2016学年河南省商丘一中高一下学期期末数学试卷及参考答案(理科)

2015-2016学年河南省商丘一中高一（下）期末数学试卷（理科）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）某学校高三年级一班共有60名学生，现采用系统抽样的方法从中抽取6名学生做“早餐与健康”的调查，为此将学生编号为1、2、…、60，选取的这6名学生的编号可能是（）
A．1，2，3，4，5，6 B．6，16，26，36，46，56
C．1，2，4，8，16，32 D．3，9，13，27，36，54
2．（5分）执行程序框图，如果输入的t∈[﹣1，3]，则输出的s属于（）
A．[﹣3，4]B．[﹣5，2]C．[﹣4，3]D．[﹣2，5]
3．（5分）掷一枚均匀的硬币两次，事件M：一次正面朝上，一次反面朝上；事件N：至少一次正面朝上，则下列结果正确的是（）
A．P（M）=，P（N）=B．P（M）=，P（N）=C．P（M）=，P（N）
=D．P（M）=，P（N）=
4．（5分）先后连掷两次骰子分别得到点数m，n，则向量（m，n）与向量（﹣1，1）的夹角θ＞90°的概率是（）
A．B．C．D．
5．（5分）已知sin（）=，则cos（2）=（）
A．﹣ B．﹣ C．D．
6．（5分）已知点A（1，3），B（4，﹣1），则与向量同方向的单位向量为（）A．B．C．D．
7．（5分）如果函数y=sin2x+acos2x的图象关于直线x=﹣对称，那么a等于（）
A．B．1 C．D．﹣1
8．（5分）若向量，，两两所成的角相等，且||=1，||=1，||=3，则|++|等于（）
A．2 B．5 C．2或5 D．或
9．（5分）为了得到函数y=sin（2x﹣）的图象，可以将函数y=cos2x的图象（）A．向右平移个单位长度B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度D．向左平移个单位长度
10．（5分）△ABC中，三边长a，b，c满足a3+b3=c3，那么△ABC的形状为（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．以上均有可能
11．（5分）四名同学根据各自的样本数据研究变量x，y之间的相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论：
①y与x负相关且=2.347x﹣6.423；
②y与x负相关且=﹣3.476x+5.648；
③y与x正相关且=5.437x+8.493；
④y与x正相关且=﹣4.326x﹣4.578．
其中一定不正确的结论的序号是（）
A．①②B．②③C．③④D．①④
12．（5分）设向量，，满足||=||=1，•=﹣，＜﹣，﹣＞=60°，
则||的最大值等于（）
A．B．1 C．2 D．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）已知函数f（x）=asin（πx+α）+bcos（πx+β），且f（3）=3，则f（2 016）=．
14．（5分）抛掷一均匀的正方体玩具（各面分别标有数字1、2、3、4、5、6），事件A表示“朝上一面的数是奇数”，事件B表示“朝上一面的数不超过3”，则P （A∪B）=．
15．（5分）已知||=6，||=3，•=﹣12，则向量在向量方向上的投影是．
16．（5分）O是面α上一定点，A，B，C是面α上△ABC的三个顶点，∠B，∠C分别是边AC，AB的对角．以下命题正确的是．（把你认为正确的序号全部写上）
①动点P满足=++，则△ABC的外心一定在满足条件的P点集合中；
②动点P满足=+λ（+）（λ＞0），则△ABC的内心一定在满足条件的P点集合中；
③动点P满足=+λ（+）（λ＞0），则△ABC的重心一定在满足条件的P点集合中；
④动点P满足=+λ（+）（λ＞0），则△ABC的垂心一定在满足条件的P点集合中．
⑤动点P满足=+λ（+）（λ＞0），则△ABC的外心一定在满足条件的P点集合中．
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）四边形ABCD的内角A与C互补，AB=1，BC=3，CD=DA=2．
（1）求C和BD；
（2）求四边形ABCD的面积．
18．（12分）已知函数f（x）=2cos2x+sin2x，x∈R．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）将函数f（x）图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到的函数h（x）的图象，再将函数h（x）的图象向右平移个单位后得到函数g（x）的图象，求函数g（x）的解析式，并求在[0，π]上的值域．
