y A x ωϕ=+的图象的步骤：
（1）列表.先由0x ωϕ+=，2π，π，32π
，2π分别求出x ，再由x ωϕ+的值
求出y 的值，列出下表：
（2）在直角坐标系中描出各点.
（3）用光滑曲线连接这些点，得到一个周期内的图象. （4）利用函数的周期性，通过左右平移得到整个图象. 三、例题讲解
例2 已知函数sin()(0,0)y A x A ωϕω=+>>在一个周期内的图象如图所示，求该函数的一个解析式.
教师提问：（1）要确定函数解析式，就是要确定三角函数的哪些参数？ （2）谁能说说这个图象有什么特点？周期是多少？振幅呢？
又0A >，所以A =由图象知52632T πππ=-=，2T π
πω
∴==，2ω∴=.
又15723612
πππ
⎛⎫+= ⎪⎝⎭，
∴图象上的最高点为712π⎛ ⎝， 7
212πϕ⎛⎫=⨯+ ⎪⎝⎭，即7sin 16πϕ⎛⎫
+= ⎪⎝⎭
，可取23πϕ=-，故函数的一
个解析式为223y x π⎛
⎫=-
⎪⎝
⎭
.
方法二（“五点”对应法）：由图象知A =又图象过点,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭，5,06π⎛⎫
⎪⎝⎭
，
根据“五点”画图法原理（以上两点可判断为“五点”画图法中的第一点与第三点），得
0,35,6
π
ωϕπωϕπ⎧⋅+=⎪⎪⎨⎪⋅+=⎪⎩解得：2,2.3ωπϕ=⎧⎪
⎨
=-⎪⎩
故函数的一个解析式为223y x π⎛⎫=-
⎪⎝
⎭
. 方法三（图象变换法）：
由图可知A ，52632T πππ=-=，2T π
πω
∴==，
2ω∴=.
∴
该函数的图象可由2y x 的图象向右平移3
π
个单位长度得到，
故所求函数的一个解析式为23y x π⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭
，即223y x π⎛⎫=-
⎪⎝⎭
. 点评：由图象求得sin()(0,0)y A x A ωϕω=+>>的解析式一般不唯一，需要限定ϕ的取值范围，才能得到唯一的函数解析式.
例3 设函数()sin sin 62f x x x ππωω⎛⎫⎛
⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭，其中05ω<<，已知
06f π⎛⎫
= ⎪⎝⎭
. （1）求ω；
（2）将函数()y f x =的图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移
4
π
个单位长度，得到函数()y g x =的图象，求()g x 在3,44ππ⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
上的取值范围. 教师提问：（1）这个函数解析式有什么特点？你能直接求出ω的值吗？ （2）如何将这个函数解析式进行化简呢？化简后能得到什么形式？ （3）()y g x =的解析式是如何得到的？
分析：（1）利用三角恒等变换化简函数的解析式，由06f π⎛⎫
= ⎪⎝⎭，求得ω，
可得函数的解析式.
（2）利用函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律求得()g x 的解析式，再利用
正弦函数的定义域和值域求得()g x 在3,44ππ⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
上的取值范围.
解：（1）函数1()sin sin cos cos 6222f x x x x x x
ππωωωωω⎛⎫⎛
⎫=+++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
3x πω⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭，其中05ω<<.
已知066
3f πωππ⎛⎫⎛⎫
=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，63k ωπππ∴+=，k ∈Z ，即62k ω=-，k ∈Z ，
4ω∴=，()43f x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭.
（2）将函数()43y f x x π⎛
⎫==+ ⎪⎝⎭的图象上各点的横坐标伸长为原来的
4倍（纵坐标不变），可得3y x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭的图象.
再将得到的图象向右平移
4
π
个单位长度，得到函数
()4312y g x x x πππ⎛⎫⎛
⎫==-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭的图象.
