2020高考数学讲练试题基础巩固练一理含2019高考+模拟题(1)

（刷题1+1）2020高考数学讲练试题 基础巩固练（一）理（含2019
高考+模拟题）
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分，考试时间120分钟．
第Ⅰ卷 (选择题，共60分)
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．(2019·江西九校高三联考)已知集合A ＝{|x 1－x x
≥0}，B ＝{x |y ＝lg (2x －1)}，则
A ∩
B ＝( )
A ．(0,1]
B ．[0,1]
C.⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1
D.⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，＋∞ 答案 C
解析 ∵集合A ＝{|x 1－x x ≥0}＝{x |0<x ≤1}，B ＝{x |y ＝lg (2x －1)}＝{|x x >12
}，∴
A ∩
B ＝{|x 1
2
<x ≤1}＝⎝ ⎛⎦
⎥⎤12
，1.故选C.
2．(2019·南昌一模)已知复数z ＝a ＋i
2i
(a ∈R )的实部等于虚部，则a ＝( )
A ．－12 B.1
2 C ．－1 D ．1
答案 C 解析 ∵z ＝a ＋i 2i
＝
－
a ＋
－2i
2＝12－a 2i 的实部等于虚部，∴12＝－a
2
，∴a ＝－1.故选C.
3．(2019·陕西宝鸡中学期中)设a ＝20.1
，b ＝ln 52，c ＝log 3910，则a ，b ，c 的大小关
系是( )
A ．b >c >a
B ．a >c >b
C ．b >a >c
D ．a >b >c 答案 D
解析 因为a ＝20.1>20
＝1,0＝ln 1<b ＝ln 52<ln e ＝1，c ＝log 3910<log 31＝0，所以a >b >c .
故选D.
4．(2019·安庆高三上学期期末)函数f (x )＝
x ＋sin x
|x |＋1
的部分图象大致是( )
答案 B
解析 ∵函数f (x )的定义域是R ，关于原点对称，且f (－x )＝－x －sin x |－x |＋1＝－x ＋sin x
|x |＋1＝
－f (x )，∴函数f (x )是奇函数，图象关于原点对称，排除C ，D ，当x ≥0时，f (x )＝x ＋sin x
x ＋1
＝
x ＋1＋sin x －1x ＋1＝1＋sin x －1
x ＋1
≤1，排除A ，故选B.
5．(2019·厦门科技中学高三开学考试)古希腊数学家阿基米德用穷竭法建立了这样的
结论：“任何由直线和抛物线所包围的弓形，其面积都是其同底同高的三角形面积的三分之四．”如图，已知直线x ＝2交抛物线y 2
＝4x 于A ，B 两点，点A ，B 在y 轴上的射影分别为
D ，C ，从长方形ABCD 中任取一点，则根据阿基米德这一理论，该点位于阴影部分的概率为
( )
A.12
B.13
C.23
D.25 答案 B
解析 在抛物线y 2
＝4x 中，取x ＝2，可得y ＝±22，∴S 矩形ABCD ＝82，由阿基米德理论可得弓形面积为43×12×42×2＝1623，则阴影部分的面积为S ＝82－1623＝823
.由几
何概型的概率计算公式可得，点位于阴影部分的概率为82382＝1
3
.故选B.
6．(2019·北京高考)设点A ，B ，C 不共线，则“AB →与AC →的夹角为锐角”是“|AB →＋AC →|>|BC →
|”的( )
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
答案 C
解析 因为点A ，B ，C 不共线，由向量加法的三角形法则，可知BC →＝AC →－AB →，所以|AB →＋AC →
|>|BC →|等价于|AB →＋AC →|>|AC →－AB →|，因模为正，故不等号两边平方得AB →2＋AC →2＋2|AB →||AC
→
|cos θ>AC →2＋AB →2－2|AC →|·|AB →|cos θ(θ为AB →与AC →的夹角)，整理得4|AB →||AC →
|·cos θ>0，故cos θ>0，即θ为锐角．又以上推理过程可逆，所以“AB →与AC →的夹角为锐角”是“|AB →
＋
AC →
|>|BC →
|”的充分必要条件．故选C.
