2019届江西省重点中学高三下学期第一次联考数学(文)试题(word版)

2019届江西省重点中学高三下学期第一次联考
高三数学试卷（文科）
第Ⅰ卷（选择题共60分）
一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把正确答案填涂在答题卡上.）
1.是虚数单位，则( )
A. 2
B.
C. 4
D.
【答案】B
2.集合，，则 ( )
A. B. C. D.
【答案】C
3.经调查，某市骑行共享单车的老年人、中年人、青年人的比例为1:3:6，用分层抽样的方法抽取了一个容量为n的样本进行调查，其中中年人数为12人，则n=（）
A. 30
B. 40
C. 60
D. 80
【答案】B
4.“”是“方程表示焦点在轴上的双曲线”的（）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
5.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当时，f(x)=，，则实数（）
A. B. C. D.
【答案】D
6.已知等差数列中，，则数列的前2018项和为（）
A. 1008
B. 1009
C. 2017
D. 2018
【答案】D
7.已知点为圆上一点，,则的最大值为（）
A. B. C. D.
【答案】C
8.已知函数，且，则的最小值为（）
A. B. C. D.
【答案】C
9.某几何体的三视图如图所示，若该几何体中最长的棱长为，则该几何体的体积为（）
A. B. C. D.
【答案】A
10.已知分别是椭圆的上下两个焦点，若椭圆上存在四个不同点,使得的面积为
，则椭圆的离心率的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】A
11.在平面四边形中，，，，现沿对角线折起，使得平面
平面，则此时得到的三棱锥外接球的表面积为（）
A. B. C. D.
【答案】B
12.已知函数,若关于的方程有个不相等的实数根，则
实数的取值范围为（）
A. B. C. D.
【答案】D
第Ⅱ卷（非选择题，共80分）
二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡上）
13.已知向量，，则向量在上的投影为_________．
【答案】
14.在平面直角坐标系中，若满足约束条件，则的最大值为____.
【答案】
15.若过定点的直线与曲线相交不同两点，，则直线的斜率的取值范围是__________．【答案】
16.在如图所示的四边形区域中，，，,现园林绿化师计划在区域外以为边增加景观区域,当时，景观区域面积的最大值为____.
【答案】
三、解答题（本大题共7小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤.）
（一）必考题：共60分.
17.已知正项数列是公差为的等差数列，且是与的等比中项.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和.
【答案】(1) (2)
【解析】
【详解】（1）∵数列是公差为的等差数列，
∴
∴又是与的等比中项，
，
∴解得舍掉）
故数列的通项公式为
，
【点睛】本题考查求数列通项公式，数列求和，注意的提系数，和裂项后剩余几项是易错点.
18.进入月份，香港大学自主招生开始报名，“五校联盟”统一对五校高三学生进行综合素质测试，在所有参加测试的学生中随机抽取了部分学生的成绩，得到如图所示的成绩频率分布直方图：
（1）估计五校学生综合素质成绩的平均值；
（2）某校决定从本校综合素质成绩排名前名同学中，推荐人参加自主招生考试，若已知名同学中有名理科生，2名文科生，试求这3人中含文科生的概率.
【答案】(1) 平均值为 (2)
【解析】
【分析】
（1）利用频率分布直方图平均值公式求解即可；（2）由列举法，从6人中选出3人，所有的可能的结果共20种，含有文科学生的有16种，求解即可.
【详解】（1）依题意可知：
，
所以综合素质成绩的的平均值为.
（2）设这名同学分别为其中设为文科生，
从6人中选出3人，所有的可能的结果
共20种，
其中含有文科学生的有
16种
所以含文科生的概率为.
【点睛】本题考查频率分布直方图平均值，古典概型，是基础题，注意运算平均值要准确.
19.如图，在三棱锥中，面，∠BAC=，且=1，过点作平面，分别交
于点.
（1）若求证：为的中点；
（2）在（1）的条件下，求点到平面的距离．
【答案】(1)见证明(2)
【解析】
【分析】
（1）取中点，连接,证明面，进而，；（2）利用
等体积转化即可.
