高考数学第一轮复习 第六篇 第2讲 一元二次不等式及其解法课件 理 新人教A版

规律方法
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用不等式(组)表示(biǎoshì)不
考
等关系题
点
【训练 1】(2013·江苏卷)已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数．当 x＞0
时，f(x)＝x2－4x，则不等式 f(x)＞x 的解集用区间表示为________．
解 ∵f(x)是定义在 R 上的奇函数，∴f(0)＝0，又当 x＜0 时，－x＞0，
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一元(yī yuán)二次不等式的解法
考 点
接上 f(x)＝－x2＋2x＋3 ∴f(－2x)＝－4x2－4x＋3， 由－4x2－4x＋3＜0， 得 4x2＋4x－3＞0， 解得 x＞12或 x＜－32，故选 A.
f(x)=4x2＋4x－3
解一元二次不等式时，当二次项系数为负时要先化为正，再 根据判别式符号判断对应方程根的情况，然后(ránhòu)结合相应 二次函数的图象写出不等式的解集．
①当 a＝0 时，原不等式化为 x＋1≤0，
2
② ③解解 当当得得aa＜＞xx≥0≤0 时2a时－或，，1x.原原≤不不－等等1.式式化化为为xx－－2a2a((xx＋＋11)≤)≥00. ，
a
当2a＞－1，即 a＜－2 时，解得－1≤x≤a2；
当2a＝－1，即 a＝－2 时，解得 x＝－1 满足题意；
小关系，从而确定解集形式．
规律方法
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训练 2 (1)关于 x 的不等式 x2－2ax－8a2<0(a>0)的解集为(x1，x2)，且
x2－x1＝15，则 a 等于(
)．A.52
7 B.2
15 C. 4
15 D. 2
法一∵不等式 x2－2ax－8a2＜0 的解集为(x1，x2)，
∴x1，x2 是方程 x2－2ax－8a2＝0 的两根． 由根与系数的关系知
解集为x0＜x＜2a
；当
a＜0
时，不等式解集为xa2
＜x＜0.
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一元(yī yuán)二次不等式恒成立
考
问题
点
解（1）
由题意可得 m＝0 或mΔ＝＜m0，2＋4m＜0
Y
⇔m＝0 或－4＜m＜0
O
X
⇔－4＜m≤0. 故 m 的取值范围是(－4,0]．
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例 3 (2)若对于 x∈[1,3]，f(x)＜5－m 恒成立，求实数 m 的取值范围．
所以 g(x)max＝g(1)⇒m－6＜0，
所 综以 上所m述 ＜： 6，m所的以取m值＜范0.围是mm＜67
.
对称轴 x 1
2
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例 3 (2)若对于 x∈[1,3]，f(x)＜5－m 恒成立，求实数 m 的取值范围．
(2)法二 ∵f(x)＜－m＋5⇔m(x2－x＋1)＜6， ∵只x需2－求x＋x2－1＞6x＋0，1的∴最m小＜值x2，－记6x＋g(1x对)＝于x2x－∈6x[＋1,31]，恒x成∈立[1,，3]， 记 h(x)＝x2-x+1＝x－122＋34， h(x)在 x∈[1,3]上为增函数．
即 ax(ax－2)＜0，当 a＝0 时，x∈∅. 当 a＞0 时，由 ax(ax－2)＜0，
等式求解时，一般要对 参数进行讨论，讨论时 的分界点一般一是由定
得 a2xx－2a＜0， 即 0＜x＜a2.当 a＜0 时，2a＜x＜0.
抛物线开口方向、二是 由区分两根大小，这两 方面来确定分界点。
综上所述：当 a＝0 时，不等式解集为空集；当 a＞0 时，不等式
(2)法一 要使 f(x)＜－m＋5 在[1,3]上恒成立，
即 mx－122＋34m－6＜0 在 x∈[1,3]上恒成立．
令
当
mg(＞x)0＝时m，xg－(x12)在2＋[1,343]m上－是6增，函x∈数，[1,3]．
所以 g(x)max＝g(3)⇒7m－6＜0， 所以 m＜76，则 0＜m＜76； 当 m＝0 时，－6＜0 恒成立； 当 m＜0 时，g(x)在[1,3]上是减函数，
A.－∞，－32∪12，＋∞ B.－32，12 C.－∞，－12∪32，＋∞ D.－12，32
解 由 f(x)＞0，得 ax2＋(ab－1)x－b＞0， 又其解集是(－1,3)，∴a＜0.且1－－abaa＝b－ ＝23， ， 解得 a＝－1 或13，∴a＝－1，b＝－3.