7．(2019·北京北大附中一模)已知平面区域Ω： ⎩⎪⎨⎪
⎧
3x ＋4y －18≤0，x ≥2，y ≥0
夹在两条斜率为－3
4
的平行直线之间，且这两条平行直线间的最
短距离为m .若点P (x ，y )∈Ω，则z ＝mx －y 的最小值为( )
A.95 B ．3 C.24
5 D ．
6 答案 A
解析 由约束条件作出可行域如图阴影部分，
∵平面区域Ω夹在两条斜率为－3
4的平行直线之间，且两条平行直线间的最短距离为m ，
则m ＝|3×2－18|5＝125.令z ＝mx －y ＝125x －y ，则y ＝125x －z ，由图可知，当直线y ＝125x －z
过B (2,3)时，直线在y 轴上的截距最大，z 有最小值为245－3＝9
5
.故选A.
8．(2019·济南市一模)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )
A ．80
B ．48
C ．32
D ．16 答案 B
解析 根据三视图可知原几何体为四棱锥P －ABCD ，AB ＝BC ＝4，PC ＝3，其表面积为4×4＋12×3×4＋12×3×4＋12×4×5＋1
2
×4×5＝48.故选B.
9．(2019·绍兴市适应性试卷)袋中有m 个红球，n 个白球，p 个黑球(5≥n >m ≥1，p ≥4)，从中任取1个球(每个球取到的机会均等)，设ξ1表示取出红球个数，ξ2表示取出白球个数，则( )
A ．E (ξ1)>E (ξ2)，D (ξ1)>D (ξ2)
B ．E (ξ1)>E (ξ2)，D (ξ1)<D (ξ2)
C ．E (ξ1)<E (ξ2)，
D (ξ1)>D (ξ2) D ．
E (ξ1)<E (ξ2)，D (ξ1)<D (ξ2) 答案 D
解析 设袋中有1个红球，5个白球，4个黑球，从中任取1个球(每个球取到的机会均等)，设ξ1表示取出红球个数，ξ2表示取出白球个数，则ξ1的可能取值为0或1，
P (ξ1＝0)＝0.9，P (ξ1＝1)＝0.1，
∴E (ξ1)＝0×0.9＋1×0.1＝0.1，D (ξ1)＝(0－0.1)2
×0.9＋(1－0.1)2
×0.1＝0.09， ξ2的可能取值为0或1，P (ξ2＝0)＝0.5，P (ξ2＝1)＝0.5，∴E (ξ2)＝0×0.5＋1×0.5＝0.5，D (ξ1)＝(0－0.5)2
×0.5＋(1－0.5)2
×0.5＝0.25，
∴E (ξ1)<E (ξ2)，D (ξ1)<D (ξ2)．故选D. 10．(2019·兰州市一诊)若点P 是函数y ＝
2sin x
sin x ＋cos x
图象上任意一点，直线l 为点P
处的切线，则直线l 的倾斜角的范围是 ( )
A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4
B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π3
C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2
D.⎝ ⎛⎦⎥⎤π2
，3π4
答案 C
解析 ∵y ＝2sin x
sin x ＋cos x ，
∴y ′＝
2cos x
x ＋cos x －2sin x
x －sin x
x ＋cos x
2
＝2cos 2
x ＋2sin 2
x 1＋2sin x cos x ＝21＋sin2x
. ∵－1<sin2x ≤1，∴0<1＋sin2x ≤2，∴11＋sin2x ≥12，则y ′＝2
1＋sin2x
≥1.∴直线l
斜率的范围是[1，＋∞)．则直线l 的倾斜角的范围是⎣⎢⎡⎭
⎪⎫π4，π2.故选C.
11．(2019·贵阳一模)双曲线C 1：x 2a 2－y 2b
2＝1(a >0，b >0)的一个焦点F 与抛物线C 2：y
2
＝2px (p >0)的焦点相同，它们交于A ，B 两点，且直线AB 过点F ，则双曲线C 1的离心率为( )
A. 2
B. 3
C.2＋1 D ．2 答案 C
解析 抛物线C 2：y 2
＝2px (p >0)的焦点为⎝ ⎛⎭
⎪⎫p 2，0，由题意可得c ＝p
2，即p ＝2c ，由直线
AB 过点F ，结合对称性可得AB 垂直于x 轴，令x ＝c ，代入双曲线的方程，可得y ＝±b 2
a
，
即有2b 2
a ＝2p ＝4c ，由
b 2＝
c 2－a 2，可得c 2－2ac －a 2＝0，由e ＝c a
，可得e 2
－2e －1＝0，解得
e ＝1＋2(负值舍去)，故选C.
