北京交通大学概率论与数理统计期末考试试卷A、B及答案A、B

北京交通大学概率论与数理统计期末考试试卷A 、B 及答案A 、B
A 卷
一．（本题满分8分）
某中学学生期末考试中数学不及格的为%11，语文不及格的为%7，两门课程都不及格的为%2．⑴ 已知一学生数学考试不及格，求他语文考试也不及格的概率（4分）；⑵ 已知一学生语文考试不及格，求他数学考试及格的概率（4分）． 二．（本题满分8分）
两台车床加工同样的零件，第一台车床加工出现不合格品的概率为0.03，第二台车床加工出现不合格品的概率为0.05；把两台车床加工的零件放在一起，已知第一台车床加工的零件数比第二台车床加工的零件多一倍．现从这两台车床加工的零件中随机地取出一件，发现是不合格品，求这个零件是第二台车床加工的概率．
三．（本题满分8分）
设随机变量X 的密度函数为
()⎪⎩⎪⎨⎧
≤≤=其它0
02
cos πx x C x f ． ⑴ 求常数C （3分）；⑵ 现对X 独立重复地观察4次，用Y 表示观察值大于3
π
的次数，求()2Y E （5分）． 四．（本题满分8分） 在正方形(){
}1,
1,≤≤=q p q p D ：中任取一点()q p ,，求使得方程02=++q px x 有两个
实根的概率． 五．（本题满分8分）
一个工厂生产某种产品的寿命X （单位：年）的密度函数为
()⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-0
0414x x e
x f x
． 该工厂规定：该产品在售出的一年内可予以调换．若工厂售出一个该产品，赢利100元，而调换一个该产品，需花费300元．试求工厂售出一个该产品净赢利的数学期望． 六．（本题满分9分）
设G 是由X 轴、Y 轴及直线022=-+y x 所围成的三角形区域，二维随机变量()Y X ,在G 内服
从均匀分布．求X 与Y 的相关系数Y
X ,ρ．
七．（本题满分9分）
某餐厅每天接待400位顾客，假设每位顾客的消费额（单位：元）服从区间()100,20上的均匀分布，并且每位顾客的消费额是相互独立的．试求：⑴ 该餐厅每天的平均营业额（3分）；⑵ 用中心极限定理计算，该餐厅每天的营业额在其平均营业额的760±元之间的概率（6分）．（附：标准正态分布的分布函数()x Φ的某些取值：
八．（本题满分8分）
设总体X 服从参数为p 的几何分布，其分布律为
{}1-==k pq k X P () ,3,2,1=k ．
其中10<<p 是未知参数，p q -=1．()n X X X ,,,21 是取自该总体中的一个样本．
试求参数p 的极大似然估计量． 九．（本题满分8分）
设总体X 存在二阶矩，记()μ=X E ，()2v a r σ=X ，()n X X X ,,,21 是从该总体中抽取的一
个样本，X 是其样本均值．求()X E （4分）及()
X D （4分）．
十．（本题满分9分）
两台相同型号的自动记录仪，每台无故障工作的时间分别为X 和Y ，假设X 与Y 相互独立，都服从参数为5=λ的指数分布，其密度函数为
()⎩⎨
⎧≤>=-0
55x x e x f x
X ． 现首先开动其中一台，当其损坏停用时另一台自动开动，直至第二台记录仪损坏为止．令：T ：从开始到第二台记录仪损坏时记录仪的总共工作时间，试求随机变量T 的概率密度函数． 十一．（本题满分9分）
设总体X 服从指数分布，其概率密度函数为()⎪⎩⎪
⎨⎧≤>=-0
01x x e
x f x
θθ，()n
X X X ,,,21 是取自
该总体中的一个样本．⑴ 求出统计量()i n i X X ≤≤=11min 的密度函数()()x f 1，并指出该分布是什么分布？⑵ 求
常数a ，使得i n
i X a T ≤≤=1min 为θ的无偏估计．
十二．（本题满分8分）
设随机变量X 与Y 相互独立，而且都服从正态分布()2,σμN
．令aY X U +=，bY X V -=（a
与b 都是常数），试给出随机变量U 与V 相互独立的充分必要条件．
A 卷参考答案
一．（本题满分8分）
某中学学生期末考试中数学不及格的为%11，语文不及格的为%7，两门课程都不及格的为%2．⑴ 已知一学生数学考试不及格，求他语文考试也不及格的概率（4分）；⑵ 已知一学生语文考试不及格，求他数学考试及格的概率（4分）． 解：
设=A “某学生数学考试不及格”，=B “某学生语文考试不及格”． 由题设，()11.0=A P ，()07.0=B P ，()02.0=AB P ． ⑴ 所求概率为()()()11
2
11.002.0===
A P A
B P A B P ． ⑵ 所求概率为()()()()()()7
5
07.002.007.0=-=-==
B P AB P B P B P B A P B A P ．
二．（本题满分8分）