【详解】（1）取中点，连接
∵∴，
∵面，
∴，又
为的中点，为的中点
（2）设点到平面的距离为，
∵为的中点，
又，，∴，
∵∴
又，，AM=，
可得边上的高为，
∴
由
∴h=
【点睛】本题考查线面垂直的判定，点到面的距离，是中档题，熟练运用定理性质,及求是关键. 20.已知动圆过定点,且在轴上截得的弦长为，设该动圆圆心的轨迹为曲线.
（1）求曲线的方程；
（2）直线过曲线的焦点，与曲线交于、两点，且,都垂直于直线，垂足分别为，直线与轴的交点为,求证为定值.
【答案】(1) (2)见证明
【解析】
【分析】
（1）设动圆圆心坐标为C(x,y)，由题意得，能求出曲线方程；（2）设
代入
【详解】（Ⅰ）设动圆圆心坐标为C(x,y)，根据题意得
，
化简得
（Ⅱ）设，,由题意知的斜率一定存在设，
则，得所以，，
，
又
=
【点睛】本题考查轨迹方程，直线与抛物线位置关系，面积公式及定值问题，是综合题，要注意转化为以FQ为底比较简便.
21.已知函数
（1）讨论函数的单调性；
（2）令，若对任意的，恒有成立，求实数的最大整数.
【答案】（1）见解析（2）7
【解析】
【分析】
（1）讨论和两种情况；（2）由成立转化
为，分离k,构造函数求最值即可.
【详解】（1）此函数的定义域为，
（1）当时，在上单调递增，
（2）当时，单调递减，单调增
综上所述：当时，在上单调递增
当时，单调递减，单调递增.
（2）由（Ⅰ）知
恒成立，则只需恒成立，
则
，
令则只需
则单调递减，
单调递增，
即的最大整数为
【点睛】本题考查利用导数研究函数单调性，求最值，考查双变元恒成立问题，综合性强,第二问转化为
是关键.
（二）选考题（共10分.请考生在第22、23题中任选一道
．．．．作答，如果多做，则按所做的第1题计分.）
22.在平面直角坐标系中，直线过点，且倾斜角为，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（Ⅰ）写出直线的参数方程及曲线的直角坐标方程；
（Ⅱ）若直线与曲线交于，两点，且弦的中点为，求的值.
【答案】(1) (2)2+2
【解析】
【分析】
(1)利用直线参数方程公式，及极坐标与直角坐标互化即可求解；（2）将直线参数方程公式代入圆的普通方程，利用韦达定理及中点参数
【详解】(1)直线的参数方程为：为参数），
曲线的直角坐标方程为：
（2）直线的参数方程代入得：
【点睛】本题考查直线参数方程，极坐标与直角坐标互化，直线与圆的位置关系，是基础题，注意弦中点参数t=
23.已知函数.
（Ⅰ）解关于的不等式；
（Ⅱ）若，的解集非空，求实数的取值范围.
【答案】（1）（2）
【解析】
试题分析：第一步根据解含绝对值不等式，化为两个一元二次不等式分别解出，找出不等式的解集，第二步写出关于的不等式，得到不等式等价于的解集非空，根据“极值原理”，只需大于的最小值，根据绝对值三角不等式求出最值，得到的取值范围.
试题解析：
（1）原不等式可化为：
即：或
由得或
由得或
综上原不等式的解为或
（2）原不等式等价于的解集非空，
令，即，
由，所以，
所以.
【点睛】解含有绝对值的不等式有三种方法，第一种只含有一个绝对值符号，一般使用公式：
，；第二种不等式两边均有一个绝对值符号的，可采用两边平方；第三种含有两个绝对值符号的一般采用零点分区间讨论，利用定义讨论去掉绝对值符号是一种解决绝对值问题的通法，必须灵活会用，分离参数，利用“极值原理”求参数的取值范围是常见题型常用方法.。