19．（12分）设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=2bsinA．（Ⅰ）若a=3，c=5，求b；
（Ⅱ）求cosA+sinC的取值范围．
20．（12分）前不久商丘市因环境污染严重被环保部约谈后，商丘市近期加大环境治理力度，如表提供了商丘某企业节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨标准煤）的几组对应数据．
（Ⅰ）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程y=bx+a；
（Ⅱ）已知该企业技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤，试根据（1）求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低了多少吨标准煤？
（参考数值：3×2.5+4×3+5×4+6×4.5=66.5）参考公式：=，=
﹣．
21．（12分）某校从参加高三年级期中考试的学生中抽出50名学生，并统计了他们的数学成绩（成绩均为整数且满分为100分），数学成绩分组及各组频数如下：[40，50），2；[50，60），3；[60，70），14；[70，80），15；[80，90），12；[90，100]，4．
（Ⅰ）列出样本的频率分布表；
（Ⅱ）估计成绩在85分以上学生的比例；
（Ⅲ）为了帮助成绩差的学生提高数学成绩，学校决定成立“二帮一”小组，即从成绩[90，100]中选两位同学，共同帮助[40，50）中的某一位同学，已知甲同学的成绩为42分，乙同学的成绩为95分，求甲、乙两同学恰好被安排在同一小组的概率．
22．（12分）如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径．一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C．现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50m/min．在甲出发2min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1min后，再从B匀速步行到C．假设缆车匀速直线运动的速度为130m/min，山路AC长为1260m，经测量，cosA=，cosC=
（1）求索道AB的长；
（2）问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？
（3）为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？
2015-2016学年河南省商丘一中高一（下）期末数学试卷
（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）某学校高三年级一班共有60名学生，现采用系统抽样的方法从中抽取6名学生做“早餐与健康”的调查，为此将学生编号为1、2、…、60，选取的这6名学生的编号可能是（）
A．1，2，3，4，5，6 B．6，16，26，36，46，56
C．1，2，4，8，16，32 D．3，9，13，27，36，54
【解答】解：根据系统抽样的定义，从60名学生中抽取6名学生，编号的间隔为=10，
∴编号组成的数列应是公差为10的等差数列，
故选：B．
2．（5分）执行程序框图，如果输入的t∈[﹣1，3]，则输出的s属于（）
A．[﹣3，4]B．[﹣5，2]C．[﹣4，3]D．[﹣2，5]
【解答】解：由判断框中的条件为t＜1，可得：
函数分为两段，即t＜1与t≥1，
又由满足条件时函数的解析式为：s=3t；
不满足条件时，即t≥1时，函数的解析式为：s=4t﹣t2
故分段函数的解析式为：s=，
如果输入的t∈[﹣1，3]，画出此分段函数在t∈[﹣1，3]时的图象，
则输出的s属于[﹣3，4]．
故选：A．
3．（5分）掷一枚均匀的硬币两次，事件M：一次正面朝上，一次反面朝上；事件N：至少一次正面朝上，则下列结果正确的是（）
A．P（M）=，P（N）=B．P（M）=，P（N）=C．P（M）=，P（N）
=D．P（M）=，P（N）=
【解答】解：记掷一枚均匀的硬币两次，所得的结果为事件I，则
