11.中考数学专题07 正多边形和圆、弧长和扇形的面积专题详解(解析版)

专题07 正多边形和圆、弧长和扇形的面积专题详解
专题07 正多边形和圆、弧长和扇形的面积专题详解 (1)
24.3正多边形和圆 (2)
知识框架 (2)
一、基础知识点 (2)
知识点1 正多边形与圆的相关概念 (2)
知识点2 正多边形中各元素间的关系 (3)
二、典型题型 (5)
题型1 正多边形有关计算 (5)
24.4弧长和扇形的面积 (9)
知识框架 (9)
一、基础知识点 (9)
知识点1 弧长公式 (9)
知识点2 扇形面积公式 (9)
知识点3 弓形面积 (10)
知识点4 圆锥的侧面展开图 (11)
二、典型题型 (13)
题型1 弧长、扇形面积、圆锥侧面积计算 (13)
题型2 不规则图形面积 (17)
三、难点题型 (22)
题型1 最短距离 (22)
24.3 正多边形和圆知识框架
{基础知识点{
正多边形与圆的相关概念
正多边形中各元素间的关系典型题型{正多边形有关计算
一、基础知识点
知识点1 正多边形与圆的相关概念
1）正多边形：各边、各角都相等的多边形
注：正多边形必须同时满足2个条件：
①每一条边都相等；
②每一个角都相等
2）正多边形的中心：正多边形外接圆的圆心
正多边形的半径：正多边形外接圆的半径
正多边形的边心距：中心到正多边形的一边的距离
正多边形的中心角：正多边形每一边所对的外接圆的圆心角
3）正多边形都是轴对称图形，共有n条对称轴，每条对称轴都经过它的中心，当n为偶数时，正n边形还是中心对称图形。

例1.下列多边形中，是正多边形的是（）
A.菱形
B.矩形
C.等腰梯形
D.正六边形
【答案】：D
【解析】：正多边形需满足2个条件：每条边相等；每个角相等
A.菱形仅边相等，角不等，不为正多边形；
B.矩形角都相等，但边互等，不为正多边形；
C.等腰梯形边和角都不等，不为正多边形；
D.正六边形满足条件，是正多边形
例2.下列多边形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）
A.正三角形
B.正方形
C.正五边形
D.平行四边形
【答案】：B
【解析】：正多边形，且边数n为偶数时，图形既是轴对称图形，又是中心对称图形
∴正方形为正四边形，n=4，符合
∴答案为B
知识点2 正多边形中各元素间的关系
1）设正多边形的边长为a n，半径为R，边心距为r n，中心角为a
则有关系：r n2+（a n
2）
2
=R2
2）正多边形的一些关系：
①正n边形的中线角a=360°
n
；
②正n边形的周长P n=na n；
③正n边形的面积S n=1
2a n r n∙n=1
2
P n r n
例1.一个正多边形的中心角为90°，求它的边数。

【答案】：4
【解析】：根据正多边形中心角的公式：a=360°
n
∴90°=360°
n
解得：n=4
例2.如图，已知正三角形ABC外接圆的半径为R，求正三角形ABC的边长、边心距、周长和面积。

【答案】：边长a n=√3R；r n=1
2R；P n=3√3R；S n=3√3
4
R2
【解析】：如下图，连接OB、OC，过点O作BC的垂线OD交BC于点D
∵△ABC为正三角形，半径为R
∴OB=OC=R，∠OBC=∠OCB=1
2
∙60°=30°∴△BOD是含30°角的直角三角形
∴OD=1
2R=r n，BD=√3
2
R
∴BC=√3R=a n
∴P n=3∙a n=3√3R
S△BOC=1
2∙BC∙OD=1
2
∙√3R∙1
2
R=√3
4
R2
∴S n=3S△BOC=3√3
4
R2
二、典型题型
题型1 正多边形有关计算
解题技巧：正多边形的计算是，主要是多边形各元素间关系的转化与计算。

