高等代数第1章多项式

三、整除的性质
• 1、若f(x)g(x)且g(x)f(x),则 存在常数 c0，使 f(x)=cg(x),. • 2、若f(x)g(x)且g(x)h(x), 则 f(x)h(x) (传递性) • 3、若f(x)g1(x)且f(x)g2(x),则 f(x)g1(x)g2(x). • 4、若f(x)g1(x)且f(x)g2(x),则u(x),v(x), f(x)u(x)g1(x)+v(x)g2(x).
f(x)-g(x)q1(x)=f1(x) deg f1(x)n-1 f1(x)-g(x)q2(x)=f2(x) deg f2(x)n-2 fk(x)-g(x)qk+1(x)=fk+1(x) f1(x), f2(x),, fk(x)的次数渐减,直到小于g(x)的次数
上式可改写为 f(x) = f1(x) + g(x)q1(x) f1(x)= f2(x) +g(x)q2(x) +) fk(x)=fk+1(x)+g(x)qk+1(x) . f(x)=fk+1(x)+g(x)[q1(x)+q2(x)++qk+1(x)] 于是,令q(x)=[q1(x)+q2(x)++qk+1(x)], r(x)=fk+1(x), deg r(x)<deg g(x)或r(x)=0. 唯一性 假设另有q1(x)和r1(x),满足 f(x) = q1(x)g(x) + r1(x) 其中deg(r1(x))<deg(g(x))或者r1(x)=0
一些性质
• 1、数域P上的两个多项式经过加、减、乘运 算后,所得的结果仍然是数域P上的多项式 • 2、deg(f(x)g(x))max(deg f(x),deg g(x)) deg(f(x)g(x))=deg f(x)+deg g(x) • 3、若f(x)0,g(x)0,则f(x)g(x)0,而且f(x)g(x)的 首项就等于f(x)的首项与g(x)的首项之积; f(x)g(x)的首项系数等于f(x)的首项系数与g(x) 的首项系数之积.
四、综合除法
• 指用一次多项式除任一多项式的简便方法 • 1、理论根据
• • • • • • •
设 f(x)=anxn+an-1xn-1++a1x+a0 (an0) 则f(x)被x-c除所得商式是一个n-1次多项式, 设为 q(x)=bn-1xn-1+bn-2xn-2++b1x+b0 所以 f(x)=(x-c)q(x)+r, 其中r为余数,即 f(x)=anxn+an-1xn-1++a1x+a0 =(x-c)(bn-1xn-1+bn-2xn-2++b1x+b0)+r 比较两边系数,得
• • • • • • • • • • 设 f(x) = anxn+an-1xn-1++a1x+a0 , g(x) = bmxm+bm-1xm-1++b1x+b0 , 1、相等: f(x)=g(x) 若f(x)与g(x)的所有同次项系数全相等. 2、加(减)法: f(x)g(x) 将f(x)与g(x)的所有同次项系数相加(减); 若m<n时,为方便,可设 bm+1=bm+2== b n-1=b n =0. f(x)g(x)= (anbn)xn+(an-1bn-1)xn-1+… n i + (a1b1)x+(a0b0)= (ai bi ) x
i jk

ai b j ) x k
乘法运算式
• 例1.设f(x)=2x2+3x-1, g(x)=x3+2x2-3x+2,则 • f(x)=2x2+3x-1, • ) g(x)=x3+2x2-3x+2 . • 2x5+3x4- x3 • 4x4+6x3-2x2 • -6x3-9x2+3x • 4x2+6x-2 . • f(x)g(x)=2x5+7x4- x3- 7x2+9x-2
推广到任意有限多个情况
•
•
• • •
•
若s2,下列结论成立: 1、若f1(x)f2(x), …,fs-1(x)fs(x), fs(x)f1(x),则 存在常数c0，使 f1(x)=cfs(x). 2、若f1(x)f2(x),f2(x)f3(x), …,fs-1(x)fs(x),则 f1(x)fs(x), 3、若g(x)f1(x), g(x)f2(x),…,g(x)fs(x), 则 u1 (x), u2(x),…,us(x)P(x),有 g(x)u1 (x)f1(x)+u2f2(x),…,us(x)fs(x). 注 两个多项式之间的整除关系不因系数域的 扩大而改变
运算规律
• • • • • • 1、加法交换律 2、加法结合律 3、乘法交换律 4、乘法结合律 5、乘法对加法的分配律 6、乘法消去律
• 定义 所有系数在数域P中的一元多项式全 体,称为数域P上的一元多项式环,记作 P[x], P称为P[x]的系数域.
•例
设f(x),g(x),h(x)是实系数多项式，且
• 得 b a n1 n b cb a n 1 n 1 n2 b cb a 1 1 0 r cb0 a0
bn1 an b a cb n 1 n 1 n2 即 b a cb 1 1 0 r a0 cb0
• • • •
• • •
•
3、将f(x)表成x-c的方幂和 设 f(x)=bn(x-c)n+bn-1(x-c)n-1++b1(x-c)+b0 问题:如何求系数bn, bn-1, ,b1,b0? 因f(x)=[bn(x-c)n-1+bn-1(x-c)n-2++b1](x-c)+b0 则b0是f(x)被x-c除所得的余数;方括号内为 商式,记作q1(x),又因 q1(x)=bn(x-c)n-1+bn-1(x-c)n-2++b1 =[bn(x-c)n-2+bn-1(x-c)n-3++b2](x-c)+b1 则b1是q1(x)被x-c除所得的余数;方括号内为 商式,记作q2(x),如此继续,所得的余数即为 b0, b1, ,bn-1,bn
由
q(x)g(x) + r(x) = q1(x)g(x) + r1(x) [q(x) - q1(x)]g(x) = r1(x) - r(x) 若q1(x)q(x),则 q1(x)-q(x) 0. 又因g(x)0,所 以乘积也不等于0,且等式两边次数相等. 但 deg[q(x)-q1(x)]g(x) =deg[q(x)-q1(x)]+deg g(x)deg g(x) 而 deg[r1(x)-r(x)] max[deg r1(x), deg r(x)]< deg g(x) 矛盾.故 q1(x)=q(x),从而r1(x)=r(x). • 注 称带余除法中的q(x)为g(x)除f(x)所得的 商式;称r(x)为余式.
|
二、整除
• 定义 设f(x)与g(x)是两个多项式,如果有一个多 项式q(x),使得 • f(x)=q(x)g(x)
则称g(x)整除(或除尽)f(x),或称f(x)被g(x)所整除 (或除尽),记作g(x)f(x).此时称f(x)是g(x)的一个倍
式, g(x)是f(x)的一个因式.
否则,若g(x)不能整除f(x),则记作 g( x ) | f ( x ) 注(1) 定义并不要求g(x)0. f ( x) • (2) 若g(x)0,则当g(x)f(x)时,可用记号 g ( x ) 表示g(x)除f(x)所得的商.
• 有: an an-1 a1 a0 • + cbn-1 cb1 cb0 • an an-1+cbn-1 a1+cb1 a0+cb0 • • bn-1 bn-2 b0 r
c
• 2、计算商式及余式 • 例 求f(x)=2x4- 6x3+3x2-2x+5被x-2除所得的 商式及余式. • 解 作综合除法 • 2 -6 3 -2 5 2 • . 4 -4 -2 -8 • 2 -2 -1 -4 -3 • 所以商式为2x3- 2x2-x-4, 余数为 -3.
i 0
• 3、乘法: f(x)g(x) • 将f(x),g(x)的各个项分别相乘后合并同类项. • f(x)g(x)=(anxn+an-1xn-1++a1x+a0)(bmxm • +bm-1xm-1++b1x+b0)

