【名师推荐资料】2020-2021学年高二数学上学期期末复习备考之精准复习模拟题(C卷)苏教版(精品)

2017--2018高二年级第一学期期末考试数学模拟试卷3
一、填空题 1．命题“若4
π
α=
，则tan 1α=”的逆否命题是__________.
【答案】若tan 1α≠，则4
π
α≠
【解析】 命题的条件： =4
π
α，结论是： tan 1α=， ∴则逆否命题是： tan 1α≠，则4
π
α≠
，故
答案为若tan 1α≠，则4
π
α≠
.
2．抛物线y 2
=2mx (m >0)的焦点到双曲线1x =的一条渐近线的距离为3,则此抛物线的方程为_________ 【答案】2
20y x =
3． 已知α，β表示两个不同的平面，m 为平面α内的一条直线，则“α⊥β”是“m ⊥β”的______条件. (请在“充要、充分不必要、必要不充分、既不充分也不必要”中选择一个填空). 【答案】必要不充分
【解析】当“α⊥β”时，m 与β的关系可以是相交、平行、垂直，故“m ⊥β”不一定成立；反之，当
m ⊥β时，又m α⊂，故有α⊥β，即当“m ⊥β”时，必有“α⊥β”。

综上可得“α⊥β”是“m ⊥β”
必要不充分条件。

答案：必要不充分
4．下列有关命题的说法中正确的有________(填序号)． ①命题“若，则
”的否命题为“若
，则
”；
②“
”是“”的必要不充分条件；
③命题“∃∈R ，使得”的否定是“∀∈R ，均有”；
④命题“若，则
”的逆否命题为真命题．
【答案】④
【解析】对于命题①命题“若
，则”的否命题为“若，则”，故该命题是错误的；
对于命题②“”是“”的充分不必要条件，则该命题也是错误的；对于命题③命题“∃
∈R ，使得”的否定是“∀∈R ，均有”，所以该命题也是错误的；对于命题④
由于命题“若
，则
”是真命题，所以由原命题与其逆否命题同真假可知该命题的逆否命
题为真命题，故该命题是的真命题，应填答案④． 5．已知函数()()ln m
f x x m R x
=-∈在区间[]1,e 取得最小值4，则m = ． 【答案】3e -
考点：导数在求函数的最值问题中的运用及分类整合的数学思想．
【易错点晴】本题考查的是导函数在求函数的最值中的运用,而且是一道逆向型问题.解答时充分借助函数在闭区间[]
1,e 取得最小值4这一条件和信息,先对函数()()ln m
f x x m R x
=-∈进行求导,进而分类讨论参数的取值情形,分别情况求出其最小值,最后再依据题设进行分析求解,去掉不合题设和已知条件的参数
的值,从而写出符合题设条件的参数
的值.
6．已知条件条件
且
是
的充分不必要条件，则a 的取值范围可以是______ ．
【答案】
【解析】∵，∴
或，若
是
的充分不必要条件，则是的充分不必要
条件，则
，∴
，故答案为
.
7．已知函数()()2
1l n 112
f x x a x a x =+
-++在1x =处取得极小值，则实数a 的取值范围是_____________. 【答案】1a >
【解析】()()()()()211111
'1ax a x ax x f x ax a x x x
-++--=+-+== ，当0a ≤ 时， ()1f 为极大
值，矛盾；当01a << 时()1f 为极大值；当1a = 时，无极值；当1a > 时()1f 为极小值，故取值范围为1a >.
8．点P 是曲线2
ln y x x =-上任意一点，则点P 到直线2y x =-的距离的最小值是 【答案】[]
1,0-
【解析】先求与直线y 2x =- 平行的曲线的切线，设切点为()
2,ln a a a - ，则由
11
221,01y x a a a x a
=-
⇒-=>⇒=' ，所以切点为()1,1 ，因此点P 到直线y=x ﹣2
的最小距离为=
9．已知定义在()0,+∞上函数()f x 满足()()'0f x xf x +>，且()20f =，则不等式()0xf x >的解集为________. 【答案】()2,+∞
10．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆x 2