两台车床加工同样的零件，第一台车床加工出现不合格品的概率为0.03，第二台车床加工出现不合格品的概率为0.05；把两台车床加工的零件放在一起，已知第一台车床加工的零件数比第二台车床加工的零件多一倍．现从这两台车床加工的零件中随机地取出一件，发现是不合格品，求这个零件是第二台车床加工的概率． 解：
设=A “任取一个零件是不合格品”，=B “任取一个零件是第一台车床加工的”． 所求概率为()A B P ．由Bayes 公式得
()()()
()()()()
B A P B P B A P B P B A P B P A B P +=
11503.03
2
05.03105
.031
=⨯+⨯⨯=．
三．（本题满分8分）
设随机变量X 的密度函数为
()⎪⎩⎪⎨⎧
≤≤=其它0
02
cos πx x C x f ． ⑴ 求常数C （3分）；⑵ 现对X 独立重复地观察4次，用Y 表示观察值大于3
π
的次数，求()2Y E （5分）． 解：
⑴ 由密度函数的性质，
()1=⎰+∞
∞
-dx x f ，得
()C x
C dx x C dx x f 22sin
22cos 100
====⎰⎰+∞
∞-π
π
， 因此，2
1
=
C ． ⑵ 由于()21
2112sin 2cos 2
133
3
3
=-====
⎪⎭⎫ ⎝
⎛
>⎰⎰
+∞
π
ππ
ππ
πx dx x dx x f X P ．
所以，随机变量Y 的分布列为
()k
k C k Y P ⎪⎭
⎫ ⎝⎛⋅==214， ()4,3,2,1,0=k ． 所以 ()
()∑==⋅=4
22
k k Y P k Y E
516
1
4164316621641161022222=⋅+⋅+⋅+⋅+⋅
=． 四．（本题满分8分） 在正方形(){
}1,
1,≤≤=q p q p D ：中任取一点()q p ,，求使得方程02=++q px x 有两个
实根的概率． 解：
设=A “方程02=++q px x 有两个实根”，所求概率为()A P ． 设所取的两个数分别为p 与q ，则有11<<-p ，11<<-q ． 因此该试验的样本空间与二维平面点集
(){}11,11,<<-<<-=q p q p D ：
中的点一一对应．
随机事件A 与二维平面点集(){}
04,2≥-=q p q p D A ：，即与点集
()⎭
⎬⎫⎩⎨⎧≥=q p q p D A 4,2
：
中的点一一对应．
所以， ()2413
12
4122141
1
31
12=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⨯⎪⎪⎭⎫
⎝⎛+==--⎰p p dp p D D A P A 的面积的面积． 五．（本题满分8分）
一个工厂生产某种产品的寿命X （单位：年）的密度函数为
()⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-0
00414x x e
x f x
． 该工厂规定：该产品在售出的一年内可予以调换．若工厂售出一个该产品，赢利100元，而调换一个该产品，需花费300元．试求工厂售出一个该产品净赢利的数学期望． 解：
设Y 为工厂售出一个产品的净赢利，则
⎩⎨
⎧<-≥=1
3001100X X Y 所以，{}{}300300100100-=⋅-=⋅=Y P Y P EY {}{}13001100<⋅-≥⋅=X P X P
⎰⎰-+∞
-⋅-⋅=1
4
144130041100dx e dx e x
x
5203.111300100414
1=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-⋅-⋅=--
e e
六．（本题满分9分）
设G 是由X 轴、Y 轴及直线022=-+y x 所围成的三角形区域，二维随机变量()Y X ,在G 内服从均匀分布．求X 与Y 的相关系数Y
X ,ρ．
解：
由于区域G 的面积为1，因此()Y X ,的联合密度函数为
()()()⎩⎨
⎧∉∈=G
y x G
y x y x f ,0
,1
,
． 当10<<x 时，()()()x dy dy y x f x f x
X -==
=
⎰⎰-+∞
∞
-12,
220
，
所以，()()⎩⎨⎧<<-=其它01
012x x x f X ．
当20<<y 时，()()2
1,2
10
y dy dx y x f y f y
Y -
==
=
⎰⎰
-
∞
+∞
-， 所以，()⎪⎩⎪⎨⎧<<-
=其它
202
1y y
y f Y ．
()()()31
31212121
0=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-⋅==⎰⎰+∞
∞-dx x x dx x xf X E X ， ()()32212
