07第七章 压电材料和电致伸缩3总结

• 引入 • • • • • •
2G 2G xi Dm T d mi X E E X E X i m T m i T m T , X i T , E
2G 2G S Dm X p m Em T X T Em X T X , E Em T , X
S xi T X , E X i T , E
• 其物理意义：正效应与逆效应相等。例如上面第一 式表示压电常量等于逆压电常量，第二式表示热电 系数等于电热系数。由其他特征函数出发，也可得 类似关系式，它们统称为麦克斯韦关系式。
• 虽然上面各式都是采用矩阵记法，但表示物理性能的线性 响应系数以及它们所联系的物理量都是张量，这些响应系 数称为物性张量。物性张量的阶决定于它所联系的物理量 张量的阶。矢量和标量分别是一阶和零阶张量。将一个p 阶张量与一个q阶张量联系起来的张量是一个 n＝p+q阶的 张量。三维空间中的一个 n阶张量共有 3n 个分量，这些分 量要用有n个附标(通常为下标)的符号来表示。 • 如果张量对称则独立分量个数减少。热电系数是一阶张量 ( 即矢量 ) ，有 3 个独立分量。电容率和热胀系数都是对称 二阶张量有6个独立分量。压电常量联系二阶张量(应力或 应变)与一阶张量(电位移或电场)的三阶张量，因为应力或 应变是对称二阶张量，故压电常量只有18个独立分量。弹 性系数是联系两个二阶张量 (应力或应变)的四阶张量，因 为应力和应变都是对称二阶张量，故弹性系数只有36个独 立分量。晶体对称性对这些张量施加了限制，使实际的分 量个数减少。晶体对称性越高，独立分量的个数越少。各 个点群晶体可能有的各种物性张量矩阵形式列于附录Ⅱ。
第七章 压电材料和电致伸缩
• 压电效应 (piezoelectric effect) ： 1880 年居里两 兄弟在研究热电性与晶体对称性关系时，发现 压力可产生电效应，即在某些晶体特定方向加 压力时，相应的表面上出现正或负的电荷，而 且电荷密度与压力大小成正比。例：铁电体酒 石酸钾钠(罗息盐) ，在科学界引起很大兴趣。 • 1881年，Lippman应用热力学原理预言逆压电 效应 (converse piezoelectric effect) ，即电场可 引起与之成正比的应变。这一预言被居里兄弟 用实验所证实。
• 因为 • 所以
dG SdT xi dX i DmdEm
(7.2)
G G G S , xi , Dm (7.3) T X i Em
• 将 dS ， x 和 D 看成 dT ， X 和 E 函数，在零应力和零 电场附近作泰勒展开，取近似只保留一次项 x x x • x （7.4） dT X E
§ 7．1 压电效应
7.1.1 线性状态方程和线性响应系数 • 处理电介质平衡性质的基本理论是线性 理论。该理论成立的条件是系统的状态 相对其初始态的偏离较小，在特征函数 对独立变量的展开式中可忽略二次以上 的高次项，而在热力学量对独立变量的 展开式中可以只取线性项。
• 考虑以温度 T、应力X和电场E为独立变量时，相应 特征函数为吉布斯自由能G。 • 假设温度、应力和电场分别发生小变化 dT 、 dX 和 dE ，且初始态应力和电场为零，故 dX=X ， dE ＝ E 。 这些变化足够小时，可用泰勒级数展开 G ，只取到 二次项 G G G
这些变化足够小时可用泰勒级数展开g只取到二次项022222222112212imimijijmnimmnimimimgggggdtxetxeggdtxxtxxgggeexdtedteetxtegxexe??????????????????????????????????因为72?所以73?将dsx和d看成dtx和e函数在零应力和零电场附近作泰勒展开取近似只保留一次项?74?75??76iimmdgsdtxdxdde????imimgggsxdtxe????????????iiiijmxejmtxtexxxxdtxetxe?????????????????????????????mmmminxeintetxdddddtxetxe???????????????????????????imxeimtetxsssdsdtxetxe????????????????????????????利用式73此三式成为?77?78?79222ijmiijimettegggxdtxextxxxe?????????????????????????????????222mimmmimnxttxgggddtxeetexee???????????????????????????????2222imimxeexgggdsdtxettxte???????????????????????????????引入?710?711?712?713?714?71522iimmimtttxxggxeexe??????????????????????????????tmmiiteddx??????????22xmmxemmmxxtxdggspettete????????????????????????????????????????22ixeiieeeiitexggxttxtsax????????????????????????????????????????22etiijijjtetexgsxxx????????????????????????2txmmnmmntxtxdgeee?????????????????????22exxexegscttt????????????????????弹性电介质的线性状态方程?于是式7779成为?716?717?718?这就是弹性电介质的线性状态方程
（7.7）
2G 2G 2G Dm dT Xi Em E T E X E E m X m i T m n T , X
（7.8）
2G 2G 2G dS 2 dT Xi Em T X , E T X i E T Em X （7.9）
G G0 T dT X i Xi Em Em
2 1 2G 1 G 2 ( dT ) Xi X j 2 2 T 2 X i X j