主要方法为：连接正多边形的中心和顶点，并过中心作边的垂线，构造直角三角形，再利用相关几何知识计算求解。

常用的几何知识有：
①勾股定理；②垂径定理
例1.如图，正六边形ABCDEF内接于 O，半径为4，求这个正六边形边心距OH的长。

【答案】：2√3
【解析】：如下图，连OC
∵是正六边形ABCDEF
=60°
∴圆心角a=360°
6
∴∠HOC=30°
∵半径为4
∴OC=4
∴HC=2，OH=2√3
例2.已知 O的面积为2π，求其内接正三角形的面积。

√3
【答案】：3
2
【解析】：如下图，连OC，连AO，并延长AO交BC于点D
∵ O的面积为2π
∴2π=π∙R2，解得：R=√2
∵△ABC是正三角形
∴∠ACB=∠BAC=60°，且AD⊥BC，点D为BC的中点∴∠OCD=30°，∠DAC=30°
∴OD=1
2R=√2
2
，DC=√3
2
R=√6
2
∴BC=√6，AD=√3
2DC=3√2
2
∴S△ABC=1
2∙BC∙AD=1
2
∙√6∙3√2
2
=3
2
√3
例3.如图，五边形ABCDE是 O的内接正五边形，对角线AC、BD相交于点P，下列结论正确的有。

①∠BAC=36°；②PB=PC；③四边形APDE是菱形
【答案】：①、②、③
【解析】：∵ABCDE是正五边形
∴∠ABC=（5－2）×180°
5
=108°
∵AB=BC，∴△ABC是等腰三角形
∴∠BAC=∠BCA=36°，①正确
∵AB
̂=CD̂
∴∠BCA=∠CBD=36°
∴△BCP为等腰三角形
∴PB=PC，②正确
∴∠PAE=72°
∵∠E=108°
∴AP∥ED
同理，PD∥AE
∴四边形AEDP为平行四边形
∵AE=ED
∴平行四边形AEDP为菱形，③正确
例4.如图，正三角形的边长为12cm，剪去三个角后成为一个正六边形，则这个正六边形的内部任意一点到各边的距离和为cm．
【答案】：12√3
【解析】：如下图，过多边形的中心O作DC的垂线交DC于点G，连接OD，OC
∵正三角形边长为12
∴正六边形的边长为4
∴CG=2，OC=4
∴OG=2√3
∴S△DOC=1
2
×4×2√3=4√3
∴正六边形的面积为：6×4√3=24√3
取正多边形ABCDEF内任意点M，过点M分别作DC，DE，EF，FA，AB，BC的垂线，设垂线距离分别为h1，h2，h3，h4，h5，h6
则正多边形的面积为：
1 2×4×ℎ1+
1
2
×4×ℎ2+
1
2
×4×ℎ3+
1
2
×4×ℎ4+
1
2
×4×ℎ5+
1
2
×4×ℎ6
=1
2
×4×(h1+h2+h3+h4+h5+h6)= 24√3
∴h1+h2+h3+h4+h5+h6=12√3
例5.有一个内角为60°的菱形的面积是8√3 ，则它的内切圆的半径为___________【答案】：√3
【解析】：如图，设∠B=60°
在△ABC中，△ABC为正三角形，面积为4√3
设BC=x，则EC=1
2x，AE=√3
2
x
则1
2∙x∙√3
2
=4√3
解得：x=4
过棱形ABCD的中心（对角线交点）O，作OF⊥BC交BC于点F 则OF即内切圆的半径r
∵S△ABC=4√3
∴S△OBC=2√3=1
2
∙4∙r
解得：r=√3
24.4 弧长和扇形的面积
知识框架
{
基础知识点
{
弧长公式
扇形面积公式弓形面积圆锥的侧面展开图典型题型
{
弧长、扇形面积、圆锥侧面积计算{弧长有关计算扇形面积有关计算圆锥侧面积有关计算不规则图形面积{
割补法等积变换图形变换难点题型{最短距离
一、基础知识点
知识点1 弧长公式
1）弧长l 与n °圆心角的关系：l =2πR ∙n°
360°，公式不可强记，通过比例关系推导： 弧长l =圆的周长×n°
360°
（n °圆心角的弧所占整个圆的比例） 即：l =2πR ∙n°
360°
例1.一个扇形的圆心角为120°，半径为1，求此扇形的弧长。