=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅==
⎰⎰+∞
∞-dy y y dy y yf Y E Y ， ()()()6141312121
2
22=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-⋅==⎰⎰+∞
∞-dx x x dx x f x X E X ， ()()32212
2
2
2
=⎪⎭
⎫ ⎝⎛
-⋅==⎰⎰+∞
∞
-dy y y
dy y f y Y
E Y
，
所以，()()
()()
18
1
3161var 2
2
2
=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=X E X E X ，
()()
()()9
2
3232v a r 2
2
2=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=Y E Y E Y ， ()()⎰⎰⎰⎰
⎰--+∞
∞
-+∞∞-⋅
===
1
220
2220
1
2
,
dx y x xydy dx
dxdy y x xyf XY E x
x
，
()()61
213241222121
231
02
=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+-=-=⎰⎰dx x x x dx x x ，
所以，()()()()18
1323161,cov -=⨯-=
-=Y E X E XY E Y X ． ()()()219
2
181181
var var ,cov ,
-=-
=
=Y X Y X Y
X ρ． 七．（本题满分9分）
某餐厅每天接待400位顾客，假设每位顾客的消费额（单位：元）服从区间()100,20上的均匀分布，并且每位顾客的消费额是相互独立的．试求：⑴ 该餐厅每天的平均营业额（3分）；⑵ 用中心极限定理计算，该餐厅每天的营业额在其平均营业额的760±元之间的概率（6分）．（附：标准正态分布的分布函数()x Φ的某些取值：
解：
⑴ 设i X 表示第i 位顾客的消费额，()400,,2,1 =i ．则有
40021,,,X X X 相互独立，()100,20~U X i ，()400,,2,1 =i ．
所以，()60=i X E ，()3
1600
1280var 2==i X ． 再设X 表示餐厅每天的营业额，则∑==400
1
i i X X ．
所以，()()2400060400400
14001=⨯==⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑∑==i i i i X E X E X E （元）．
⑵ 由独立同分布场合下的中心极限定理，有
{}⎪⎪⎭
⎪⎪⎬⎫
⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧⨯≤
⨯-≤⨯-=≤-≤-31600400
76031600400240003160040076076024000760X P X P ()901.019505.021645.123160040076031600400760=-⨯=-Φ=⎪
⎪
⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛⨯-Φ-⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯Φ≈． 八．（本题满分8分）
设总体X 服从参数为p 的几何分布，其分布律为
{}1-==k pq k X P () ,3,2,1=k ．
其中10<<p 是未知参数，p q -=1．()n X X X ,,,21 是取自该总体中的一个样本．
试求参数p 的极大似然估计量． 解：
似然函数为(){}{}{}{}n n n n x X P x X P x X P x X x X x X P p L ======== 22112211,,, ()
()
()
()n
x n
x x x n
k k n p p p p p p p p ----∑-=--⋅-==1
2111111
1
1
所以，()()p n x p n p L n k k -⎪⎭
⎫
⎝⎛-+=∑=1ln ln ln 1．
所以，()01ln 1=---=∑=p
n
x p n p L dp d n
k k ，解方程，得x p 1=．因此p 的极大似然估计量为ξ1ˆ=p ． 九．（本题满分8分）
设总体X 存在二阶矩，记()μ=X E ，()2
v a r σ=X ，()n X X X ,,,
21 是从该总体中抽取的一
个样本，X 是其样本均值．求()X E （4分）及()
