河北省保定市2018届高考第一次模拟考试数学(文)试题含答案

2018年高三第一次模拟考试
文科数学试题
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合{}2,1,1,2A =--，集合{}
|B k A y kx R =∈=在上为增函数，则A B 的子集
个数为（ ）
A ．1
B ． 2
C ． 3
D ．4
2. 设a 为1i -的虚部，b 为()2
1i +的实部，则a b +=（ ） A ． -1 B ． -2 C ． -3 D ．0
3.已知具有线性相关的变量,x y ，设其样本点为()(),1,2,
,8i i i A x y i =，回归直线方程为
1
ˆ2y
x a =+，若()1186,2OA OA OA +++=，
（O 为原点），则a = （ ） A ．18 B ．18- C ．14 D ．14-
4. 已知非向量()(),2,,2a x x b x ==-，则0x <或4x >是向量a 与b 夹角为锐角的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C. 充要条件 D ．既不充分也不必要条件
5.已知00:,5100n
p n N ∃∈<，则p ⌝为（ ）
A ．,5100n n N ∀∈<
B ．,5100n
n N ∀∈≥ C. 00,5100n
n N ∃∈≥ D ．0
0,5
100n n N ∃∈>
6.2002年国际数学家大会在北京召开，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计.弦图是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）.如果小正方形的边
长为2，大正方形的边长为10，直角三角形中较小的锐角为θ，则s i n
c o s 23ππθθ⎛
⎫
⎛⎫+-+=
⎪ ⎪⎝
⎭
⎝⎭
（ ）
A B D
7.如图所示的程序框图中，输出的S 为 （ ）
A ．99223-
B ．100223- C. 101223- D ．10222
3
-
8. 已知函数()f x 既是二次函数又是幂函数，函数()g x 是R 上的奇函数，函数
()()
()11
g x h x f x =
++，则
()()()()()()()()()201820172016101201620172018h h h h h h h h h +++
+++-+-+-+-=
（ ）
A ．0
B ． 2018 C. 4036 D ．4037 9. 如图是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）
A +
D ．
10. 已知向量44sin ,cos 22x x a ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，向量()1,1b =，函数()f x a b =，则下列说法正确的是（ ）
A ．()f x 是奇函数
B ．()f x 的一条对称轴为直线4
x π
=
C. ()f x 的最小正周期为2π D ．()f x 在,42ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
上为减函数 11.已知双曲线
()22
2109x y b b
-=>的左顶点为A ，虚轴长为8，右焦点为F ，且F 与双曲线的渐近线相切，若过点A 作
F 的两条切线，切点分别为,M N ，则MN = （ ）
A ．8 B
．
．12.定义在R 上的偶函数()f x 满足()()1f x f x +=-，当[]0,1x ∈时，()21f x x =-+，设
函数()()1
1132x g x x -⎛⎫
=-<< ⎪
⎝⎭
，则函数()f x 与()g x 的图象所有交点的横坐标之和为
（ ）
A ．2
B ．4 C. 6 D ．8
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上
13.抛物线的顶点在原点，焦点在x 轴上，抛物线上的点()2,P a -到焦点的距离为3，则
a = ．
14.甲、乙、丙三个各自独立地做同一道数学题，当他们都把自己的答案公布出来之后， 甲说：我做错了； 乙说：丙做对了； 丙说：我做错了．
在一旁的老师看到他们的答案并听取了他们的意见后说：“你们三个人中有一个人做对了，有一个说对了.”
请问他们三个人中做对了的是 ．
15.已知实数,x y 满足220
2200x y x y x y --≥⎧⎪
++≥⎨⎪-≥⎩
，若32z x y =-取得最小值时的最优解(),x y 满足
()20ax by ab +=>，则
4a b
ab
+的最小值为 ． 16.已知,,a b c 分别为ABC ∆的三个内角,,A B C 的对边，3,2a b ==，且
22cosB a 4
ac b =-+
，则B = ． 三、解答题 ：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.
17. 已知数列{}n a 满足：()
1122,n n n a a a n n N ++-=+≥∈，且121,2a a ==. （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）若数列{}n b 满足()
*1121,n n n n a b a b n n N ++=≥∈，且11b =.求数列{}n b 的通项公式，并求其前n 项和n T .
18.某大学导师计划从自己所培养的研究生甲、乙两人中选一人，参加雄安新区某部门组织的计算机技能大赛，两人以往5次的比赛成绩统计如下：（满分100分，单位：分）.