【答案】：2
3π
【解析】：根据弧长公式：l =2πR ∙n°
360°=2π∙1∙120°
360°=2
3π
例2.圆心角为75°的扇形的弧长是2.5π，求扇形的半径。

【答案】：6 【解析】：根据弧长公式：l =2πR ∙n°
360°=2π∙R ∙75°
360°=5
2π ∴5
12π∙R =5
2π 解得：R=6
知识点2 扇形面积公式
1）扇形面积S 与n °圆心角的关系：S=πR 2∙
n°
360°
扇形面积S=圆的面积×n°
360°
（比例）
即：S=πR2∙n°
360°
2）弧长和扇形面积合并，推导得：S=1
2
lR
S=πR2∙n°
360°=2πR∙n°
360°
∙1
2
R=1
2
lR
（便于记忆，可理解为三角形面积公式，l—底；R—高）
例1.一个扇形的圆心角是120°，它的面积为3π，求这个扇形的半径。

【答案】：3
【解析】：根据扇形面积公式：S=πR2∙n°
360°=πR2∙120°
360°
=3π
化简得：1
3
πR2=3π
解得：R=3
例2.一个扇形面积为3π，弧长为2π，求圆心角。

【答案】：120°
【解析】：根据扇形公式：S=1
2lR=1
2
∙2π∙R=3π
解得：R=3
根据弧长公式：l=2πR∙n°
360°=2π∙3∙n°
360°
=2π
化简得：n°
360°=1
3
解得：n=120
知识点3 弓形面积
1）弓形面积可以看作使扇形面积和三角形面积的分解与组合，实际应用时，可根据图形直接选用下列公式：
①当弓形所含的弧是劣弧时
有：S
弓=S
扇形OAB
−S△OAB
②当弓形所含的弧时优弧时
有：S
弓=S
扇形OAB
+S△OAB
例1.如图，扇形AOB的圆心角为120°，半径为2，求图中阴影部分的面积。

【答案】：4
3
π−√3
【解析】：根据图形，弓形面积=S
扇形OAB
−S△OAB，如下图，过点O作AB的垂线交AB于点E
∵圆心角为120°，根据扇形面积公式：S
扇形OAB =πR2∙n°
360°
=π∙22∙120°
360°
=4
3
π
△AOB为等腰三角形，∠AOB=120°
∴△OBE和△BEA为直角三角形（30°）∵OB=2
∴OE=1，BE=√3，AB=2√3
∴S△OAB=1
2
∙2√3∙1=√3
∴S
弓=4
3
π−√3
知识点4 圆锥的侧面展开图
1）圆锥侧展开图与扇形的关系：圆锥的侧面展开是一个扇形，其半径等于圆锥的母线长，弧长等于圆锥底面圆的周长。

2）圆锥高h，母线l与半径r关系：r2+ℎ2=l2
3）圆锥底面半径为r，母线长为l，底面周长为C，则侧面积S=1
2l∙C=1
2
l∙2πr=πrl
4）圆锥全面积=侧面积+底面积=πrl+πr2
注：圆锥的相关公式难以记忆，建议牢记圆锥与侧面展开图的图形形式，并理解侧面展开图与扇形之间的关系。

相关公式在解题过程中进行推导。

例1.圆锥的母线长为13，底面半径为5，求圆锥的高。

【答案】：12
【解析】：圆锥的高线与底面半径垂直，母线为直角三角形的斜边
根据勾股定定理：52+h2=132
解得：h=12
例2.圆锥的底面半径为3，高为4，求圆锥的侧面展开图面积。

【答案】：15π
【解析】：∵圆锥底面半径r=3，高h=4
根据勾股定理，母线长l=5
∵r=3
∴圆锥侧面展开弧长=2πr=2π∙3=6π
∴圆锥侧面展开图面积=1
2
∙5∙6π=15π
例3.圆锥的高为3√3，侧面展开图是半圆，求圆锥的侧面积。

