2021届高三数学二轮复习 函数与方程及函数的实际应用专题能力提升训练 理

函数与方程及函数的实际应用
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．函数f (x )＝－1
x
＋log 2x 的一个零点落在下列哪个区间
( )．
A ．(0,1)
B ．(1,2)
C ．(2,3)
D ．(3,4)
2．在用二分法求方程x 3
－2x －1＝0的一个近似解时，现在已经将一根锁定在区间(1,2)内，则下一步可断定该根所在的区间为
( )．
A ．(1.4,2)
B ．(1.1,4)
C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32
D.⎝ ⎛⎭
⎪⎫32，2 3．设函数f (x )＝1
3
x －ln x ，则函数f (x )
( )．
A ．在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1，(1，e)内均有零点
B ．在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1，(1，e)内均无零点
C ．在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1内有零点，在(1，e)内无零点
D ．在区间⎝ ⎛⎭
⎪⎫1e ，1内无零点，在(1，e)内有零点 4．已知f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＋3，x ≤1，
－x 2
＋2x ＋3，x ＞1，则函数g (x )＝f (x )－e x
的零点个数为
( )．
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
5．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x 件，则平均仓储时间为x
8天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品
( )．
A ．60件
B ．80件
C ．100件
D ．120件
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．已知0＜a ＜1，函数f (x )＝a x
－|log a x |的零点个数为________．
7．已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫15x
－log 3x ，若x 0是函数y ＝f (x )的零点，且0＜x 1＜x 0，则
f (x 1)________0(填“＞”、“＜”、“≥”、“≤”)．
8．设函数y ＝x 3
与y ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫12x －2的图象的交点为(x 0，y 0)，若x 0所在的区间是(n ，n ＋1)(n ∈Z )，
则n ＝________.
三、解答题(本题共3小题，共35分)
9．(11分)经市场调查，某超市的一种小商品在过去的近20天内的销售量(件)与价格(元)均为时间t (天)的函数，且销售量近似满足g (t )＝80－2t (件)，价格近似满足f (t )＝20－1
2|t
－10|(元)．
(1)试写出该种商品的日销售额y 与时间t (0≤t ≤20)的函数表达式； (2)求该种商品的日销售额y 的最大值与最小值． 10．(12分)已知二次函数f (x )＝x 2
－16x ＋q ＋3.
(1)若函数在区间[－1,1]上存在零点，求实数q 的取值范围；
(2)问是否存在常数t (t ≥0)，当x ∈[t,10]时，f (x )的值域为区间D ，且区间D 的长度为12－t .
11．(12分)设函数f (x )＝x 3
－92
x 2＋6x －a .
(1)对于任意实数x ，f ′(x )≥m 恒成立，求m 的最大值； (2)若方程f (x )＝0有且仅有一个实根，求a 的取值范围．
参考答案
1．B [根据函数的零点存在定理，要验证函数的零点的位置，只要求出函数在区间的两个端点上的函数值，得到结果，根据函数的零点存在定理得到f (1)·f (2)＜0.故选B.] 2．D [令f (x )＝x 3
－2x －1，
则f (1)＝－2<0，f (2)＝3>0，f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫32＝－58<0. 故下一步可断定该根所在区间为⎝ ⎛⎭
⎪⎫32，2.]
3．D [∵f ′(x )＝13－1x ＝x －33x ，当x ∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫1e ，e 时，f ′(x )＜0， ∴f (x )在⎝ ⎛⎭
⎪⎫1e ，e 上单调． f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e
＝1
3e
－ln 1e ＝1＋13e ＞0，f (1)＝13－ln 1＝13
＞0， f (e)＝e 3
－ln e ＜0，所以f (x )在(1，e)内有零点．]
4．B [在同一平面直角坐标系中画出函数y ＝f (x )与y ＝e x
的图象，结合图形可知，它们有两个公共点，因此函数g (x )＝f (x )－e x
的零点个数是2，选B.]
5．B [若每批生产x 件产品，则每件产品的生产准备费用是800x ，存储费用是x
8，总的费用是
800x ＋x
8
≥2800x ·x 8＝20，当且仅当800x ＝x
8
时取等号，即x ＝80.] 6．解析 分别画出函数y ＝a x
(0＜a ＜1)与y ＝|log a x |(0＜a ＜1)的图象，如图所示．
答案 2
7．解析 当x ＝x 0时，
f (x 0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫15
x 0－log 3x 0＝0，
当0＜x 1＜x 0时，
f (x 1)＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫15
x 1－log 3x 1＞0，
如图所示．
答案 ＞
8．解析 由函数图象知，1＜x 0＜2.
答案 1
9．解 (1)y ＝g (t )·f (t )＝(80－2t )·⎝ ⎛⎭⎪⎫20－12|t －10| ＝(40－t )(40－|t －10|)
＝⎩
⎪⎨⎪
⎧
30＋t 40－t ，0≤t ＜10，
40－t
50－t ，10≤t ≤20.
(2)当0≤t ＜10时，y 的取值范围是[1 200,1 225]， 在t ＝5时，y 取得最大值为1 225；
当10≤t ≤20时， y 的取值范围是[600,1 200]， 在t ＝20时，y 取得最小值为600.
总之，第5天日销售额y 取得最大值为1 225元；第20天日销售额y 取得最小值为600元．
10．解 (1)∵函数f (x )＝x 2
－16x ＋q ＋3的对称轴是x ＝8，
∴f (x )在区间[－1,1]上是减函数． ∵函数在区间[－1,1]上存在零点，则必有⎩⎪⎨⎪⎧
f 1≤0，
f
－1≥0，
即⎩⎪⎨⎪
⎧
1－16＋q ＋3≤0，1＋16＋q ＋3≥0，
∴
－20≤q ≤12.
(2)∵0≤t ＜10，f (x )在区间[0,8]上是减函数，在区间[8,10]上是增函数，且对称轴是x ＝8.
①当0≤t ≤6时，在区间[t,10]上，f (t )最大，f (8)最小， ∴f (t )－f (8)＝12－t ，即t 2
－15t ＋52＝0，
解得t ＝15±172，∴t ＝15－17
2
；
②当6＜t ≤8时，在区间[t,10]上f (10)最大，f (8)最小， ∴f (10)－f (8)＝12－t ，解得t ＝8；
③当8＜t ＜10时，在区间[t,10]上，f (10)最大，f (t )最小， ∴f (10)－f (t )＝12－t ，即t 2
－17t ＋72＝0， 解得t ＝8或t ＝9，∴t ＝9.
综上可知，存在常数t ＝15－17
2， 8,9满足条件．
11．解 (1)f ′(x )＝3x 2
－9x ＋6＝3(x －1)(x －2)，
因为x ∈(－∞，＋∞)，f ′(x )≥m ， 即3x 2
－9x ＋(6－m )≥0恒成立， 所以Δ＝81－12(6－m )≤0，得m ≤－3
4，
即m 的最大值为－3
4
.
(2)因为当x ＜1时，f ′(x )＞0；
当1＜x ＜2时，f ′(x )＜0；当x ＞2时，f ′(x )＞0； 所以当x ＝1时，f (x )取极大值f (1)＝5
2－a ；
当x ＝2时，f (x )取极小值f (2)＝2－a ； 故当f (2)＞0或f (1)＜0时， 方程f (x )＝0仅有一个实根． 解得a ＜2或a ＞5
2.
附：什么样的考试心态最好
大部分学生都不敢掉以轻心，因此会出现很多过度焦虑。