12．(2019·四川省泸州市二诊)已知函数f (x )＝(e x
－a )·(x ＋a 2
)(a ∈R )，则满足
f (x )≥0恒成立的a 的取值个数为( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3 答案 B
解析 f (x )＝(e x －a )(x ＋a 2
)≥0，
当a ＝0时，f (x )＝(e x －a )(x ＋a 2)≥0化为e x
·x ≥0，则x ≥0，与x ∈R 矛盾； 当a ＜0时，e x
－a ＞0，则x ＋a 2
≥0，得x ≥－a 2
，与x ∈R 矛盾；
当a ＞0时，令f (x )＝0，得x ＝ln a 或x ＝－a 2
，要使f (x )≥0恒成立，则－a 2
＝ln a ，作出函数g (a )＝－a 2
与h (a )＝ln a 的图象如图，由图可知，a 的取值个数为1个．故选B.
第Ⅱ卷 (非选择题，共90分)
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．(2019·济南市3月模拟)已知平面向量a ，b 满足a ＝(1，3)，|b |＝3，a ⊥(a －
b )，则a 与b 夹角的余弦值为________．
答案 23
解析 ∵a ＝(1，3)，∴|a |＝12
＋
3
2
＝2.
∵a ⊥(a －b )，∴a ·(a －b )＝0，即a 2－a ·b ＝0. 设a ，b 之间的夹角为θ，则|a |2
－|a ||b |cos θ＝0， 4－2×3×cos θ＝0，∴cos θ＝2
3
.
14．(2019·广东省百校联盟联考)在⎝
⎛⎭
⎪⎫x ＋1x
－16的二项展开式中含x 4
项的系数为
________．
答案 21
解析 ∵⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋1x
－16＝C 06·⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 6－C 16·⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 5＋C 26·⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ＋1x 4
－…，故该二项展开式中
含x 4项的系数为C 06·C 16＋C 26·C 0
4＝21.
15．(2019·辽宁省辽南协作体一模)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且△ABC 的面积为b 2
3sin B
，若6cos A cos C ＝1，b ＝3，则∠ABC ＝________.
答案
π3
解析 ∵△ABC 的面积为b 2
3sin B ＝1
2
ac sin B ， ∴b 2＝32
ac sin 2
B ，
∴由正弦定理可得，sin 2B ＝32
sin A sin C sin 2
B ，
∴sin A sin C ＝2
3
，
∵6cos A cos C ＝1，可得cos A cos C ＝1
6
，
∴cos ∠ABC ＝cos[π－(A ＋C )]＝－cos(A ＋C )＝sin A sin C －cos A cos C ＝23－16＝1
2.
∵∠ABC ∈(0，π)，∴∠ABC ＝π
3
.
16．(2019·昆明高三质量检测)经过抛物线E ：y 2
＝4x 的焦点F 的直线l 与E 相交于A ，
B 两点，与E 的准线交于点
C .若点A 位于第一象限，且B 是AC 的中点，则直线l 的斜率等
于________．
答案 2 2
解析 解法一：如图，分别过A ，B 作准线的垂线，垂足分别为P ，D ，过B 作AP 的垂线，垂足为M ，根据抛物线的定义及题中条件知|AM |＝|PM |＝|BD |.
设|BD |＝m ，则|AP |＝|AF |＝2m ，|BF |＝m ，|AM |＝m ，所以在Rt △ABM 中，|AB |＝|AF |＋|BF |＝3m ，所以cos ∠BAM ＝1
3
，所以k l ＝tan ∠BAM ＝2 2.