【答案】：18π
【解析】：∵圆锥侧面展开的弧长C=2πr
又∵圆锥侧面展开是半圆，C=1
2
∙2πl
∴l=2r
∵高h=3√3，且有关系：r2+ℎ2=l2
即：r2+（3√3）2=（2r）2
解得：r=3
圆锥侧面积=1
2lC=1
2
∙2r∙2πr=18π
二、典型题型
题型1 弧长、扇形面积、圆锥侧面积计算
解题技巧：此类题型，需要紧紧抓公式．
弧长l=2πR∙n°
360°
（理解：圆的周长×扇形圆心角占整圆的比例）
扇形面积S=πR2∙n°
360°
（理解：圆的面积×扇形圆心角占整圆的比例）
推到得：扇形面积S＝1
2
l R（理解：将扇形面积视为三角形面积，弧长径视为三角形的底，扇形的半径R
视为三角形的高，面积为１
２
×底×高）
圆锥侧面展开是扇形，扇形半径R为圆锥的母线长，扇形弧长为圆锥底面圆的周长，在求解圆锥问题
时，需理清这两个关系，再按照扇形公式进行求解．
解题步骤：
①根据题干要问题，确定要使用的公式；
②观察公式，确定未知量；
③根据题干和圆的相关特性，求解未知量；
④将未知量代入公式，完成计算。

一、弧长有关计算
例1.圆心角为75°的扇形的弧长是2.5π，则扇形的半径为.
【答案】：6
【解析】：根据扇形弧长公式:l=2πR∙n°
360°
得:
2.5π=2πR∙75°
360°
解得:R=6
例2.如图，四边形ABCD是 O的内接圆， O的半径为2，∠B=135°，求AC
̂的长。

【答案】：π
【解析】：∵∠B=135°，根据内接四边形的性质
∴∠ADC=45°
根据圆心角与圆周角的关系
∴∠AOC=90°
根据弧长公式：AĈ=2πR∙n°
360°=2π∙2∙90°
360°
=π
例3.如图，等边△ABC的边长为4，D、E、F分别为边AB、BC、AC的中点，分别以A、B、C三点为圆心，以AD长为半径作三条圆弧，则图中三条圆弧的弧长之和是（）
A．πB．2πC．4πD．6π
【答案】：2π
【解析】：依题意，三个扇形是完全相同的扇形
扇形半径为等边三角形边长的一半2
扇形的圆心角为等边三角形的角为60°
根据弧长公式:l=2πR∙n°
360°
得:
每条弧长l=2π∙2∙60°
360°=2π3
则三条弧长和为:2π
3
∙3=2π
例4.如图，在扇形AOB中，∠AOB=90°，点C为OA的中点，CD⊥OA交AB
̂于D，若OA=2，求BD̂的长。

【答案】：π
3
【解析】：如下图，连接AD、OD
∵点C是AO的中点，CD⊥AO
∴CD是AO的垂直平分线
∴AD=OD
又∵CD=AO=R
∴△AOD为等边三角形
∴∠DOA=60°
∴∠DOB=30°
根据弧长公式：BD
̂=2πR ∙n°360°
=2π∙2∙
30°
360°=π
3
二、扇形面积有关计算
例1.如图，边长为1的正方形ABCD ，分别以A 、C 为圆心，边长为半径画弧，求第II 部分的面积
【答案】：π
2−1
【解析】：∵S 扇BAD =S I +S II ，S 扇BCD =S II +S III ，S 正ABCD =S I +S II +S III ∴S 扇BAD +S 扇BCD −S 正ABCD =S II
∴S II =π∙12∙90°
360°+π∙12∙90°
360°−1∙1=π
2−1
例2.如图，将半径为1，圆心角为120°的扇形OAB 绕点A 逆时针旋转一个角度，使点O 的对应点D 落在弧AB 上，点B 的对应点为C ，连接BC ，则图中CD 、BC 和弧BD 围成的封闭图形面积是（ ） A ．√3−π
6 B ．√3
2−π
6 C ．√3
2−π
8 D ．√3−π
3
-
【答案】：B 【解析】：如图，连接BD,OD
∵扇形的圆心角为120°,D 为弧AB 的中点 ∴∠AOD=∠BOD=60°
∵AO=OD=OB
∴△AOD和△ODB都为等边三角形,DB=OB=OA=DA=DC
∴∠ADO=∠ODB=60°
∴∠CDB=360°－120°－60°－60°=120°
∵DB=DC
∴△BDC为等腰三角形,∠DBC=∠DCB=30°
封闭图形的面积为:△BDC的面积+△OBD的面积－扇形OBD的面积
S△BDC=√3×1
2×1
2
=√3
4
S△OBD=1×√3
2×1
2
=√3
4
S
扇形OBD =π×12×60°
360°
=π
6
封闭图形面积为:√3
4+√3
4
−π
6
=√3
2
−π
6
∴答案为B
三、圆锥侧面积有关计算
例1.现有一个圆心角为90°，半径为8cm的扇形纸片，用它恰好围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），求该圆锥底面圆的半径。