n m k 0
(
• 注(1)乘积f(x)g(x)中xk(0kn+m)的系数是 • a0bk+a1bk-1++ak-1b1+akb0 • 其中,若i>n,则ai=0;若j>m,则bj=0. • (2)乘法运算式可按竖式进行.
f 2 ( x ) xg 2 ( x ) xh2 ( x ),
• 证明f(x)=g(x)=h(x)=0. • 问改为复数域时，结论是否成立？
§2 整除的概念
• 一、带余除法 • 定理(带余除法)对于P[x]中任意两个多 项式 f(x)和g(x), 其中g(x)0, 一定有P[x] 中的多项式q(x), r(x)存在, 使 f(x) = q(x)g(x) + r(x) 成立,其中deg(r(x))<deg(g(x))或者r(x)= 0, 并且这样的q(x),r(x)是唯一决定的.
第1章
• • • • • • • • §1 §2 §3 §4 §5 §6 §7 §8
多项式
一元多项式 整除的概念 最大公因式 因式分解定理 重因式 多项式函数 复系数与实系数多项式的因式分解 有理系数多项式
§1
一元多项式
• 一、多项式 • 定义. 设x是一个变量(文字),n是非负整数.表 示式 anxn+an-1xn-1++a1x+a0 , 其中an, an-1,,a1, a0全属于数域P,称为系数在 数域P中的一元多项式,简称数域P上的一元多 项式.
•例 问l,m,n满足什么条件时,x2+lx+1能整 除x3+mx+n? • 解法一 利用长除法再令余式为0. 计算得 x3+mx+n=(x-l)(x2+lx+1)+[(l2+m-1)x+(l+n)] 由l2+m-1=0 和 l+n=0, 得n=-l, m=1-l2. • 解法二 待定系数法,令q(x)=x+a, x3+mx+n=(x+a)(x2+lx+1) = x3+(a+l)x2+(al+1)x+a 比较系数: a+l=0, al+1=m, a=n,得 a=-l, n=-l, m=1-l2.

判别法
• 1、任一多项式都能整除其自身; • 2、零多项式是任意多项式的倍式,而 零多项式的倍式只有零多项式; • 3、零次多项式(非零常数)是任意多项 式的因式,而零次多项式的因式只有零 次多项式; • 4、(定理) 设g(x)0,则g(x) f(x)当且仅 当g(x)除f(x)所得的余式为0;
注: (1) (2) (3) 等.
一元多项式指只含一个变量. n是非负整数. 多项式常用f(x), g(x)等表示,或简记作f, g
• 设数域P上的多项式 • f(x) = anxn+an-1xn-1++a1x+a0 ,
• (1) an,an-1,,a1,a0称为f(x)的系数,系数全为0 的多项式称为零多项式,记作0. • (2) akxk (k=n,n-1,…,1,0)称为f(x)的k次项,ak称 为f(x)的k次项系数. • (3) 零次项a0也称为f(x)的常数项.
•(4) 若an0,称anxn为f(x)的首项, an称为f(x)的首项系数, n 称为f(x)的次数, 常记作degf(x),或 f ( x). • (5) 非零常数是零次多项式. • (6) 零多项式是唯一无法确定次数的多项式. • (7) 只有f(x)0, degf(x)才有意义.
二 多项式的运算
• 证
存在性
(1)若f(x)=0,则取q(x)=0,r(x)=0; (2)若f(x)0,且degf(x)<degg(x),则取q(x)=0,r(x)=f(x); (3)若f(x)0,且degf(x)degg(x), 设 f(x)=anxn+an-1xn-1++a1x+a0, an0 g(x)=bmxm+bm-1xm-1++b1x+b0, bm0 an nm 令 q1 ( x ) x bm