福建省莆田二十四中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷(理科)

福建省莆田二十四中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷（理科）
一.选择题（共11小题，每小题5分，共50分．）
1．（5分）检查汽车排放尾气的合格率，其环保单位在一路口随机抽查，这种抽样是（）
A．简单随机抽样B．随机数表法C．系统抽样D．分层抽样
2．（5分）计算机执行如图的程序段后，输出的结果是（）
A．1，3 B．6，0 C．0，0 D．4，1
3．（5分）在100件产品中，有3件是次品，现从中任意抽取5件，其中至少有2件次品的取法种数为（）
A．B．
C．D．
4．（5分）如图，在正方形内有一扇形（见阴影部分），扇形对应的圆心是正方形的一顶点，半径为正方形的边长．在这个图形上随机撒一粒黄豆，它落在扇形外正方形内的概率为（）（用分数表示）
A．B．C．1﹣D．
5．（5分）从6名学生中选出4人分别从事A、B、C、D四项工作，若其中甲乙两人不能从事工作A，则不同的选派方案有（）
A．96种B．180种C．240种D．280种
6．（5分）某大学自主招生面试环节中，七位评委为考生A打出的分数如茎叶图所示，统计员在去掉一个最高分和一个最低分后，算得平均分为85，复核员在复核时，发现有一个数字（茎叶图中的x）无法看清，若统计员计算无误，则数字x应该是（）
A．5B．6C．7D．9
7．（5分）设随机变量X服从二项分布B（6，），则P（X=3）等于（）
A．B．C．D．
8．（5分）从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，则所选3人中至少有1名女生的概率是（）
A．B．C．D．
9．（5分）如图给出的是计算+++…+的值的一个流程图，其中判断框内应填入的条件是（）
A．i＞11 B．i＜10 C．i≥10 D．i＞10
10．（5分）在（a+b）n展开式中，若第14项与第15项的二项式系数之比为1：2，则二项式系数最大的项是（）
A．第17项B．第18项
C．第20项或第21项D．第21项或第22项
11．设（x2+1）（2x+1）9=a0+a1（x+2）+a2（x+2）2+…+a11（x+2）11，则a0+a1+a2+…+a11的值为（）A．﹣2 B．﹣1 C．1D．2
二.填空题（本大题共有5小题，每小题4分，共20分.）
12．（4分）A、B、C、D、E五人并排站成一排，若A，B必须相邻，那么不同的排法共有种．13．（4分）已知超几何分布满足X～H（8，5，3），则P（X=2）=．
14．（4分）把“五进制”数1234（5）转化为“四进制”数的末尾数是．
15．（4分）如图，它满足①第n行首尾两数均为n，②表中的递推关系类似杨辉三角，则第n行（n≥2）第2个数是．
16．（4分）在区间上随机取两个数，则这两个数之和小于的概率为．
三.解答题：（本大题共6题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
17．（13分）甲、乙等6人按下列要求占成一排，分别有多少种不同站法？
（1）甲乙不相邻；
（2）甲乙之间恰好相隔两人；
（3）甲不站在最左边，乙不站在最右边．
18．（13分）在生产过程中，测得纤维产品的纤度（表示纤维粗细的一种量）共有100个数据，将数据分组如右表：
分组频数
1.34，1.38）24
1.42，1.46）20
1.50，1.54） 4
合计100
（1）画出频率分布直方图；
（2）从频率分布直方图估计出纤度的众数、中位数和平均数．
19．（13分）某种产品的广告费支出x与销售额y（单位：百万元）之间有如下对应数据：
x 2 4 5 6 8
y 30 40 50 60 70
（1）画出散点图；
（2）求线性回归方程；
（3）预测当广告费支出为7百万元时的销售额．参考公式：
．
20．（13分）在含有3件次品的10件产品中，任取3件，试求：
（1）取到的次品数X的分布列；
（2）至少取到1件次品的概率．
21．（14分）已知的展开式中，所有项的二项式系数之和为1024．
（1）求n的值；
（2）求展开式中的常数项；
（3）求展开式中含有理项的个数．
22．（14分）某射击测试规则为：每人最多射击3次，击中目标即终止射击，第i次击中目标得1～i（i=1，2，3）分，3次均未击中目标得0分．已知某射手每次击中目标的概率为0.8，其各次射击结果互不影响．
（Ⅰ）求该射手恰好射击两次的概率；