∴f(x)＝－x2＋2x＋3，
x1＋x2＝2a， x1x2＝－8a2， ∴x2－x1＝ x1＋x22－4x1x2
＝ 2a2－4－8a2 ＝15，
又∵a＞0， ∴a＝25，故选 A.
法二 由 x2－2ax－8a2<0，
得(x＋2a)(x－4a)<0，
∵a＞0，∴不等式 x2－2ax －8a2＜0 的解集为(－2a,4a)，
又∵不等式 x2－2ax－8a2＜0
则 g(x)在[1,3]上为减函数， h(x)必须在给定的
∴[g(x)]min＝g(3)＝67， ∴m＜67.
区间上恒正或负 ，才与g(x)单调性
所以 m 的取值范围是－∞，67.
相反(xiāngfǎn)。 想想为什么？
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规律方法
一元(yī yuán)二次不等式恒 成立问题
(1)不等式 ax2＋bx＋c＞0 的解是全体实数(或恒成立)的 条件是当 a＝0 时，b＝0，c＞0；当 a≠0 时，aΔ＞＜00，. 不等 式 ax2＋bx＋c＜0 的解是全体实数(或恒成立)的条件是当 a ＝0 时，b＝0，c＜0；当 a≠0 时，aΔ＜＜00，.
∴f(－x)＝x2＋4x. 又 f(x)为奇函数，
x2－4x，x＞0，
∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)＝－x2－4x(x＜0)，∴f(x)＝0，x＝0，
(1)当 x＞0 时，由 f(x)＞x 得 x2－4x＞x，解得 x＞5；－x2－4x，x＜0.
(2)当 x＝0 时，f(x)＞x 无解；
(3)当 x＜0 时，由 f(x)＞x 得－x2－4x＞x，
知识与方法 (fāngfǎ)回顾
技能与规律探究
知识梳理 辨析感悟
探究 一 一元二次不等式的 解法
探究二 含参数的一元二次 不等式的解法
探究三 一元二次不等式 恒成立问题
经典题目再现
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例1 训练1
例2 训练2
例3 训练3
1．一元(yī yuán)二次不等 式的解法
(1)将不等式的右边化为零，左边化为二次项系数大 于零的不等式 ax2＋bx＋c＞0(a＞0)或 ax2＋bx＋c＜0(a＞0)．
3．含参数的不等式的求解，注意选好分类标准，避免盲目讨 论．
4．对于恒成立问题，常用到以下两个结论： (1)a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max； (2)a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min；
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经典题目再现
【训练】 已知 f(x)＝x2－2ax＋2(a∈R)，当 x∈[－1，＋∞)时，
三是解含参数的一元二次不等式，可先考虑因式分解， 再对根的大小进行分类讨论；若不能因式分解，则可对判别 式进行分类讨论，分类要不重不漏．
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一元(yī yuán)二次不等式的解法
考 点
例 1 (2014·大连模拟)已知函数 f(x)＝(ax－1)(x＋b)，如果不等式 f(x)＞0 的解集是(－1,3)，则不等式 f(－2x)＜0 的解集是( )．
当2a＜－1，即 a＞－2，解得a2≤x≤－1.
2 a
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含参数(cānshù)的一元二次不等式
考
的解法
点
综上所述,当 a＝0 时,不等式的解集为{x|x≤－1};当 a＞0 时，
不等式的解集为xx≥2a，或x≤－1
;当－2＜a＜0 时，不等
式的解集为x2a≤x≤－1
；当 a＝－2 时，不等式的解集为
{x|x＝－1}；当 a＜－2 时，不等式的解集为x－1≤x≤2a
.
解含参数的一元二次不等式分类讨论的依据
(1)二次项中若含有参数应讨论是小于0，等于0，还是大于0， 然后(ránhòu)将不等式转化为二次项系数为正的形式．
(2)当不等式对应方程(fāngchéng)的根的个数不确定时,讨论判别式Δ 与 (3)0确的定关无系根．时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大
恒成立，则 a 的取值范围是( )．
A.－∞，1－2
3
B.1＋2 3，＋∞
C.－∞，1－2 3∪1＋2 3，＋∞
D.1－2
3，1＋2
3
要由解使基（本a22）－ 不∵等 a≥x式 x∈＋1得(1x0在,x2＋]，xx1∈∴≥(20a，,22－当]时a且≥恒x仅2成＋x当立1＝x，＝x则＋11 a时1x2.－，a等≥号x＋1成1x立ma，x，
即x＋1 x1max＝21.
