2021年高三上学期第二次月考数学试题含答案

2021年高三上学期第二次月考数学试题含答案
一、选择题：
1．复数（）
A．4﹣2i B．﹣4+2i C．2+4i D．2﹣4i
2．若集合A={1，m2}，B={3，4}，则“m=2”是“A∩B={4}”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．已知平面向量，满足•（+）=3，且||=2，||=1，则向量与的夹角为（）A．B．C．D．
4．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a2=﹣11，a5+a9=﹣2，则当S n取最小值时，n等于（）
A．9 B．8 C．7 D．6
5．已知抛物线y2=8x与双曲线﹣y2=1的一个交点为M，F为抛物线的焦点，若|MF|=5，则该双曲线的渐近线方程为（）
A．5x±3y=0 B．3x±5y=0 C．4x±5y=0 D．5x±4y=0
6．定义=a1a4﹣a2a3，若f（x）=，则f（x）的图象向右平移个单位得到的函数解析式为（）A．y=2sin（x﹣）B．y=2sin（x+）C．y=2cosx D．y=2sinx
7．关于两条不同的直线m、n与两个不同的平面α、β，下列命题正确的是（）
A．m∥α，n∥β且α∥β，则m∥n B．m⊥α，n⊥β且α⊥β，则m∥n
C．m⊥α，n∥β且α∥β，则m⊥n D．m∥α，n⊥β且α⊥β，则m∥n
8．函数f（x）是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R，都有f（x+2）=f（x）．当0≤x≤1时，f（x）=x2．若直线y=x+a与函数y=f（x）的图象有两个不同的公共点，则实数a的值为（）
A．n（n∈Z）B．2n（n∈Z）C．2n或（n∈Z）D．n或（n∈Z）
9．已知O是坐标原点，点A（﹣2，1），若点M（x，y）为平面区域上的一个动点，则的取值范围是（）
A．[0，1]B．[0，2]C．[﹣1，0] D．[﹣1，2]
10．若函数f（x）满足f（x）+1=，当x∈[0，1]时，f（x）=x，若在区间（﹣1，1]上，方程f（x）﹣mx﹣2m=0有两个实数解，则实数m的取值范围是（）
A．0＜m≤B．0＜m＜C．＜m≤l D．＜m＜1
二、填空题：
11．已知f（x）=，定义f1（x）=f′（x），f2（x）=[f1（x）]′，…，f n
+1
（x）=[f n（x）]′，n∈N*．
经计算f1（x）=，f2（x）=，f3（x）=，…，照此规律，则f n（x）=．
12．如图是一个算法的流程图．若输入x的值为2，则输出y的值是．
13．某圆柱切割获得的几何体的三视图如图所示，其中俯视图是中心角为的扇形，则该几何体的体积为．
14．已知P是直线3x+4y﹣10=0上的动点，PA，PB是圆x2+y2﹣2x+4y+4=0的两条切线，A，B是切点，C是圆心，那么四边形PACB面积的最小值为．
15．设全集U={1，2，3，4，5，6}，用U的子集可表示由0，1组成的6位字符串，如：{2，4}表示的是第2个字符是1，第4个字符为1，其它均为0的6位字符串010100，并规定空集表示为000000．若A={1，3}，集合A∪B表示的字符串为101001，则满足条件的集合B的个数为．
三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16．汽车是碳排放量比较大的行业之一，某地规定，从xx年开始，将对二氧化碳排放量超过130g/km的轻型汽车进行惩罚性征税．检测单位对甲、乙两品牌轻型汽车各抽取5辆进行二氧化碳排放量检测，记录如表（单位：g/km）．
甲80 110 120 140 150
乙100 120 x 100 160
经测算得乙品牌轻型汽车二氧化碳排放量的平均值为=120g/km．
2016-12-27 高三数学（复读全） 1双考
（1）求表中x的值，并比较甲、乙两品牌轻型汽车二氧化碳排放量的稳定性；
（2）从被检测的5辆甲品牌轻型汽车中任取2辆，则至少有一辆二氧化碳排放量超过130g/km 的概率是多少？
17．已知函数f（x）=2sinxcosx+2cos2x﹣，x∈R．
（Ⅰ）求函数y=f（﹣3x）+1的最小正周期和单调递减区间；
（Ⅱ）已知△ABC中的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若锐角A满足f（﹣）=，且a=7，sinB+sinC=，求△ABC的面积．
18．已知四棱锥A﹣BCDE，其中AB=BC=AC=BE=1，CD=2，CD⊥面ABC，BE∥CD，F 为AD的中点．
（Ⅰ）求证：EF∥面ABC；
（Ⅱ）求证：平面ADE⊥平面ACD；
（Ⅲ）求四棱锥A﹣BCDE的体积．
19．已知数列{a n}前n项和S n满足：2S n+a n=1
（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；
（Ⅱ）设b n=，数列{b n}的前n项和为T n，求证：T n＜．
20．已知函数f（x）=2（a+1）lnx﹣ax，g（x）=﹣x
（1）若函数f（x）在定义域内为单调函数，求实数a的取值范围；
（2）证明：若﹣1＜a＜7，则对于任意x1，x2∈（1，+∞），x1≠x2，有＞﹣1．
21．在平面直角坐标系中，椭圆：的离心率为，右焦点. （1）求椭圆的方程；
（2）点在椭圆上，且在第一象限内，直线与圆：相切于点，且，求点的纵坐标的值．