（Ⅱ）该射手的得分记为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望．
福建省莆田二十四中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一.选择题（共11小题，每小题5分，共50分．）
1．（5分）检查汽车排放尾气的合格率，其环保单位在一路口随机抽查，这种抽样是（）
A．简单随机抽样B．随机数表法C．系统抽样D．分层抽样
考点：收集数据的方法．
专题：规律型；概率与统计．
分析：根据简单随机抽样的定义，即可得出结论．
解答：解：检查汽车排放尾气的合格率，其环保单位在一路口随机抽查，这种抽样是简单随机抽样．
故选：A．
点评：本题考查简单随机抽样，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．
2．（5分）计算机执行如图的程序段后，输出的结果是（）
A．1，3 B．6，0 C．0，0 D．4，1
考点：顺序结构．
专题：算法和程序框图．
分析：执行程序，依次写出得到的a，b的值即可．
解答：解：执行程序，有
a=1
b=3
a=4
b=1
输出a的值为4，b的值为1．
故选：D．
点评：本题主要考察了程序框图和算法，属于基础题．
3．（5分）在100件产品中，有3件是次品，现从中任意抽取5件，其中至少有2件次品的取法种数为（）
A．B．
C．D．
考点：排列、组合的实际应用．
专题：计算题．
分析：根据题意，“至少有2件次品”可分为“有2件次品”与“有3件次品”两种情况，由组合数公式分别求得两种情况下的抽法数，进而相加可得答案．
解答：解：根据题意，“至少有2件次品”可分为“有2件次品”与“有3件次品”两种情况，
“有2件次品”的抽取方法有C32C973种，
“有3件次品”的抽取方法有C33C972种，
则共有C32C973+C33C972种不同的抽取方法，
故选B．
点评：本题考查组合数公式的运用，解题时要注意“至少”“至多”“最少”“最少”等情况的分类讨论．
4．（5分）如图，在正方形内有一扇形（见阴影部分），扇形对应的圆心是正方形的一顶点，半径为正方形的边长．在这个图形上随机撒一粒黄豆，它落在扇形外正方形内的概率为（）（用分数表示）
A．B．C．1﹣D．
考点：几何概型．
分析：本题考查的知识点是几何概型的意义，关键是要求出阴影部分的面积及正方形的面积．先令正方形的边长为a，则S正方形=a2，则扇形所在圆的半径也为a，则S扇形=，从而结合几何概型的计算公式即可求得黄豆落在阴影区域内的概率．
解答：解：令正方形的边长为a，则S正方形=a2，
则扇形所在圆的半径也为a，则S扇形=
则黄豆落在阴影区域内的概率P=1﹣=1﹣
故选A．
点评：几何概型的概率估算公式中的“几何度量”，可以为线段长度、面积、体积等，而且这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关．解决的步骤均为：求出满足条件A的基本事件对应的“几何度量”N（A），再求出总的基本事件对应的“几何度量”N，最后根据P=求解．
5．（5分）从6名学生中选出4人分别从事A、B、C、D四项工作，若其中甲乙两人不能从事工作A，则不同的选派方案有（）
A．96种B．180种C．240种D．280种
考点：排列、组合及简单计数问题．
专题：概率与统计．
分析：用间接法：从6名学生中选出4人分别从事A、B、C、D四项工作，有种不同的选派方案．其中当选派的甲从事工作A或乙从事工作A时，共有种不符合条件，要去掉．即可得到．解答：解：从6名学生中选出4人分别从事A、B、C、D四项工作，有种不同的选派方案．其中当选派的甲从事工作A或乙从事工作A时，共有种不符合条件，要去掉．
因此不同的选派方案有=﹣=240种．
故选C．
点评：本题考查了排列与组合的应用，正确理解其意义和使用间接法是解题的关键．
6．（5分）某大学自主招生面试环节中，七位评委为考生A打出的分数如茎叶图所示，统计员在去掉一个最高分和一个最低分后，算得平均分为85，复核员在复核时，发现有一个数字（茎叶图中的x）无法看清，若统计员计算无误，则数字x应该是（）
A．5B．6C．7D．9
考点：茎叶图．
专题：概率与统计．
分析：利用茎叶图，结合平均数的大小计算出x的值即可．
解答：解：若x≤2，则去掉的两个数为93和80+x，此时剩余83，84，82，85，87，则平均数为85+＜85不成立．
如x＞2，则去掉的两个数为93和82，则x=85×5﹣83﹣84﹣85﹣87﹣80=6．
故选B．