想要不出现太强的考试焦虑，那么最好的办法是，形成自己的掌控感。

1、首先，认真研究考试办法。

这一点对知识水平比较高的考生非常重要。

随着重复学习的次数增加，我们对知识的兴奋度会逐渐下降。

最后时刻，再去重复学习，对于很多学生已经意义不大，远不如多花些力气，来思考考试。

很多老师也会讲解考试的办法。

但是，老师给你的办法，不能很好地提高你对考试的掌控感，你要找到自己的一套明确的考试办法，才能最有效地提高你的掌控感。

有了这种掌控感，你不会再觉得，在如此关键性的考试面前，你是一只被检验、被考察甚至被宰割的绵羊。

2、其次，试着从考官的角度思考问题。

考官，是掌控考试的;考生，是被考试考验的。

如果你只把自己当成一个考生，你难免会惶惶不安，因为你觉得自己完全是个被摆布者。

如果从考官的角度去看考试，你就成了一名主动的参与者。

具体的做法就是，面对那些知识点，你想像你是一名考官，并考虑，你该用什么形式来考这个知识点。

高考前两个半月，我用这个办法梳理了一下所有课程，最后起到了匪夷所思的效果，令我在短短两个半月，从全班第19名升到了全班第一名。

当然，这有一个前提——考试范围内的知识点，我基本已完全掌握。

3、再次，适当思考一下考试后的事。

如觉得未来不可预测，我们必会焦虑。

那么，对未来做好预测，这种焦虑就会锐减。

这时要明白一点：考试是很重要，但只是人生的一个重要瞬间，所谓胜败也只是这一瞬间的胜败，它的确会带给我们很多，但它远不能决定我们一生的成败。