X D （4分）． 解：
()()μμμ=⋅===⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑∑∑===n n n X E n X n E X E n i n
i i n i i 111111
1，
()()n n n n X n X n X n i n i i n i i 22
212212111v a r 11v a r v a r σσσ=
⋅===⎪⎭
⎫ ⎝⎛=∑∑∑===．
十．（本题满分9分）
两台相同型号的自动记录仪，每台无故障工作的时间分别为X 和Y ，假设X 与Y 相互独立，都服从参数为5=λ的指数分布，其密度函数为
()⎩⎨
⎧≤>=-0
55x x e x f x
X ． 现首先开动其中一台，当其损坏停用时另一台自动开动，直至第二台记录仪损坏为止．令：T ：从开始到第二台记录仪损坏时记录仪的总共工作时间，试求随机变量T 的概率密度函数． 解：
X 的密度函数为()⎩⎨
⎧≤>=-000
55x x e x f x
X ， Y 的密度函数为()⎩⎨
⎧≤>=-0
55y y e y f y
Y 由题意，知 Y X T +=，设T 的密度函数为()t f T ，则 ()()()()⎰⎰+∞
-+∞
∞
--=-=
55dx x t f e
dx x t f x f t f Y x
Y
X
T
作变换 x t u -=，则 dx du -=，
当0=x 时，t u = ；当+∞→x 时，-∞→u ．代入上式，得 ()()
()()⎰⎰∞
---∞
--=-=t Y u
t
t Y u t T du u f e
e
du u f e
t f 55555
当0≤t 时，由()0=y f Y ，知()0=t f T ； 当0>t 时， ()t
t u u t
T te du e e e
t f 55552555-∞
---=⋅=⎰
综上所述，可知随机变量T 的密度函数为 ()⎩⎨
⎧≤>=-0
255t t te t f t
T ． 十一．（本题满分9分）
设总体X 服从指数分布，其概率密度函数为()⎪⎩⎪
⎨⎧≤>=-0
01x x e
x f x
θθ，()n
X X X ,,,21 是取自
该总体中的一个样本．⑴ 求出统计量()i n i X X ≤≤=11min 的密度函数()()x f 1，并指出该分布是什么分布？⑵ 求
常数a ，使得i n
i X a T ≤≤=1min 为θ的无偏估计．
解：
① 由于总体X 的密度函数为()⎪⎩⎪
⎨⎧≤>=-0
01x x e
x f x
θθ，因此其分布函数为 ()()⎪⎩⎪⎨⎧>-≤==
-∞-⎰0
100x e
x dt t f x F x x
θ ．
所以()i n
i X X ≤≤=11min 的密度函数为
()()()()()θθθθθnx
x n x n e n e e n x f x F n x f -----=⋅⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=-=111
1
1，()0>x ． 即随机变量()i n i X X ≤≤=11min 服从参数为n
θ
的指数分布．
② 由于随机变量()i n i X X ≤≤=11min 服从参数为n
θ的指数分布，所以()()()
n X E X E i n i θ
==≤≤11min ．
所以，若使()()()
θθ
=⋅==≤≤n
a X aE X E i n i 11min ，只需取n a =即可．
即若取n a =，即i n
i X n T ≤≤=1min ，则T 是未知参数θ的无偏估计量．
十二．（本题满分8分）
设随机变量X 与Y 相互独立，而且都服从正态分布()2,σμN
．令aY X U +=，bY X V -=（a
与b 都是常数），试给出随机变量U 与V 相互独立的充分必要条件． 解：
由于随机变量X 与Y 相互独立，而且都服从正态分布，又aY X U +=，bY X V -=，所以U 与V 也都是服从正态分布的随机变量．
所以，U 与V 相互独立的充分必要条件是()0,cov =V U ． 而 ()()bY X aY X V U -+=,cov ,cov
()()()()Y Y ab X Y a Y X b X X ,cov ,cov ,cov ,cov -+-= ()()()21σab Y abD X D -=-=．
因此，随机变量U 与V 相互独立的充分必要条件是01=-ab ．
B 卷
一、填空题（每小题4分，共32分）.
1．设 A 、B 为随机事件, P (A ) = 0.3, P (B ) = 0.4, 若 P (A |B ) =0.5, 则 P (A ⋃B ) = _______; 若 A 与 B 相互独立, 则 P (A ⋃B ) = _________.