（1）试比较甲、乙二人谁的成绩更稳定；
（2）在一次考试中若两人成绩之差的绝对值不大于2，则称两人“实力相当”.若从上述5次成绩中任意抽取2次，求恰有一次两人“实力相当”的概率. 19. 如图，四棱台1111A B C D ABCD -中，1A A ⊥底面
111,2ABCD A B A A AB AC ===，平面11A ACC ⊥平面11,C CDD M 为1C C 的中点.
（1）证明：1AM D D ⊥；
（2）若0
30ABC ∠=，且AC BC ≠，求点A 到平面11B BCC 的距离.
20. 椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为12，且过点31,2⎛
⎫- ⎪⎝
⎭.
（1）求椭圆C 的方程；
（2）设(),P x y 为椭圆C 上任一点，F 为其右焦点，点P '满足()4,0PP x '=-. ①证明：
PP PF
'为定值；
②设直线1
2
y x m =
+与椭圆C 有两个不同的交点A B 、，与y 轴交于点M .若,,AF MF BF 成等差数列，求m 的值.
21. 已知函数()a f x x x
=+
. （1）判断函数()f x 的单调性；
（2）设函数()ln 1g x x =+，证明:当 ()0,x ∈+∞且0a >时，()()f x g x >.
（二）选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，并用2B 铅笔将答题卡上所选题目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分.
22.在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为21x t y t a =⎧⎪
⎨=⎪⎩
（t 为参数，0a >）
，在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线:cos sin 0l b ρθρθ-+=与
2:4cos C ρθ=-相交于A B 、两点，且090AOB ∠=.
（1）求b 的值；
（2）直线l 与曲线1C 相交于M N 、，证明：22C M C N （2C 为圆心）为定值. 23. 已知函数()1f x x =+.
（1）解关于x 的不等式()2
10f x x -+>；
（2）若函数()()()1g x f x f x m =-++，当且仅当01x ≤≤时，()g x 取得最小值，求
()1,2x ∈-时，函数()g x 的值域.
试卷答案
一、选择题
1-5: DABBB 6-10: ACDCD 11、12：DB
二、填空题
13. ± 14. 甲 15. 9 16.
6
π
（或30°） 三、解答题
17.解：（1）由()
*1122,n n n a a a n n N +-=+≥∈知
数列{}n a 为等差数列，且首项为1，公差为211a a -=，所以n a n =； （2）∵()121n n nb n b +=+， ∴
()11112n n b b n n n +=≥+，∴数列n b n ⎧⎫⎨⎬
⎩⎭
是以111b =为首项，1
2为公比的等比数列， 1
12n n b n -⎛⎫= ⎪⎝⎭，从而1
2
n n n
b -=
， 012
21123122222n n n n n T ---=
++++
+，23111231222222n
n n
n n
T --=+++++， ∴2111111122121222
222212
n
n n n n n
n n n T --+=+
+++-=-=--， 所以1
2
42n n n T -+=-
. 18.解：（1）∵90,90x x ==甲乙，
2231.6,50S S ==甲乙， 22S S <甲乙，
∴甲的成绩更稳定；
（2）考试有5次，任选2次，基本事件有()87,100和()87,80，()87,100和()84,85，()
87,100
和()100,95，()87,100和()92,90，()87,80和()84,85，()87,80和()100,95，()87,80和
()92,90，()84,85和()100,95，()84,85和()92,90，()100,95和()92,90共10个，
其中符合条件的事件有()87,100和()84,85，()87,100和()92,90，()87,80和()84,85，
()87,80和()92,90，()84,85和()100,95，()100,95和()92,90共有6个，
则5次考试，任取2次，恰有一次两人“实力相当”的概率为
63105
=， 另法：这5次考试中，分数差的绝对值分别为13，7，1，5，2，则从中任取两次，分差绝对值的情况为()()()()()()()()()()13,7,13,1,13,5,13,2,7,1,7,5,7,2,1,5,1,2,5,2共10种， 其中符合条件的情况有()()()()()()13,1,13,2,7,1,7,2,1,5,5,2共6种情况， 则5次考试，任取2次，恰有一次两人“实力相当”的概率为63105
=. 19.（1）证明：连接1AC ，
∵1111A B C D ABCD -为四棱台，四边形1111A B C D 四边形ABCD ，
∴
111112A B AC
AB AC
==，由2AC =得，111AC =， 又∵1A A ⊥底面ABCD ，∴四边形11A ACC 为直角梯形，可求得12C A =， 又2,AC M =为1CC 的中点，所以1AM C C ⊥，