点评：本题主要考查茎叶图的应用，以及平均数的计算，比较基础．
7．（5分）设随机变量X服从二项分布B（6，），则P（X=3）等于（）
A．B．C．D．
考点：二项分布与n次独立重复试验的模型．
专题：计算题．
分析：根据条件中所给的变量符合二项分布，写出变量取值不同时对应的概率公式，本题x=3，代入公式得到要求的概率．
解答：解：∵随机变量X服从二项分布B（6，），
∴P（X=3）=C36（）3×（1﹣）3=．
故选A
点评：本题考查二项分布与n次独立重复试验的模型，是一个基础题，这种题目可以出现在选择或填空中，是一个送分题目．
8．（5分）从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，则所选3人中至少有1名女生的概率是（）
A．B．C．D．
考点：等可能事件的概率；互斥事件与对立事件．
专题：计算题．
分析：试验发生包含的事件是从6个人中选3个，共有C63种结果，满足条件的事件是所选3人中至少有1名女生，它的对立事件是所选的三人中没有女生，有C43种结果，根据对立事件的概率公式得到结果．
解答：解：由题意知本题是一个等可能事件的概率，
试验发生包含的事件是从6个人中选3个，共有C63=20种结果，
满足条件的事件是所选3人中至少有1名女生，它的对立事件是所选的三人中没有女生，
有C43=4种结果，
∴要求的概率是1﹣=
故选C．
点评：本题考查等可能事件的概率，本题解题的关键是一个实验若正面比较麻烦可以从对立事件来考虑．
9．（5分）如图给出的是计算+++…+的值的一个流程图，其中判断框内应填入的条件是（）
A．i＞11 B．i＜10 C．i≥10 D．i＞10
考点：程序框图．
专题：算法和程序框图．
分析：由流程图可写出每一次循环得到的i，s的值，将s的值与+++…+比较，即可确定退出循环的条件．
解答：解：由流程图知，
s=0，
第1次循环有i=1，s=，
第2次循环有i=2，s=；
第3次循环有i=3，s=；
…
第10次循环有i=10，s=+++…+；
第11次循环有i=11，满足判断框内条件，退出循环，输出s的值．
故判断框内应填入的条件是：i＞10．
故选：D．
点评：本题主要考察程序框图和算法，属于基础题．
10．（5分）在（a+b）n展开式中，若第14项与第15项的二项式系数之比为1：2，则二项式系数最大的项是（）
A．第17项B．第18项
C．第20项或第21项D．第21项或第22项
考点：二项式系数的性质．
专题：二项式定理．
分析：由条件利用组合数的计算公式、二项式系数的定义求出n=41，再利用二项式系数的性质可得二项式系数最大的项．
解答：解：由题意可得=•==，∴n=41．
再根据二项式系数的性质可得，第21项或第22项的二项式系数最大，
故选：D．
点评：本题主要考查二项式系数的定义、性质，组合数的计算公式，属于基础题．
11．设（x2+1）（2x+1）9=a0+a1（x+2）+a2（x+2）2+…+a11（x+2）11，则a0+a1+a2+…+a11的值为（）A．﹣2 B．﹣1 C．1D．2
考点：二项式定理的应用．
专题：计算题．
分析：本题由于求的是展开式右边a0+a1（x+2）+a2（x+2）2+…+a11（x+2）11中a0+a1+a2+…+a11的和，所以可以利用赋值的办法令x+2=1，由此将x=﹣1代入展开式即可求出结果为﹣2．
解答：解：令x+2=1，所以x=﹣1，将x=﹣1代入（x2+1）（2x+1）9=a0+a1（x+2）+a2（x+2）2+…+a11（x+2）11得
（﹣2+1）9=a0+a1+a2+…+a11；∴a0+a1+a2+…+a11=2×（﹣1）=﹣2．
所以选A
点评：本题主要考查二项式定理的应用问题，属于基础题型，难度系数为0.7，一般在求有关系数和等问题时，常常借助赋值的办法来加以解决．
二.填空题（本大题共有5小题，每小题4分，共20分.）
12．（4分）A、B、C、D、E五人并排站成一排，若A，B必须相邻，那么不同的排法共有48种．
考点：计数原理的应用．
专题：应用题；排列组合．
分析：A，B两人必须相邻，利用捆绑法与其余3人全排即可．
解答：解：由题意，利用捆绑法，A，B必须相邻的方法数为A22•A44=48种．
故答案为：48
点评：本题主要考查排列与组合及两个基本原理，正确运用捆绑法是关键．
13．（4分）已知超几何分布满足X～H（8，5，3），则P（X=2）=．
考点：超几何分布．
专题：概率与统计．
分析：根据超几何分布得N=8，M=5，n=2，由超几何概率计算公式可得．