I={（正，正）、（正，反）、（反，正）、（反，反）}，
则事件M：一次正面朝上，一次反面朝上；
∴M={（正，反）、（反，正）}，
事件N：至少一次正面朝上，
∴N={（正，正）、（正，反）、（反，正）}，
∴P（M）=，P（N）=．
故选：D．
4．（5分）先后连掷两次骰子分别得到点数m，n，则向量（m，n）与向量（﹣1，1）的夹角θ＞90°的概率是（）
A．B．C．D．
【解答】解：后连掷两次骰子分别得到点数m，n，所组成的向量（m，n）的个数共有36种
由于向量（m，n）与向量（﹣1，1）的夹角θ＞90°的
∴（m，n）•（﹣1，1）＜0，即m﹣n＞0，满足题意的情况如下
当m=2时，n=1；
当m=3时，n=1，2；
当m=4时，n=1，2，3；
当m=5时，n=1，2，3，4；
当m=6时，n=1，2，3，4，5；
共有15种
故所求事件的概率是=
故选：D．
5．（5分）已知sin（）=，则cos（2）=（）
A．﹣ B．﹣ C．D．
【解答】解：∵sin（）=，
∴cos（﹣2α）=1﹣2sin2（）=，
∴cos（2）=cos[π﹣（﹣2α）]
=﹣cos（﹣2α）=﹣
故选：A．
6．（5分）已知点A（1，3），B（4，﹣1），则与向量同方向的单位向量为（）A．B．C．D．
【解答】解：∵已知点A（1，3），B（4，﹣1），∴=（4，﹣1）﹣（1，3）=
（3，﹣4），||==5，
则与向量同方向的单位向量为=，
故选：A．
7．（5分）如果函数y=sin2x+acos2x的图象关于直线x=﹣对称，那么a等于（）
A．B．1 C．D．﹣1
【解答】解：由题意知
y=sin2x+acos2x=sin（2x+φ）
当时函数y=sin2x+acos2x取到最值±
将代入可得：sin[2×（）]+acos[2×（）]=
解得a=﹣1
故选：D．
8．（5分）若向量，，两两所成的角相等，且||=1，||=1，||=3，则|++|等于（）
A．2 B．5 C．2或5 D．或
【解答】解：由于平面向量两两所成的角相等，故每两个向量成的角
都等于120°，或都等于0°，
再由，
①若平面向量两两所成的角相等，且都等于120°，
∴=1×1×cos120°=﹣，=1×3×cos120°=﹣，=1×3×cos120°=﹣
．
==
==2．
②平面向量两两所成的角相等，且都等于0°，
则=1×1=1，=1×3=3，=1×3=3，
====5．
综上可得，则=2或5，
故选：C．
9．（5分）为了得到函数y=sin（2x﹣）的图象，可以将函数y=cos2x的图象（）A．向右平移个单位长度B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度D．向左平移个单位长度
【解答】解：∵y=sin（2x﹣）=cos[﹣（2x﹣）]=cos（﹣2x）=cos （2x﹣）=
cos[2（x﹣）]，
∴将函数y=cos2x的图象向右平移个单位长度．
故选：B．
10．（5分）△ABC中，三边长a，b，c满足a3+b3=c3，那么△ABC的形状为（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．以上均有可能
【解答】解：∵a3+b3=c3，
∴∠C为△ABC中的最大角，且+=1；
∴0＜a＜c，0＜b＜c，
∴0＜＜1，0＜＜1，
∴＞，
＞，
∴+＞+=1，
∴c2＜a2+b2，由余弦定理得：cosC=＞0，
∴∠C为锐角．
∴△ABC为锐角三角形．
故选：A．
11．（5分）四名同学根据各自的样本数据研究变量x，y之间的相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论：
①y与x负相关且=2.347x﹣6.423；
②y与x负相关且=﹣3.476x+5.648；
③y与x正相关且=5.437x+8.493；
④y与x正相关且=﹣4.326x﹣4.578．
其中一定不正确的结论的序号是（）
A．①②B．②③C．③④D．①④
【解答】解：①y与x负相关且=2.347x﹣6.423；此结论误，由线性回归方程知，此两变量的关系是正相关；
②y与x负相关且；此结论正确，线性回归方程符合负相关的
特征；
③y与x正相关且；此结论正确，线性回归方程符合正相关
的特征；
④y与x正相关且．此结论不正确，线性回归方程符合负相关的特征．
综上判断知，①④是一定不正确的
故选：D．
12．（5分）设向量，，满足||=||=1，•=﹣，＜﹣，﹣＞=60°，则||的最大值等于（）
A．B．1 C．2 D．