又∵平面11A ACC ⊥平面11C CDD ，平面11A ACC ⋂平面111C CDD C C =， ∴AM ⊥平面111,C CDD D D ⊂平面11C CDD ， ∴1AM D D ⊥； （2）解：
在ABC ∆
中，0
2,30AB AC ABC ==∠=，利用余弦定理可求得，4BC =或2BC =，
由于AC BC ≠，所以4BC =，从而222AB AC BC +=，知AB AC ⊥， 又∵1A A ⊥底面ABCD ，则平面11A ACC ⊥底面,ABCD AC 为交线，
∴AB ⊥平面11A ACC ，所以1AB CC ⊥，由（1）知1,AM CC AB AM A ⊥⋂=， ∴1CC ⊥平面ABM （连接BM ），
∴平面ABM ⊥平面11B BCC ，过点A 作AN BM ⊥，交BM 于点N ， 则AN ⊥平面11B BCC ， 在Rt ABM ∆
中可求得AM BM =
=
AN =
， 所以，点A 到平面11B BCC
20.解：（1）由
1
2
c a =得2234a b =， 把点31,
2⎛⎫- ⎪⎝⎭代入椭圆方程为221914a b +=，∴221913a a
+=得2
4a =， ∴2
3b =，椭圆的标准方程为22
143
x y +=； （2）由（1）知22
1,143
x y c +==，
(1
42PF x x ====-，
而4PP x '=-，∴
2PP PF
'=为定值；
②直线12y x m =+与椭圆C 联立，22
121
43y x m x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得22
30x mx m ++-=， ()2243022m m m ∆=-->⇒-<<，
设112211,
,,22A x x m B x x m ⎛⎫⎛⎫
++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，则21212,3x x m x x m +=-=-， 由①知()()1211
4,422
AF x BF x =
-=-，
∴1244,22
x x m
AF BF MF ++=-=+=
∵,,AF MF BF 成等差数列，
∴2AF BF MF +=，即42m +
=解得125m =或4
3m =-， 又因为22m -<<，所以4
3
m =-.
21.解：（1）因为()()222
10a x a
f x x x x -'=-=≠，
①若()0,0a f x '≤>，∴()f x 在()(),0,0,-∞+∞为增函数；
②若0a >，则()200f x x a x '>⇒->⇒<x >
())
2000f x x a x x '<⇒-<⇒<<≠，
∴函数()f x 的单调递增区间为()
,,-∞+∞，
单调递减区间为()(,；
（2）令()()()()ln 10a
h x f x g x x x x x
=-=+-->，()222
11a x x a h x x x x --'=--=， 设()20p x x x a =--=的正根为0x ，所以2
000x x a --=，
∵()1110p a a =--=-<，∴01x >，
()h x 在()00,x 上为减函数，在()0,x +∞上为增函数， ()()2000000000min
00
ln 1ln 12ln 2x x a
h x h x x x x x x x x x -==+--=+--=--，
令()()2ln 21F x x x x =-->，
()121
20x F x x x
-'=-
=>恒成立，所以()F x 在()1,+∞上为增函数， 又∵()12020F =--=，∴()0F x >，即()min 0h x >，
所以，当()0,x ∈+∞时，()()f x g x >.
22.（1）解：直线l 和圆2C 的普通方程分别为()2
20,24x y b x y -+=++=，
090AOB ∠=，∴直线l 过圆2C 的圆心()22,0C -，所以20,2b b -+==；
（2）证明：曲线()2
1:0C x ay a =>，可知直线l
的参数方程为2x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）
代入曲线1C
得214022t t ⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭
，21
402a a ∆=+>恒成立， 设M N 、两点对应的参数分别为12t t 、，则124
812
t t =
=， 所以22128C M C N t t ==为定值.
23.解：（1）2
2
11011x x x x +-+>⇒+>-，
①21
1211x x x x ≥-⎧
⇒-<<⎨
+>-⎩，②2
111x x x φ<-⎧
⇒⎨-->-⎩， 所以，不等式的解集为{}|12x x -<<；
（2）()1111g x x x m x x m x x m m =+++=-+++≥-+++=+， 当且仅当()()10x x m -++≥时取等号，∴110m ++=， 得2m =-，
∴()1g x x x =+-，故当()1,2x ∈-时，
()2110
1012112x x g x x x x -+-<<⎧⎪=≤≤⎨⎪-<<⎩
，
所以()g x 在()1,2x ∈-时的值域为[)1,3.。