解法二：如图，分别过A ，B 作准线的垂线，垂足分别为P ，D ，过B 作AP 的垂线，垂足为M ，根据抛物线的定义及题中条件知|AM |＝|PM |＝|BD |.根据抛物线中焦点弦的性质知，
1
|AF |＋1|BF |＝2p ＝1⇒1|AF |＋1|BF |＝1|AP |＋1|BD |＝12|BD |＋1|BD |＝32|BD |＝1⇒|BD |＝3
2， 所以|AF |＝|AP |＝2|BD |＝3，|AB |＝32＋3＝92，
|BM |＝
⎝ ⎛⎭⎪⎫922－⎝ ⎛⎭
⎪⎫322＝32， 所以k l ＝tan ∠BAM ＝32
32
＝2 2.
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
(一)必考题：60分．
17．(本小题满分12分)(2019·江苏高考)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，
c .
(1)若a ＝3c ，b ＝2，cos B ＝2
3，求c 的值；
(2)若sin A a ＝cos B 2b ，求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π2的值．
解 (1)因为a ＝3c ，b ＝2，cos B ＝2
3
，
由余弦定理，得cos B ＝a 2＋c 2－b 2
2ac
，
即23
＝c
2＋c 2
－2
2
2×3c ×c
，解得c 2
＝13.所以c ＝33
.
(2)因为sin A a ＝cos B
2b
，
由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得cos B 2b ＝sin B
b
，
所以cos B ＝2sin B .
从而cos 2
B ＝(2sin B )2
，即cos 2
B ＝4(1－cos 2
B )， 故cos 2
B ＝45
.
因为sin B >0，所以cos B ＝2sin B >0，从而cos B ＝25
5.
因此sin ⎝
⎛⎭⎪⎫B ＋π2＝cos B ＝255.
18．(本小题满分12分)(2019·朝阳二模)某电视台举行文艺比赛，并通过网络对比赛进行直播．比赛现场有5名专家评委给每位参赛选手评分，场外观众可以通过网络给每位参赛选手评分．每位选手的最终得分由专家评分和观众评分确定．某选手参与比赛后，现场专家评分情况如下表；场外有数万名观众参与评分，将评分按照[7,8)，[8,9)，[9,10]分组，绘成频率分布直方图如下：
(1)求a 的概率；
(2)从5名专家中随机选取3人，X 表示评分不小于9分的人数；从场外观众中随机选取3人，用频率估计概率，Y 表示评分不小于9分的人数，试求E (X )与E (Y )的值；
(3)考虑以下两种方案来确定该选手的最终得分：
方案一：用所有专家与观众的评分的平均数x 作为该选手的最终得分．
方案二：分别计算专家评分的平均数x 1和观众评分的平均数x 2，用x 1＋x
2
2
作为该
选手最终得分．
请直接写出x 与
x 1＋x
2
2
的大小关系．
解 (1)由题图知a ＝0.3，某场外观众评分不小于9的概率是1
2.
(2)X 的可能取值为2,3.
P (X ＝2)＝C 24C 1
1C 35＝35，P (X ＝3)＝C 3
4C 35＝2
5.
所以X 的分布列为
所以E (X )＝2×35＋3×25＝12
5
.
由题意可知，Y ～B ⎝ ⎛⎭
⎪⎫3，12，所以E (Y )＝np ＝32. (3)x <
x 1＋x
2
2
.
19．(本小题满分12分)(2019·唐山市第一中学一模)如图，在三棱锥P －ABC 中，PA ⊥底面ABC ，AB ＝2，AC ＝4，∠BAC ＝120°，D 为BC 的中点．
(1)求证：AD ⊥PB ；
(2)若二面角A －PB －C 的大小为45°，求三棱锥P －ABC 的体积． 解 (1)证明：在△ABC 中，由余弦定理，得
BC 2＝4＋16－2×2×4×cos120°＝28，则BC ＝27.
因为D 为BC 的中点，则BD ＝CD ＝7. 因为AD →＝12(AB →＋AC →)，则|AD →|2＝14(AC →＋AB →)2
，
所以AD ＝ 3.
因为AB 2
＋AD 2
＝4＋3＝7＝BD 2
，则AB ⊥AD .