【解答】解：∵，且=，∴的夹角为120°，
设，
则，如图所示，
则∠AOB=120°；∠ACB=60°
∴∠AOB+∠AOC=180°
∴A，O，B，C四点共圆，
∵，
∴=3，
∴||=．
由三角形的正弦定理得外接圆的直径2R=，
当OC为直径时，||最大，最大为2．
故选：C．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）已知函数f（x）=asin（πx+α）+bcos（πx+β），且f（3）=3，则f（2 016）=﹣3．
【解答】解：f（3）=asin（3π+α）+bcos（3π+β）
=asin（π+α）+bcos（π+β）
=﹣asinα﹣bcosβ=3．
∴asinα+bcosβ=﹣3．
∴f（2016）=asin（2016π+α）+bcos（2016π+β）
=asinα+bcosβ=﹣3．
故答案为：﹣3．
14．（5分）抛掷一均匀的正方体玩具（各面分别标有数字1、2、3、4、5、6），事件A表示“朝上一面的数是奇数”，事件B表示“朝上一面的数不超过3”，则P
（A∪B）=．
【解答】解：∵抛掷一均匀的正方体玩具（各面分别标有数字1、2、3、4、5、6），
事件A表示“朝上一面的数是奇数”，事件B表示“朝上一面的数不超过3”，
∴P（A）==，P（B）=，P（AB）=，
∴P（A∪B）=P（A）+P（B）﹣P（AB）=．
故答案为：．
15．（5分）已知||=6，||=3，•=﹣12，则向量在向量方向上的投影是﹣4．
【解答】解：设θ是向量的夹角，则，根据投影的定义，向量在向量方向的投影是：．
故答案为：﹣4．
16．（5分）O是面α上一定点，A，B，C是面α上△ABC的三个顶点，∠B，∠C分别是边AC，AB的对角．以下命题正确的是②③④⑤．（把你认为正确的序号全部写上）
①动点P满足=++，则△ABC的外心一定在满足条件的P点集合中；
②动点P满足=+λ（+）（λ＞0），则△ABC的内心一定在满足条件的P点集合中；
③动点P满足=+λ（+）（λ＞0），则△ABC的重心一定在满足条件的P点集合中；
④动点P满足=+λ（+）（λ＞0），则△ABC的垂心一定在满足条件的P点集合中．
⑤动点P满足=+λ（+）（λ＞0），则△ABC的外心一定在满足条件的P点集合中．
【解答】解：对于①，动点P满足=++，∴=+，
∴++=，∴P是△ABC的重心，
∴△ABC的外心不一定在P点的集合中，①错误；
对于②，动点P满足=+λ（+）（λ＞0），
∴=λ（+），
又向量+在∠BAC的平分线上，∴与∠BAC的平分线所在向量共线，∴△ABC的内心在满足条件的P点集合中，②正确；
对于③，动点P满足=+λ（+）（λ＞0），
∴=λ（+）；
过点A作AD⊥BC，垂足为D，则||sinB=|sinC=AD，
∴=（+），向量+与BC边的中线共线，
因此△ABC的重心一定在满足条件的P点集合中，③正确；
对于④，动点P满足=+λ（+）（λ＞0），
∴=λ（+），∴•=λ（+）=λ（||
﹣||）=0，
∴⊥，∴△ABC的垂心一定在满足条件的P点集合中，④正确；
对于⑤，动点P满足=+λ（+）（λ＞0），
设=，则E为BC的中点，则=λ（+），
由④知（+）•=0，得•=0，∴⊥；
∴P点的轨迹为过E的BC的垂线，即BC的中垂线；
∴△ABC的外心一定在满足条件的P点集合，⑤正确．
故正确的命题是②③④⑤．
故答案为：②③④⑤．
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）四边形ABCD的内角A与C互补，AB=1，BC=3，CD=DA=2．
（1）求C和BD；
（2）求四边形ABCD的面积．
【解答】解：（1）在△BCD中，BC=3，CD=2，
由余弦定理得：BD2=BC2+CD2﹣2BC•CDcosC=13﹣12cosC①，
在△ABD中，AB=1，DA=2，A+C=π，
由余弦定理得：BD2=AB2+AD2﹣2AB•ADcosA=5﹣4cosA=5+4cosC②，
由①②得：cosC=，
则C=60°，BD=；
（2）∵cosC=，cosA=﹣，
∴sinC=sinA=，
则S=AB•DAsinA+BC•CDsinC=×1×2×+×3×2×=2．
18．（12分）已知函数f（x）=2cos2x+sin2x，x∈R．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）将函数f（x）图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到的函数h（x）的图象，再将函数h（x）的图象向右平移个单位后得到函数g（x）的图象，求函数g（x）的解析式，并求在[0，π]上的值域．