解答：解：∵超几何分布满足X～H（8，5，3），
∴P（X=2）==．
故答案为：．
点评：本题主要超几何分布，属于基础题．
14．（4分）把“五进制”数1234（5）转化为“四进制”数的末尾数是2．
考点：进位制．
专题：计算题．
分析：首先把五进制数字转化成十进制数字，用所给的数字最后一个数乘以5的0次方，依次向前类推，相加得到十进制数字，再用这个数字除以4，倒序取余．
解答：解：五进制”数为1234（5）转化为“十进制”数为1×53+2×52+3×51+4=194．
194÷4=48…2，
48÷4=12…0，
12÷4=3…0，
3÷4=0…3，
把余数从下往上排序：3002，
即：（194）10=（3002）4．
其末位数字是2．
故答案为：2．
点评：本小题考查进位制之间的转化，本题涉及到三个进位制之间的转化，实际上不管是什么之间的转化，原理都是相同的，属于基础题．
15．（4分）如图，它满足①第n行首尾两数均为n，②表中的递推关系类似杨辉三角，则第n行（n≥2）第2个数是．
考点：归纳推理．
专题：压轴题；探究型；等差数列与等比数列．
分析：依据“中间的数从第三行起，每一个数等于它两肩上的数之和”则第二个数等于上一行第一个数与第二个数的和，即有a n+1=a n+n（n≥2），再由累加法求解即可．
解答：解：依题意a n+1=a n+n（n≥2），a2=2
所以a3﹣a2=2，a4﹣a3=3，…，a n﹣a n﹣1=n
累加得a n﹣a2=2+3+…+（n﹣1）=
∴
故答案为：
点评：本题考查学生的读图能力，通过三角数表构造了一系列数列，考查了数列的通项及求和的方法，属于中档题．
16．（4分）在区间上随机取两个数，则这两个数之和小于的概率为．
考点：几何概型．
专题：概率与统计．
分析：根据题意，设取出的两个数为x、y，分析可得“0＜x＜1，0＜y＜1”表示的区域为纵横坐标都在（0，1）之间的正方形区域，易得其面积为1，而x+y＜示的区域为直线x+y=下方，且在0＜x＜1，0＜y＜1表示区域内部的部分，分别计算其面积，由几何概型的计算公式可得答案．
解答：解：设取出的两个数为x、y；
则有0＜x＜1，0＜y＜1，其表示的区域为纵横坐标都在（0，1）之间的正方形区域，易得其面积为1，
而x+y＜示的区域为直线x+y=下方，且在0＜x＜1，0＜y＜1表示区域内部的部分，其面积为×=，
则两数之和小于的概率是．
故答案为：
点评：本题考查几何概型的计算，解题的关键在于用平面区域表示出题干的代数关系．
三.解答题：（本大题共6题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
17．（13分）甲、乙等6人按下列要求占成一排，分别有多少种不同站法？
（1）甲乙不相邻；
（2）甲乙之间恰好相隔两人；
（3）甲不站在最左边，乙不站在最右边．
考点：计数原理的应用．
专题：排列组合．
分析：（1）利用插空法，把甲乙两人插入到先排除甲乙之外的4人所形成的5个间隔中，问题得以解决；
（2）利用捆绑法，先选两人和甲乙捆绑在一起，看做一个元素，再和剩余的2个元素进行全排，问题得以解决；
（3）分两类，第一类甲在最右边，第二类，甲不在最右边，根据分类计数原理得．
解答：解：（1）利用插空法，把甲乙两人插入到先排除甲乙之外的4人所形成的5个间隔中，故有=480种，
（2）先选两人和甲乙捆绑在一起，看做一个元素，再和剩余的2个元素进行全排，故有=144种，
（3）分两类，第一类甲在最右边，有=120种，第二类，甲不在最右边，先排甲，再排乙，有=384种，
根据分类计数原理得，甲不站在最左边，乙不站在最右边，有120+384=504种．
点评：本题考查排列知识，先根据已知找到突破口，再以此推出其它位置的人是解题的关键．
18．（13分）在生产过程中，测得纤维产品的纤度（表示纤维粗细的一种量）共有100个数据，将数据分组如右表：
分组频数
1.34，1.38）24
1.42，1.46）20
1.50，1.54） 4
合计100
（1）画出频率分布直方图；
（2）从频率分布直方图估计出纤度的众数、中位数和平均数．
考点：极差、方差与标准差；众数、中位数、平均数．
专题：计算题；作图题；概率与统计．
分析：（1）画出频率分布直方图，注意坐标轴；
（2）由频率分布直方图求出纤度的众数、中位数和平均数．
解答：解：（1）频率分布直方图如下：
（2）从频率分布直方图估计出纤度的众数为=1.40；
中位数为1.38+0.04×=1.4025；
平均数为1.32×0.08+1.36×0.24+1.40×0.32+1.44×0.20+1.48×0.12+1.52×0.04=1.4064．