2．设随机变量 X 在区间 [0, 10] 上服从均匀分布, 则 P { 1 < X < 6} = ______________.
3．设随机变量 X 的分布函数为,4
,1 42 ,7.021 ,2.01 ,0 )(⎪⎪⎩⎪
⎪⎨
⎧≥<≤<≤--<=x x x x x F 则 X 的分布律为 ___________________________ . 4．若离散型随机变量 X 的分布律为
则常数 a = _________; 又 Y = 2X + 3, 则 P {Y > 5} = _________ .
5．设随机变量 X 服从二项分布 b (100, 0.2), 则 E (X ) = ________, D (X ) = ___________. 6．设随机变量 X ~ N (0, 1), Y ~ N (1, 3), 且X 和 Y 相互独立, 则D (3X +2Y ) = _________. 7．设随机变量 X 的数学期望 E (X ) = μ, 方差 D (X ) = σ 2, 则由切比雪夫不等式有 P {|X - μ | <2σ } ≥ _________________.
8．从正态总体 N (μ, σ 2)（σ 未知） 随机抽取的容量为 25的简单随机样本, 测得样本均值
5=x ，样本的标准差s = 0.1，则未知参数 μ 的置信度为0.95的置信区间是
____________________________. (用抽样分布的上侧分位点表示). 二、选择题（只有一个正确答案，每小题3分，共18分）
1．设随机事件A 与B 互不相容，且0)(,0)(>>B P A P ，则 ( ).
(A) )(1)(B P A P -= (B) )()()(B P A P AB P = (C) 1)(=B A P (D) 1)(=AB P
2．设随机变量 X 的概率密度为)(x f X , 则随机变量X Y 2-=的概率密度为)(y f Y 为 ( ).
(A) )2-(2y f X (B) )2(y f X - (C) )2(21y f X - (D) )2
(21y
f X --
3．设随机变量 X 的概率密度为)(e
21)(4
)2(2
+∞<<-∞=+-
x x f x π
，
且b aX Y +=)1,0(~N ，则下列各组数中应取 ( ). (A)1,21==
b a (B) 2,22
==b a (C) 1,21-==
b a (D) 2,2
2-==b a 4. 设两个相互独立的随机变量 X 和 Y 分别服从正态分布 ),(211σμN 和 ),(2
22σμN , 则
Y X Z +=也服从正态分布，且 ( ).
),(~ )A (2
2211σσμ+N Z ),(~ )B (2121σσμμ+N Z ),(~ )C (222121σσμμ+N Z ),(~ )D (222121σσμμ++N Z
5．对任意两个相互独立的随机变量 X 和 Y , 下列选项中不成立的是 ( ). (A) D (X + Y ) = D (X ) + D (Y ) (B) E (X + Y ) = E (X ) + E (Y )
(C) D (XY ) = D (X )D (Y ) (D) E (XY ) = E (X )E (Y )
6．设 X 1, X 2为来自总体 N (μ, 1) 的一个简单随机样本, 则下列估计量中μ 的无偏估计量中最有效的是 ( ).
(A) 212121
X X +
=μ (B) 213231
X X +=μ (C) 21434
1
X X +
=μ (D) 215
352
X X +=μ 三、解答（本题 8 分）一个袋中共有10个球，其中黑球3个，白球7个，先从袋中先后任取一球（不放回）(1) 求第二次取到黑球的概率; (2) 若已知第二次取到的是黑球，试求第一次也取到黑球的概率?
四、解答（本题8分）设连续型随机变量 X 的概率密度为，
其他⎩⎨⎧≤≤+= ,0 2
0,1)(x ax x f 求: (1) 常数 a 的值; (2) 随机变量 X 的分布函数 F (x ); (3) }.21{<<X P 五、解答（本题10分）设二维随机变量 (X , Y ) 的联合概率密度为
⎩
⎨⎧<<=-其他,0,
,0,e ),(x y y x f x
求: (1) 求 X , Y 的边缘概率密度 f X (x ), f Y (y ), 并判断 X 与 Y 是否相互独立(说明原因)? (2) 求 P { X + Y ≤ 1}.
六、解答（本题8分）已知随机变量 X 分布律为
求 E (X ), D (X ).