【解答】解：（Ⅰ）y=2cos2x+sin2x
=1+cos2x+sin2x
=1+2（cos2x+sin2x）
=1+2sin（2x+），
由2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈Z，解得kπ﹣≤x≤kπ+k∈Z，
∴函数的单调增区间为：[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．
（Ⅱ）将函数f（x）图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到的函数h（x）=1+2sin（x+）的图象，再将函数h（x）的图象向右平移个单位后得到函数g（x）=1+2sin（x﹣+）=1+2sin（x）的图象，
∴函数g（x）的解析式，g（x）=1+2sin（x）．
∵x∈[0，π]，x∈，当x=时函数取得最小值：1+2×
=0，
当x=时函数取得最大值：1+2=3，
∴g（x）∈[0，3]，
即函数g（x）在[0，π]上的值域[0，3]．
19．（12分）设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=2bsinA．
（Ⅰ）若a=3，c=5，求b；
（Ⅱ）求cosA+sinC的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）由a=2bsinA，根据正弦定理得sinA=2sinBsinA，由于sinA≠0，所以，
由△ABC为锐角三角形得．
根据余弦定理，得b2=a2+c2﹣2accosB=27+25﹣45=7．
所以，．
（Ⅱ）
===
．
由△ABC为锐角三角形知，，．，所以．
由此有，
所以cosA+sinC的取值范围为．
20．（12分）前不久商丘市因环境污染严重被环保部约谈后，商丘市近期加大环境治理力度，如表提供了商丘某企业节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨标准煤）的几组对应数据．
（Ⅰ）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程y=bx+a；
（Ⅱ）已知该企业技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤，试根据（1）求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低了多少吨标准煤？
（参考数值：3×2.5+4×3+5×4+6×4.5=66.5）参考公式：=，=
﹣．
【解答】解：（Ⅰ）由图表知x与y具有线性相关关系，则根据对应数据，计算得：
x12+x22+x32+x42=86，==4.5，==3.5，
已知x1y1+x2y2+x3y3+x4y4=66.5，
所以，由最小二乘法确定的线性回归方程的系数为
==0.7，
=﹣b=3.5﹣0.7×4.5=0.35．
因此，所求的线性回归方程为=0.35+0.7x．
（Ⅱ）由（Ⅰ）的线性回归方程及技改前生产100吨甲产品的生产能耗，得降低的生产能耗约为：
90﹣（0.35+0.7×100）=19.65（吨标准煤）．
21．（12分）某校从参加高三年级期中考试的学生中抽出50名学生，并统计了他们的数学成绩（成绩均为整数且满分为100分），数学成绩分组及各组频数如下：[40，50），2；[50，60），3；[60，70），14；[70，80），15；[80，90），12；[90，100]，4．
（Ⅰ）列出样本的频率分布表；
（Ⅱ）估计成绩在85分以上学生的比例；
（Ⅲ）为了帮助成绩差的学生提高数学成绩，学校决定成立“二帮一”小组，即从成绩[90，100]中选两位同学，共同帮助[40，50）中的某一位同学，已知甲同学的成绩为42分，乙同学的成绩为95分，求甲、乙两同学恰好被安排在同一小组的概率．
【解答】解：（Ⅰ）根据题意，[90，100]一组的频数为50﹣（2+3+14+15+12+4）=4，
作出频率分布表如下：
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，成绩在[85，100）的学生数为+4=10，
则成绩在85分以上的学生的比例为P1==20%，
（Ⅲ）记成绩在[40，50）上的2名学生为a、甲，在[90，100）内的4名学生记为1、2、3、乙，
