辽宁省抚顺市六校联合体2017-2018学年高二上学期期末考试数学(理)试题 (3)
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【题文】
(12分)在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,BB 1⊥平面ABC ,AB =3,BC =4,AC =5,261=AA .
(1)设AC m AD =,异面直线AB 1与BD 所成角的余弦值为5
1,求m 的值; (2)若D 是AC 的中点,求平面BDC 1和平面CDC 1所成锐二面角的余弦值.
C 1
B 1A 1
D
C
B
A
【答案】 解:(1)在ABC ∆中5,4,3===AC BC AB ,所以BC AB ⊥,
又因为ABC BB 平面⊥1,261=AA ,所以以1,,BB BC BA 分别为x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系(2分),此时),26,4,0(),26,0,0(),0,4,0(),0,0,0(),0,0,3(11C B C B A 所以)0,4,3(-=AC ,又因为m =,所以点)0,4,33(m m D +-,)26,0,3(),0,4,33(1-=+-=AB m m BD
因为异面直线BD AB ,1所成角的余弦值为
51, 所以519
18259|99||,cos |21=+--=><m m m AB ,解得21=m (6分) (2)因为D 是AC 中点,所以)0,2,2
3
(D .设平面D BC 1的法向量),,(0001z y x n =,),26,4,0(1=BC )0,2,2
3(=
则有:⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00111BD n BC n 得:⎪⎩⎪⎨⎧=+=+022
302640000y x z y 令40=x ,得2,300=-=z y ,所以)2,3,4(1-=n (8分)
设平面D CC 1的法向量),,(1112z y x n =,),26,0,0(1=CC )0,2,2
3
(-= 则有:⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00212CD n CC n 得:⎪⎩⎪⎨⎧=-=022
3026111y x z 令41=x ,得0,311==z y ,所以)0,3,4(2=n (10分)
45
37,cos 212
121=>=<n n , 所以锐二面角C DC B --1的余弦值为
4537.(12分)
【解析】
【标题】辽宁省抚顺市六校联合体2017-2018学年高二上学期期末考试数学(理)试题
【结束】。