故 a2－a≥21，
解得
1－ a≤ 2
3或
1＋ a≥ 2
3 .
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----课堂(kètáng)小结----
1．解不等式的基本思路是等价转化，分式不等式整式化，使 要求解的不等式转化为一元一次不等式或一元二次不等式，进而 获得解决．
2．当判别式 Δ＜0 时，ax2＋bx＋c＞0(a＞0)解集为 R；ax2＋ bx＋c＜0(a＞0)解集为∅.二者不要混为一谈．
(2)计算相应的判别式． (3)当 Δ≥0 时，求出相应的一元二次方程的根． (4)利用二次函数的图象与 x 轴的交点确定一元二次 不等式的解集．
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2．三个“二次”间的关系 (guān xì)
x x x2
或x x1
x
x
b
2a
一元二次不等式的解法(jiě fǎ)的 理解
(2)含参数的一元二次不等式在某区间内恒成立问题， 常有两种处理方法：一是利用二次函数区间上的最值来处 理；二是先分离出参数，再去求函数的最值来处理，一般后 者比较简单．
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一元二次不等式恒成立
考
(chénglì)问题
点
训练 3 (1)若关于 x 的不等式 ax2＋2x＋2＞0 在 R 上恒成立，则实数
最小值为－52.( )
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三个防范
一是当Δ＜0 时，ax2＋bx＋c＞0(a≠0)的解集为 R 还是∅， 要注意区别，如(4)中当 a＞0 时，解集为 R；当 a＜0 时，解 集为∅.
二是对于不等式 ax2＋bx＋c＞0 求解时不要忘记讨论 a ＝0 时的情形，如(5)中当 a＝b＝0，c≤0 时，不等式 ax2＋bx ＋c≤0 在 R 上也是恒成立的．
a 的取值范围是________．
解（1）当 a＝0 时，原不等式可化为 2x＋2＞0，其解集不为 R，
故 a＝0 不满足题意，舍去； 当 a≠0 时，要使原不等式的解集为 R， 只需aΔ＞＝02，2－4×2a＜0，解得 a＞12. 综上，所求实数 a 的取值范围是12，＋∞.
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(2)(2014·淄博模拟)若不等式(a－a2)(x2＋1)＋x≤0 对一切 x∈(0,2]
(1)(2013·广东卷改编)不等式 x2＋x－2＜0 的解集为－2＜x＜1.( ) (2)若不等式 ax2＋bx＋c＜0 的解集为(x1，x2)，则必有 a＞0.( ) (3)若不等式 ax2＋bx＋c＞0 的解集是(－∞，x1)∪(x2，＋∞)，则方
程 ax2＋bx＋c＝0 的两个根是 x1 和 x2.( ) (4)若方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，
则不等式 ax2＋bx＋c＞0 的解集为 R.( )
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2．对一元二次不等式恒成立(chénglì)的 认识
(5)不等式 ax2＋bx＋c≤0 在 R 上恒成立的条件是 a＜0 且 Δ＝b2－4ac≤0.( )
(6)若关于 x 的不等式 ax2＋x－1≤0 的解集为 R，则 a≤－14.( ) (7)若不等式 x2＋ax＋1≥0 对 x∈0，12恒成立，则 a 的
的解集为(x1，x2)，
∴x1＝－2a，x2＝4a.
∵x2－x1＝15， ∴4a－(－2a)＝15，解得
a＝52，
故选 A.
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含参数的一元(yī yuán)二次不等式
的解法
考 点
训练 2 (2)解关于 x 的不等式(1－ax)2＜1.
解（2）由(1－ax)2＜1，得 a2x2－2ax＜0， 含有参数的一元二次不
解得－5＜x＜0.
综上得不等式 f(x)＞x 的解集用区间表示为 (－5,0)∪(5，＋∞)．答案 (－5,0)∪(5，＋∞)
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含参数(cānshù)的一元二次不等
考
式的解法
点
例 2 (2013·烟台期末)解关于 x 的不等式：ax2－2≥2x－ax(a∈R)．
(1)解 原不等式可化为 ax2＋(a－2)x－2≥0.