点评：本题考查了频率分布直方图的作法与众数，中位数，平均数的求法，属于基础题．
19．（13分）某种产品的广告费支出x与销售额y（单位：百万元）之间有如下对应数据：x 2 4 5 6 8
y 30 40 50 60 70
（1）画出散点图；
（2）求线性回归方程；
（3）预测当广告费支出为7百万元时的销售额．参考公式：
．
考点：线性回归方程．
专题：图表型．
分析：（1）直接根据表格数据作出散点图即可；
（2）可以观察到这些点分布在一条直线附近，这样可以计算出，，然后利用最小二乘法得解；（3）要预测当广告费支出为7百万元时的销售额，只需将7代入x即可求出所求．
解答：解：（1）
（2）==5，==50，
=60+160+250+360+560=1390，=4+16+25+36+64=145
∵
∴b=7，a=15，ŷ=7x+15
（3）当x=7时，ŷ=7×7+15=64．即当广告费支出为7百万元时的销售额为64（百万元）
点评：本题思路清晰、切入容易，属于简单题，但需要有准确的计算能力，一般做错的原因表现在套用公式不正确或者计算不正确所导致．注意画散点图是获取回归模型的重要方式，也表现了处理信息的能力．
20．（13分）在含有3件次品的10件产品中，任取3件，试求：
（1）取到的次品数X的分布列；
（2）至少取到1件次品的概率．
考点：离散型随机变量的期望与方差；相互独立事件的概率乘法公式．
专题：概率与统计．
分析：（1）由已知得X的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列．
（2）利用对立事件的概率公式能求出至少取到1件次品的概率．
解答：解：（1）由已知得X的可能取值为0，1，2，3，
P（X=0）==，
P（X=1）==，
P（X=2）==，
P（X=3）==，
∴X的分布列为：
X 0 1 2 3
P
（2）至少取到1件次品的概率：
P=1﹣P（X=0）=1﹣=．
点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．
21．（14分）已知的展开式中，所有项的二项式系数之和为1024．
（1）求n的值；
（2）求展开式中的常数项；
（3）求展开式中含有理项的个数．
考点：二项式定理的应用．
专题：计算题；二项式定理．
分析：（1）所有项的二项式系数之和为1024，即为2n=1024，解得即可；
（2）求出通项公式，化简整理，再令x的指数为0，即可得到常数项；
（3）考虑通项公式中，x的指数为偶数的情况，即可得到个数．
解答：解：（1）所有项的二项式系数之和为1024，
即为2n=1024，解得，n=10；
（2）的展开式的通项为T r+1=
=，
令=0，则r=2，
则常数项为：=180；
（3）有理项即为为整数，
则r=0，2，4，6，8，10．
故有6个有理项．
点评：本题考查二项式定理及运用，考查二项式系数的性质和二项式展开式的通项公式的运用，考查运算能力，属于中档题．
22．（14分）某射击测试规则为：每人最多射击3次，击中目标即终止射击，第i次击中目标得1～i（i=1，2，3）分，3次均未击中目标得0分．已知某射手每次击中目标的概率为0.8，其各次射击结果互不影响．
（Ⅰ）求该射手恰好射击两次的概率；
（Ⅱ）该射手的得分记为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望．
考点：n次独立重复试验中恰好发生k次的概率；离散型随机变量的期望与方差．
专题：应用题；分析法．
分析：对于（Ⅰ）求该射手恰好射击两次的概率，因为击中目标即终止射击，则该射手必第一次没有射中第二次射中，根据相互独立事件的概率乘法公式即可直接求得答案．
对于（Ⅱ）该射手的得分记为ξ，求ξ的分布列及数学期望，因为第i次击中目标得1～i（i=1，2，3）分，故ξ可能取的值为0，1，2，3．分别求出每个值的概率，填入分布列表，然后根据期望公式求得期望即可．
解答：解：（Ⅰ）设该射手第i次击中目标的事件为A i（i=1，2，3），
则，．
故该射手恰好射击两次的概率为0.16．
（Ⅱ）ξ可能取的值为0，1，2，3．ξ的分布列为
ξ0 1 2 3
P 0.008 0.8 0.16 0.032
Eξ=0×0.008+1×0.8+2×0.16+3×0.032=1.216．
点评：此题主要考查离散型随机变量的期望和方差，其中涉及到相互独立事件的概率乘法公式．对于射击问题是我们经常遇到的，希望同学们要很好的记忆理解．。