1 2G 2G 2G Em En X i dT Em dT 2 Em En T X i T Em 2G X i Em X i Em
电致伸缩 (electrostriction)
• 电致伸缩(electrostriction)是电介质另一种电弹效 应(electro-elastic effect)。它反映的是应变与电场 强度平方之间的正比关系，因此电致伸缩系数是 一个四阶张量。 • 虽然电致伸缩效应通常很弱，但在某些铁电体中 稍高于居里点时却相当强，而且铁电相压电常量 与电致伸缩系数有关，因此，研究电致伸缩也有 实用和理论两方面的意义。
（7.23） （7.24）
•
T T T dT E , X dS Xi Em c X i E Em X
（7.25）
• 在应用绝热条件下，得出（压电方程 ） E xi sij X j d mi Em , (7.26a) X Dm d mi X i mn En , • 式中已省去代表绝热的上标S。 • 以应变x和电场E为独立变量时，相应的方程为
• 在式(7.10)—(7.12)中，利用特征函数G的二次 偏微商与微商次序无关的原理，得到如下的 xi Dm 关系式：
E m T , X X i T , E
S Dm T E T , E m T , X
• 上面共出现 6 个物性参量，它们反映弹性 电介质中六种线性效应，现分述如下: • 应力 X 和应变 x 之间弹性效应用弹性顺度 s 描写；电位移D和电场E之间介电效应用电 容 率 E 描 写 ； 应 力 X( 或 应 变 x) 与 电 位 移 D( 或电场 E) 之间的压电效应用压电常量 d 描写；温度 T( 或熵 S) 与应变 x( 或应力 X) 之 间热膨胀效应用热胀系数 α 描写；温度 T( 或熵 S) 与电位移 D( 或电场 E) 之间热电效 应 用 热 电 系 数 pm Dm / T 或 电 热 系 数 （ S / Em ）描写；温度 T 与熵 S 改变量的 关系用比热c描写。
2G 2G xi X i T E T X i E T X , E S E ai X i T , E
（7.10）
（7.11） （7.12） （7.13） （面相似的方法 [ 见式 (7.4) － (7.18)] 得到的线性状态方程如下： • •
xi E ,S S xi dT s X d ij j mi Em S E
Dm S S,X Dm dS d X mi i mn En S X
• 前者是最早的压电换能器，后者则为压电材料 在通信技术和频率控制等方面的应用奠定基础。
• 压电效应早期研究主要针对罗息盐和石英晶体进 行。全面反映在 Cady 经典著作《压电性》。 1930 年 代 出 现 铁 电 体 KDP 系 列 晶 体 ( 包 括 反 铁 电 体 ADP)。1940年代出现BaTiO3。 • 1947 年发现 BaTiO3 陶瓷强直流电场作用后也具有 压电性，结束压电材料局限于单晶的局面。这一 阶段成果在 Mason 的经典著作《压电晶体及其在 超声中的应用》有全面的论述。 • 后来陆续出现了新型压电晶体和以 PZT 为主性能 优异压电陶瓷，并出版了关于压电陶瓷的专著。 • IRE( 以及后来的 IEEE) 制订和发布一系列关于压 电晶体的标准，推动测量方法的规范化和现代化。 • 所有这些成果使压电材料在机电换能、传感计测、 频率选择和控制等方面实现了广泛的应用。
（7.5）
（7.6）
S S S dS dT X Em i T X , E X i T , E Em T , X
• 利用式（7.3），此三式成为 • • •
2G 2G xi dT X X X i T E i j 2G X j Em X i Em T T , E
E X i cij x j emi Em ,
(7.27a) • 以应变和电位移为独立变量时，相应的方程为
D X i cij x j hmi Dm ,
压电材料的实用化
• 压电材料实用化是进一步研究压电效应推动力。 实用化方面早期有两个奠基性的工作：
• 第一， 1916 年朗之万发明了用石英晶体制作的 水声发射器和接收器，并用于探测水下的物体。 • 第二， 1918 年 Cady 通过对罗息盐晶体在机械谐 振频率附近特异的电性能研究发明了谐振器。
在式(7.16)-(7.18)和类似的状态方程中，i，j＝1-6，m，n ＝1-3，下标i和j是双下标的简写。 按照约定双下标与单下标的对应关系如下表所列
7.1.2 压电方程和压电常量
• 压电体在工作过程中不可避免地要发热， 难以保持等温条件但热交换通常可以忽 略，即满足绝热条件，因此要研究绝热 条件下压电体的性质。 • 先讨论以应力和电场为独立变量情况。 因为 dH TdS xi dX i Dm dEm (7.22) • 所以相应的特征函数是焓H。
2G cE,X S 2 T T X , E T X , E
弹性电介质的线性状态方程
• 于是式（7.7）—（7.9）成为 E E ,T T • （7.16） xi ai dT sij X j dmi Em • （7.17） X T T,X Dm pm dT dmi X i mn En • （ 7.18 ） E, X c X dS dT aiE X i pm Em T • 这就是弹性电介质的线性状态方程。方程中的系数 为线性响应系数，它们是电介质物性参量。上标标 明响应过程中保持不变的量。由式 (7.10)-(7.15) 可 知，这些线性响应系数是特征函数展开式中二次方 项系数，表明特征函数展开式到二次方项等效于在 线性范围描写电介质，二次方项的系数就是相应的 物性参量。
2G X X i j
2 xi T , E X j
E ,T sij T , E
2G Dm T ,X mn E E E m m T , X n T , X
i i
T X , E
X j T , E
i
i
j
Em T , X
m
• • •
D D D Dm m dT m X i m En T X , E X i T , E En T , X