【答案】：2cm
【解析】：根据弧长公式：l=2πR∙n°
360°=2π∙8∙90°
360°
=4π
扇形的弧长为圆锥底面圆的周长
∴4π=2πr
解得：r=2cm
例2.已知一个圆锥的侧面展开图是一个半径为9，圆心角为120°的扇形，求该圆锥的底面半径。

【答案】：3
【解析】：根据弧长公式：l=2πR∙n°
360°=2π∙9∙120°
360°
=6π
扇形的弧长为圆锥底面圆的周长
∴6π=2πr
解得：r=3
例3.已知圆锥的侧面展开图是一个半圆，求这个半圆的母线长与底面半径的比值。

【答案】：2:1
【解析】：设母线长为R，即侧面展开的半圆（扇形）的半径为R，设圆锥底面半径为r
根据弧长公式：l=2πR∙n°
360°=2πR∙180°
360°
=πR
∵扇形的弧长为圆锥底面圆的周长∴πR=2πr
∴R：r=2:1
例4.在长方形ABCD中，AB=16，如图所示裁出一个扇形ABE，将扇形围成一个圆锥（AB和AE重合），求此圆锥的底面圆的半径。

【答案】：4
【解析】：根据弧长公式：l=2πR∙n°
360°=2π∙16∙90°
360°
=8π
∵扇形的弧长为圆锥底面圆的周长
∴8π=2πr
解得：r=4
题型2 不规则图形面积
一、割补法
解题技巧：将不规则图形的面积转化为几个已知图形的面积的和与差的形式。

例1.如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AB=4√2，以A为圆心，AC长为半径作弧，交AB于点D，求图中阴影部分的面积。

【答案】：8－2π
【解析】：图形中阴影部分是不规则图形，需要割补
S 阴=S△ABC−S
扇ACD
∵△ABC是等腰直角三角形，AB=4√2∴AC=BC=4
∴S△ABC=1
2
∙4∙4=8
∵∠CAD=45°，R=AC=4
∴S
扇ACD =π∙42∙45
360
=2π
∴S
阴
=8－2π
例2.如图，AB 是 O 的直径，C 是 O 上一点，且AC=2，∠CAB=30°，求图中阴影部分面积。

【答案】：√3
3+2
9π
【解析】：连接OC ，将阴影部分划分为△AOC 和扇形COB 两部分
过点O 作AC 的垂线交AC 于点D ∵AC=2
根据垂径定理，AD=DC=1 ∵∠A=30°
∴OD=√3
3，OA=OC=OB=2√3
3
，∠COB=60° S 扇COB =π∙
（2√33）2
∙
60360
=29
π
S △AOC =12
∙2∙√33
=
√33
∴S 阴=
√33
+29
π
二、等积变换
解题技巧：利用平行线间距离处处相等的性质，可将不规则图形等积转换处理。