则选取的情况有（1，2，a）、（1，2，甲）、（1，3，a）、（1，3，甲）、（1，乙，a）、（1，乙，甲）、
（2，3，a）、（2，3，甲）、（2，乙，a）、（2，乙，甲）、（3，乙，a）、（3，乙，甲），共12种；
其中甲乙两名同学恰好在同一小组的情况有3种，
则甲、乙两同学恰好被安排在同一小组的概率P2==．
22．（12分）如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径．一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C．现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50m/min．在甲出发2min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1min后，再从B匀速步行到C．假设缆车匀速直线运动的速度为130m/min，山路AC长为1260m，经测量，cosA=，cosC=
（1）求索道AB的长；
（2）问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？
（3）为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？
【解答】解：（1）在△ABC中，因为cosA=，cosC=，所以sinA=，sinC=，从而sinB=sin[π﹣（A+C）]=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC==
由正弦定理，得AB===1040m．
所以索道AB的长为1040m．
（2）假设乙出发t分钟后，甲、乙两游客距离为d，此时，甲行走了（100+50t）m，乙距离A处130t m，所以由余弦定理得
d2=（100+50t）2+（130t）2﹣2×130t×（100+50t）×=200（37t2﹣70t+50）=200[37（t﹣）2+]，
因0≤t≤，即0≤t≤8，故当t=min时，甲、乙两游客距离最短．
（3）由正弦定理，得BC===500m，
乙从B出发时，甲已经走了50×（2+8+1）=550m，还需走710m才能到达C．设乙步行的速度为v m/min，由题意得﹣3≤≤3，解得，所以为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在[]范围内．
赠送：初中数学几何模型举例
【模型四】
几何最值模型：
图形特征：
l
运用举例：
1. △ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为AP的中点，则MF的最小值为
E
M F
B
2.如图，在边长为6的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，E为AB的中点，F为AC上一动点，则EF+BF的最小值为_________。

D
F
A
3.在Rt△POQ中，OP=OQ=4．M是PQ中点，把一把三角尺的直角顶点放在点M处，以M 为旋转中心．旋转三角尺，三角尺的两直角边与△POQ的两直角边分别交于点A、B。

（1）求证：MA=MB；
（2）连接AB．探究：在旋转三角尺的过程中．△AOB的周长是否存在最小值．若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．
4.如图，在锐角△ABC 中，AB =42BAC =45°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，M 和N 分别是AD ，AB 上的动点，则BM+MN 的最小值是 .
D
C
M
5.如图，△ABC 中，︒=∠60BAC ，︒=∠45ABC ，AB =22，D 是线段BC 上的一个动点，以AD 为直径画⊙O 分别交AB ，AC 于E ，F ，连接EF ，则线段EF 长度的最小值为 。

B
6. 在平面直角坐标系中，矩形OACB 的顶点O 在坐标原点，顶点A 、B 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，3OA =，4OB =，D 为边OB 的中点.
（1）若E 为边OA 上的一个动点，当△CDE 的周长最小时，求点E 的坐标；
（2）若E 、F 为边OA 上的两个动点，且2EF =，当四边形CDEF 的周长最小时，求点E 、F 的坐标.
x y
x
y D
C B A O
D C B A O E。