七、（本题6分）对敌人的防御阵地进行100次轰炸，每次轰炸命中目标的炸弹数目是一个随
机变量，七期望值是2，方差是1.69。

求在100次轰炸中有180颗到220颗炸弹命中目标的概率。

其中9382.0)54.1(=Φ.
八、(10分) 设总体 X 的概率密度为，其他⎩⎨⎧<<= ,0
1
0 ,)(1-x x x f θθ其中 θ >0 是未知参数， X 1,
X 2, …, X n 为来自总体的一个简单随机样本，x 1, x 2, …, x n 为样本值, 求 θ 的矩估计量和极大似然估计量.
B 卷参考答案： 一、填空题 1． 0.5 ；0.58 2． 3/5 3．
4． 5． 20 ；16 6． 21
7． 3/4 8． ))24(5
1.05,)24(51.05(025.0025.0t t +-
二、选择题
1. D
2. C
3. B
4. D
5. C
6. A
三、解答题
解：设A 事件表示“第二次取到黑球，B 1事件表示“第一次取到黑球”，B 2事件表示“第一次取到白球”，
(1) 第二次取到黑球的概率:
)()()()()(2211B P B A P B P B A P A P +=
3.010
79310392=⨯+⨯=
(2) 若已知第二次取到的是黑球，试求第一次也取到黑球的概率: 9
2
3.0103
92)()()()(111=⨯==A P B P B A P A B P
四、解答题 解：(1) 22d )1(d )(120+=+==⎰⎰∞∞
-a x ax x x f 2
1-=∴a
(2) ⎰
∞
-=x
t t f x F d )()(
0d 0d )()(0===≤⎰⎰
∞-∞-x
x t t t f x F x 时，当
x x t t t t t f x F x x x
+=++=
=<<⎰⎰⎰∞-∞-2
00
41-d 121-0d d )()(20）（时，当 10d d 12
1
-0d d )()(22200=+++==
≥⎰⎰⎰⎰
∞-∞
-x x
t t t t t t f x F x ）（时，当
所以
⎰∞
-=x t t f x F d )()(=⎪⎩
⎪⎨⎧
≥<<+≤2,120,4
1
-0,02x x x x x
(3) 4
1
)141(1)1()2(}21{=+--=-=<<F F X P
五、解答题 (1) ⎪⎩
⎪⎨⎧+∞
<≤===
⎰⎰
∞
∞
-其它，00,e d e d ),()(0--x x y y y x f x f x x x X
⎪⎩
⎪⎨⎧+∞
<≤===⎰⎰
+∞
-∞
∞
-其它，00,e d e d ),()(-y x x y x f y f y
y x Y
因为 ),()()(y x f y f x f Y X ≠⋅，所以X 与Y 不是相互独立的. (2) 2
21
2
11
1
11-210
e -1e
2e 1d e e
d e d }1{）（）（-
-
----=-+=-==≤+⎰⎰⎰y x y Y X P y y
y
y
x
六、解答题
1.035.023.001.01)(⨯+⨯+⨯+⨯-=X E =1.2
1.035.023.001.0)1()(22222⨯+⨯+⨯+⨯-=X E =3 222
2.13])([)()(-=-=X E X E X D =1.56 七、解答题
解：设X i 为第i 轰炸命中目标的炸弹数目}200180{100
1≤≤∑=i i X P
}69
.1100210020069
.11002
10069
.11002100180{100
1
⨯-≤
⨯-≤
⨯-=∑=i i
X
P
4382.02
1
1)54.1()]54.1(1[)0()54.1()0(=+
-=--=--≈ΦΦΦΦΦ
八、解答题
解：(1) 矩估计法
1
d )(1
1-1+=
==⎰θθθμθx x x X E
1
11μμθ-=
∴ ∑===n
i i X n X A 111 所以 θ的矩估计量∧θX X -=1 (2) 最大似然法
似然函数 1-1θθi n
i x L =∏= ，10<<i x
1
-1
θθi n i x L =∏=1-1
θθi n
i n
x =∏=
∑=+=n
i i x n L 1
ln 1-ln ln ）（θθ
∑=+=n
i i x n L 1
ln d ln d θθ 令0d ln d =θL 得θ的最大似然估计值 ∧
θ∑=-
=n
i i
x
n
1
ln
θ的最大似然估计量 ∧
θ∑=-
=n
i i
X
n
1
ln。