基本图形如下，AB ∥CD ：
①S △ABC =S △ABD ； ②S △ACD =S △BCD ； ③S △AOC =S △BOD
例1.如图，AB 为半圆O 的直径，C ，D 为半圆弧的三等分点，若AB=12，求阴影部分的面积。

【答案】：6π
【解析】：连接CD、OC、OD
∵C、D是半圆弧三等分点
∴∠COA=∠COD=∠DOB=60°∵OC=OD
∴△OCD为等边三角形
∴∠DCO=60°=∠COA
∴CD∥AB
∴S△ACD=S△COD
∴S
阴=S
扇COD
=π∙(12
2
)
2
∙60
360
=6π
例2.如图，AB是 O的直径，点C是BA延长线上一点，CD切 O于D点，弦DE∥CB，Q是AB 上一动点，CA=1，CD是 O半径的√3倍。

（1）求 O的半径R；
（2）当Q从A向B运动的过程中，图中阴影部分的面积是否发生变化？
【答案】：（1）1
（2）不变，为π
6
【解析】：连接OD、OE
（1）∵CD是 O的切线
∴OD ⊥CD
∵CD 是圆半径的√3倍，CA=1 ∴CD=√3R ，CO=R+1，DO=R
根据勾股定理：（√3R ）2
+R 2=（R +1）2
解得：R=1
（2）∵OD=1，CO=2
∴∠C=30°，∠DOC=60° ∵DE ∥AB ∴∠EDO=60° ∵OD=OE
∴△ODE 为等边三角形 ∴∠DOE=30° ∵DE ∥AB
∴S △DQE =S △EOD ∴S 阴=S 扇DOE =π∙12∙60360=π6
三、图形变换
解题技巧：通过平移，将一般图形转化为特殊图形。

例1.如图，两个半圆中，长为24的弦AB 与直径CD 平行且与小半圆相切，那么图中阴影部分的面积是多少？
【答案】：72π 【解析】：将小半圆向右平移，使得两个半圆的圆心重合，则阴影部分面积等于半圆环面积。

过点O 作AB 的垂线，交AB 于点E ，连接AO 。

根据垂径定理，AE=12
设大圆的半径为R ，小圆的半径为r 则根据勾股定理：R 2=r 2+122 图中：S 阴=1
2S 大圆−1
2S 小圆 =1
2π∙R 2−12π∙r 2 =12π∙（R 2−r 2）
π∙122 =1
2
=72π
三、难点题型
题型1 最短距离
解题技巧：圆锥侧面是立体图形，求两点之间的最短距离不好处理。

解决此类问题，需要将圆锥的侧面展开成扇形，则将立体图形转化为平面图形。

平面图形上，两点之间的连线最短。

例1.如图，已知圆锥的底面半径r，母线长OA=3r，C为母线OB的中点，在圆锥的侧面上，求一只蚂蚁从点A爬到点C的最短距离。

r
【答案】：3√3
2
【解析】：∵圆锥底面半径为r
∴圆锥底面周长C=2πr
∵圆锥底面周长等于侧面展开图弧长，设侧面展开图的圆心角为n°
∴2πr=2π∙3r∙n°
，解得：n=120°
360°
̂的中点，∴∠BOA=60°
∵点B是AA1
∵OA=OB，∴△OAB为等边三角形
∴OB=OA=AB=3r
∵点C是OB的中点
，AC⊥OB
∴CB=3r
2
r
∴AC=3√3
2
AC即最短距离
例2.已知圆锥的半径为20，高h=20√15。

已知蚂蚁从底边上一点A出发，在侧面上爬行一圈又回到A点，求蚂蚁爬行的最短距离。

【答案】：80√2
【解析】：将圆锥的侧面展开，如下图所示。

则最短距离即为A A/
∵h=20√15，r=20
∴根据勾股定理，母线长l=80
圆锥底面周长=2π∙20=80π
∵圆锥底面周长与扇形弧长相等，设扇形圆心角为n°
∴80π=2π∙80∙n°
，解得：n=90°
360°
∴△AE A/为等腰直角三角形
∴A A/=80√2。