在3,44ππ⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦上，5,1266x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，1sin ,1122x π⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，
()g x ⎡∈⎢⎣，
即()g x 的取值范围为⎡⎢⎣. 点评：本题主要考查三角恒等变换，函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律，正弦型函数的定义域和值城.
例4 摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色.如图所示，某摩天轮最高点距离地面高度为120 m ，转盘直径为110 m ，设置有48个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要30 min.
（1）游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动t min 后距离地面的高度为H m ，求在转动一周的过程中，H 关于t 的函数解析式；
（2）求游客甲在开始转动5 min 后距离地面的高度；
（3）若甲、乙两人分别坐在两个相邻的座舱里，在运行一周的过程中，求两人距离地面的高度差h （单位：m ）关于t 的函数解析式，并求高度差的最大值（精确到0.1）.
分析：摩天轮上的座舱运动可以近似地看作是质点在圆周上做匀速旋转.在旋转过程中，游客距离地面的高度H 呈现周而复始的变化，因此可以考虑用三角函数来刻画.
解：如图所示，设座舱距离地面最近的位置为点P ，以轴心O 为原点，与地面平行的直线为x 轴建立直角坐标系.
（1）设0t = min 时，游客甲位于点(0,55)P -，以OP 为终边的角为2
π
-；根
据摩天轮转一周大约需要30 min ，可知座舱转动的角速度约为15
π
rad/min ，由题意可得
55sin 6515
2H t π
π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，030t .
（2）当5t =时，
55sin 56537.515
2H π
π⎛⎫=⨯-+= ⎪⎝⎭.
所以，游客甲在开始转动5 min 后距离地面的高度约为37.5m.
（3）如图所示，甲、乙两人的位置分别用点A ，B 表示，则24824
AOB ππ
∠=
=，经过t min 后甲距离地面的高度为155sin 6515
2H t π
π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，点B 相对于点A 始
终落后
24πrad ，此时乙距离地面的高度为21355sin 651524H t π
π⎛⎫
=-+ ⎪⎝⎭
.则甲、
乙距离地
面
的
高
度
差
121355sin sin 15215
24h H H t t πππ
π⎛⎫⎛⎫=-=--- ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭1355sin sin 1522415t t ππππ⎛⎫⎛⎫
=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，
利用sin sin 2sin cos 22θϕθϕθϕ+-+=⋅，可得 110sin
sin 481548h t π
π
π⎛⎫=- ⎪⎝⎭
，030t . 当
15
48
2t π
π
π
-
=
或32π⎛⎫
⎪⎝⎭
，即7.8t ≈（或22.8）时，h 的最大值为110sin 7.248π≈. 所以，甲、乙两人距离地面的高度差的最大值约为7.2 m. 练习：教材第241页习题5.6第6题. 四、课堂小结
教师引导学生反思学习过程，概括本节所学内容. 学生思考、讨论，并阐述思想方法. 教师作适当点评、补充. 五、布置作业
1.教材第241页习题5.6第4，5题.
2.选做题：教材第241页习题5.6第7题.
例3 设函数()sin sin 62f x x x ππωω⎛⎫⎛
⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭，其中05ω<<，已知
06f π⎛⎫
= ⎪⎝⎭
. （1）求ω；
（2）将函数()y f x =的图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移
4
π
个单位长度，得到函数()y g x =的图象，求()g x 在3,44ππ⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
上的取值范围
例4 练习
四、课堂小结 五、布置作业
教学研讨
1.“图象变换法”和“五点法”是画函数sin()y A x ωϕ=+的图象的两种基本方法，用“图象变换法”画图比较精确，但是不易操作，最好能借助计算机；而用“五点法”画图易于操作，但是画的图不够精确，适合画简图.
2.数形结合是本节最重要的数学思想方法，另外化归思想、整体思想本节内容也有涉及，应引导学生认真体会和总结.
3.对余弦型函数、正切型函数教材中没有涉及，教师应引导学生用类比的方法去探究.。