因为PA ⊥底面ABC ，则PA ⊥AD ，所以AD ⊥平面PAB ，从而AD ⊥PB . (2)解法一：因为AD ⊥平面PAB ，过点A 作AE ⊥PB ，垂足为E ，连接DE .
则DE ⊥PB ，所以∠AED 为二面角A －PB －C 的平面角． 在Rt △DAE 中，由已知，得∠AED ＝45°， 则AE ＝AD ＝ 3.
在Rt △PAB 中，设PA ＝a ，则PB ＝AB 2
＋PA 2
＝4＋a 2
. 因为AB ×AP ＝PB ×AE ，则2a ＝4＋a 2×3，即 4a 2
＝3(4＋a 2
)，解得a 2
＝12，所以PA ＝a ＝2 3.
所以V P －ABC ＝13×S △ABC ×PA ＝13×1
2
×2×4×sin120°×23＝4.
解法二：如图，分别以直线AB ，AD ，AP 为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系．
设PA ＝a ，则点B (2,0,0)，D (0，3，0)，P (0,0，a )．
所以BD →＝(－2，3，0)，BP →
＝(－2,0，a )． 设平面PBC 的法向量为m ＝(x ，y ，z )，则
⎩⎨
⎧
－2x ＋3y ＝0，－2x ＋az ＝0.
取x ＝3，则y ＝2，z ＝23a
，所以m ＝⎝ ⎛
⎭
⎪⎫3，2，23a .
因为n ＝(0,1,0)为平面PAB 的法向量， 则|cos 〈m ，n 〉|＝cos45°＝22，即|m·n ||m ||n |＝22
. 所以
27＋12
a
2
＝
22
，解得a 2
＝12，所以PA ＝a ＝2 3. 所以V P －ABC ＝13×S △ABC ×PA ＝13×1
2
×2×4×sin120°×23＝4.
20．(本小题满分12分)(2019·甘肃省甘谷第一中学高三第七次检测)椭圆E ：x 2a 2＋y 2
b
2＝
1(a >b >0)的离心率是
5
3
，过点P (0，1)作斜率为k 的直线l ，椭圆E 与直线l 交于A ，B 两点，当直线l 垂直于y 轴时|AB |＝3 3.
(1)求椭圆E 的方程；
(2)当k 变化时，在x 轴上是否存在点M (m,0)，使得△AMB 是以AB 为底的等腰三角形，若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．
解 (1)由已知椭圆过点⎝ ⎛⎭
⎪⎫
332，1，可得⎩⎪⎨⎪⎧
274a 2＋1
b
2＝1，a 2
＝b 2
＋c 2
，
c a ＝53，
解得a 2＝9，b 2
＝4，所以椭圆E 的方程为x 29＋y 2
4＝1.
(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点C (x 0，y 0)，
由⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝kx ＋1，x 29＋y
24
＝1，消去y 得(4＋9k 2)x 2
＋18kx －27＝0，显然Δ>0，且x 1＋x 2＝－18k 4＋9k
2，
所以x 0＝
x 1＋x 2
2
＝
－9k 4＋9k 2，y 0＝kx 0＋1＝4
4＋9k
2. 当k ≠0时，设过点C 且与l 垂直的直线方程为
y ＝－1k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋9k 4＋9k 2＋
4
4＋9k 2， 将M (m,0)代入，得m ＝－
54
k
＋9k
.
若k >0，则4
k ＋9k ≥2
4
k
×9k ＝12，
若k <0，则4k
＋9k ＝－⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－4
k
＋
－9k ≤
－2
－4
k
－9k ＝－12，
所以－512≤m <0或0<m ≤5
12.
当k ＝0时，m ＝0，
综上所述，存在点M 满足条件，m 的取值范围是－512≤m ≤512
.
21．(本小题满分12分)(2019·西藏拉萨二模)已知函数f (x )＝ax －b e x
，且函数f (x )的图象在点(0，f (0))处的切线斜率为a －1.
(1)求b 的值；
(2)求函数f (x )的最值；
(3)当a ∈[1,1＋e]时，求证：f (x )≤x . 解 (1)由题意，得f ′(x )＝a －b e x
， 又∵f ′(0)＝a －b ＝a －1，∴b ＝1. (2)f ′(x )＝a －e x
.