立人中学第二次月考试题
数学试题参考答案
一、选择题：
1～5 B A C C A 6～10 D C C D A
二、填空题：
11．；12．﹣2；13．2π；14．2；15．4．
15【解答】解：若A={1，3}，集合A∪B表示的字符串为101001，
∴集合B可能是{6}，{1，6}，{3，6}，{1，3，6}，
故答案为：4．
三、解答题：
16．【解答】解：（1）由==120得，
x=120；
==120；
S2
甲
= [（80﹣120）2+(110-120)2+(120-120)2+(140-120)2+(150-120)2]=600；
S2
乙
= [（100﹣120）2+(120-120)2+(120-120)2+(100-120)2+(160-120)2]=480；
因为S2
甲＞S2
乙
；
故乙品牌轻型汽车二氧化碳排放量的稳定性更好；
（2）从被检测的5辆甲品牌轻型汽车中任取2辆，共有=10种情况，至少有一辆二氧化碳排放量超过130g/km的情况有×+1=7种，
故至少有一辆二氧化碳排放量超过130g/km的概率是．17．【解答】（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）∵
=…
∴，
∴y=f（﹣3x）+1的最小正周期为…
由得：，k∈Z，
∴y=f（﹣3x）+1的单调递减区间是，k∈Z…
（Ⅱ）∵，∴，∴…
∵，∴．
由正弦定理得：，
即，∴b+c=13…
由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA得：a2=（b+c）2﹣2bc﹣2bccosA，
即49=169﹣3bc，∴bc=40 (1)
∴…
18．【解答】证明：（Ⅰ）取AC中点G，连接FG、BG，
∵F，G分别是AD，AC的中点
∴FG∥CD，且FG=DC=1．
∵BE∥CD∴FG与BE平行且相等
∴EF∥BG．
EF⊄面ABC，BG⊂面ABC
∴EF∥面ABC…
（Ⅱ）∵△ABC 为等边三角形∴BG ⊥AC
又∵DC ⊥面ABC ，BG ⊂面ABC ∴DC ⊥BG
∴BG 垂直于面ADC 的两条相交直线AC ，DC ，
∴BG ⊥面ADC ． …
∵EF ∥BG
∴EF ⊥面ADC
∵EF ⊂面ADE ，∴面ADE ⊥面ADC ． …
解：（Ⅲ）
方法一：连接EC ，该四棱锥分为两个三棱锥E ﹣ABC 和E ﹣ADC ．
．…
方法二：取BC 的中点为O ，连接AO ，则AO ⊥BC ，又CD ⊥平面ABC ， ∴CD ⊥AO ，BC ∩CD=C ，∴AO ⊥平面BCDE ，
∴AO 为V A ﹣BCDE 的高，，∴．
19．【解答】（I ）解：∵2S n +a n =1，
∴当n ≥2时，2S n ﹣1+a n ﹣1=1，
∴2a n +a n ﹣a n ﹣1=0，化为．
当n=1时，2a 1+a 1=1，∴a 1=．
∴数列{a n }是等比数列，首项与公比都为．
∴．
（II ）证明：b n =
=
=
=，
∴数列{b n }的前n 项和为T n =++…+
=． ∴T n ＜．
20．【解答】解：（1）函数f （x ）=2（a +1）lnx ﹣ax 的定义域是（0，+∞）， ∴=，
∵函数f （x ）在定义域内为单调函数，
∴f ′（x ）≥0或f ′（x ）≤0在（0，+∞）上恒成立，
则﹣ax +2（a +1）≥0或﹣ax +2（a +1）≤0在（0，+∞）上恒成立， ①当a=0时，则有2≥0恒成立，函数f （x ）在（0，+∞）上为增函数； ②当a ＞0时，函数y=﹣ax +2（a +1）在（0，+∞）上为减函数，
∴只要2（a +1）≤0，即a ≤﹣1时满足f ′（x ）≤0成立，此时a 无解； ③当a ＜0时，函数y=﹣ax +2（a +1）在（0，+∞）上为增函数，
∴只要2（a +1）≥0，即a ≥﹣1时满足f ′（x ）≥0成立，此时﹣1≤a ＜0； 综上可得，实数a 的取值范围是[﹣1，0]；
证明：（2）g （x ）=﹣x=在（1，+∞）单调递增，
∵x 1，x 2∈（1，+∞），不妨设x 1＞x 2，∴g （x 1）＞g （x 2），
∴等价于f （x 1）﹣f （x 2）＞﹣g （x 1）+g （x 2），
则f （x 1）+g （x 1）＞f （x 2）+g （x 2），
设h （x ）=f （x ）+g （x ）=2（a +1）lnx ﹣（a +1）x +，
则h ′（x ）==，
2016-12-27 高三数学（复读全） 2双 考
∵﹣1＜a ＜7，∴a +1＞0，
∴2=2，当且仅当时取等号，
∴h ′（x ）≥2﹣（a +1）=，
∵﹣1＜a ＜7，∴＞0，即h ′（x ）＞0，
∴h （x ）在（1，+∞）上单调递增，满足f （x 1）+g （x 1）＞f （x 2）+g （x 2）， 即若﹣1＜a ＜7，则对于任意x 1，x 2∈（1，+∞），x 1≠x 2，有＞﹣1成立．
21.解：（1）∴，，∴，
∴椭圆方程为．
（2）①当轴时，，，
由，解得．
②当不垂直于轴时，设，方程为，即， ∵与圆相切，∴，
∴，
∴，
又，所以由，得，
∴
2202222200(33)123(1)(1)(3)334
x k k x k x k +==+++---， ∴．
综上：．%Sg31436 7ACC 竌40450 9E02 鸂23930 5D7A 嵺31351 7A77 穷 @ hG36878 900E 逎H22228 56D4 囔。