当a ≤0时，f ′(x )<0，f (x )在R 上单调递减，f (x )没有最值； 当a >0时，令f ′(x )<0，得x >ln a ， 令f ′(x )>0，得x <ln a ，
∴f (x )在区间(－∞，ln a )上单调递增，在区间(ln a ，＋∞)上单调递减，
∴f (x )在x ＝ln a 处取得唯一的极大值，即为最大值，且f (x )max ＝f (ln a )＝a ln a －a . 综上所述，当a ≤0时，f (x )没有最值；
当a >0时，f (x )的最大值为a ln a －a ，无最小值． (3)证明：要证f (x )≤x ，即证(a －1)x ≤e x
， 令F (x )＝e x
－(a －1)x ，
当a ＝1时，F (x )＝e x >0，∴(a －1)x ≤e x
成立； 当1<a ≤1＋e 时，F ′(x )＝e x
－(a －1)＝e x
－e
ln (a －1)
，
当x <ln (a －1)时，F ′(x )<0；当x >ln (a －1)时，F ′(x )>0，
∴F (x )在区间(－∞，ln (a －1))上单调递减，在区间(ln (a －1)，＋∞)上单调递增， ∴F (x )≥F (ln (a －1))＝e ln (a －1)
－(a －1)ln (a －1)＝(a －1)[1－ln (a －1)]．
∵1<a ≤1＋e ，
∴a －1>0,1－ln (a －1)≥1－ln [(1＋e)－1]＝0， ∴F (x )≥0，即(a －1)x ≤e x 成立，故原不等式成立．
(二)选考题：10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．
22．(本小题满分10分)[选修4－4：坐标系与参数方程]
(2019·福建漳州第二次质量监测)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为
⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝2＋2cos α，y ＝4＋2sin α(α为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，
曲线C 2的极坐标方程为ρ＝4sin θ.
(1)把C 1的参数方程化为极坐标方程；
(2)求C 1与C 2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π)．
解 (1)曲线C 1的参数方程为⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝2＋2cos α，
y ＝4＋2sin α(α为参数)，转换为直角坐标方程为
(x －2)2＋(y －4)2
＝4，
转换为极坐标方程为ρ2
－4ρcos θ－8ρsin θ＋16＝0. (2)曲线C 2的极坐标方程为ρ＝4sin θ. 转换为直角坐标方程为x 2
＋y 2
－4y ＝0，
所以⎩⎪⎨⎪⎧
x －
2
＋y －2＝4，
x 2＋y 2
－4y ＝0，
整理出公共弦的直线方程为x ＋y －4＝0，
故⎩⎪⎨
⎪⎧
x 2
＋y 2
－4y ＝0，x ＋y －4＝0，
解得⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝2，y ＝2或⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝0，
y ＝4，
所以C 1与C 2交点的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，π4，⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π2.
23．(本小题满分10分)[选修4－5：不等式选讲]
(2019·福建漳州第二次质量监测)已知f (x )＝|x ＋a |(a ∈R )． (1)若f (x )≥|2x －1|的解集为[0,2]，求a 的值；
(2)若对任意x ∈R ，不等式f (x )＋|x －a |≥3a －2恒成立，求实数a 的取值范围． 解 (1)不等式f (x )≥|2x －1|，即|x ＋a |≥|2x －1|，
两边平方整理，得3x 2－(2a ＋4)x ＋1－a 2
≤0，
由题意知0和2是方程3x 2
－(2a ＋4)x ＋1－a 2
＝0的两个实数根，
即⎩⎪⎨⎪⎧
0＋2＝2a ＋43
，
0×2＝1－a
2
3
，解得a ＝1.
(2)因为f (x )＋|x －a |＝|x ＋a |＋|x －a |≥|(x ＋a )－(x －a )|＝2|a |， 所以要使不等式f (x )＋|x －a |≥3a －2恒成立，只需2|a |≥3a －2， 当a ≥0时，不等式化为2a ≥3a －2，得0≤a ≤2； 当a <0时，不等式化为－2a ≥3a －2，得a <0. 综上所述，a 的取值范围是(－∞，2]．。