＋y 2
＝4上有且仅有三个点到直线12x －5y ＋c ＝0的距离为1，则实数c 的值是______． 【答案】±13；
【解析】由圆的方程2
2
4x y +=，可得圆心坐标为00（，），圆半径2r =，∵圆心到直线1250x y c -+=的距离1d =，∴
113
c d =
=
=，即13c =，
解得13c =±，故答案为±13.
点睛：此题考查了直线与圆的位置关系，要求学生会根据圆的标准方程找出圆心坐标和半径，灵活运用
点到直线的距离公式解决问题；由圆的方程找出圆心坐标和圆的半径r ，利用点到直线的距离公式表示出圆心到已知直线的距离d ，根据题意1d =列出关于c 的方程，求出方程的解即可得到c 的值. 11． 函数，对任意的
，总有
，则实数的取值为_____________.
【答案】3
12．已知A (-1,0),B (2,0),直线l:x +2y +a =0上存在点M ,使得MA 2
+2MB 2
=10,则实数a 的取值范围为_________
【答案】11⎡--⎢⎣⎦
【解析】设(),M x y ,由22210MA MB +=得()()2222
12210x y x y ⎡⎤+++-+=⎣⎦
整理得223631x x y -+= ,由题意可得直线l:x +2y +a =0与22
3631x x y -+=有交点,联立得
()()()
2
2221524634024660340x a x a a a --+-=∴∆=---≥ 整理得236170a a +-≤ 解得
1-≤a 1≤-+
故答案为1133⎡---+⎢⎣⎦
点睛：本题考查了直接法求M 轨迹，又点M 在直线l 上，所以问题转化为直线与求得的M 轨迹方程有交点，即0∆≥ 解不等式即得解，计算量大些，要注意准确性.
13． 若不等式(
)
2
2
212ln 0tx t x x ⎡⎤--+≤⎣
⎦
对任意()0,x ∈+∞恒成立，则实数t 的值______.
【答案】1-
【解析】当(]
0,1x ∈ 时()22ln 02120x tx t x ≤⇒--+≥，记()()
22212g x tx t x =--+⇒
()()200{101310
4g g t t g t ≥≥⇒-≤≤⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭；当()1,x ∈+∞ 时()22ln 02120x tx t x >⇒--+≤⇒
()210
{1104g t t g t ≤⇒≤-⎛⎫-≤ ⎪
⎝⎭
或3t ≥，综上1t =- . 14．椭圆22
22:1x y C a b
+=左、右焦点分别为12,F F 若椭圆C 上存在点P ,使得122(PF e PF e =为椭圆的
离心率,则椭圆C 的离心率的取值范围为_________.
【答案】⎫
⎪⎪
⎣⎭
【解析】由题意得12122{
2PF PF a PF e PF +==，解得2221
a
PF e =+，
∵2a c PF a c -≤≤+，即221
a
a c a c e -≤≤++， ∴2
1121
e e e -≤
≤++， 整理得22210{ 2310
e e e e -+≥+-≥
，解得34e ≥
或3
4e ≤（舍去）， 又01e <<，
1e ≤<。

故椭圆C
的离心率的取值范围为⎫⎪⎪⎣⎭。

答案：
3,14⎫
⎪⎪⎣⎭。

点睛：求椭圆离心率或其范围的方法
(1)求,,a b c 的值，由2
2222
22e =1c a b b a a a -⎛⎫==- ⎪⎝⎭
直接求．(2)列出含有,,a b c 的方程(或不等式)，借助
于222b a c ＝－消去b ，然后转化成关于e 的方程(或不等式)求解．
二、解答题
15． 已知：命题p ：
22
113x y m m +=-+表示双曲线， 命题q ：函数()32
11132
f x x mx x =
-+-在R 上单调递增. （1）若命题p 为真命题，求实数m 取值范围；
（2）若命题p 和命题q 中有且只有一个为真命题，求实数m 的取值范围. 【答案】(1) ()31-，；(2) ()[]
3212--⋃，，.
试题解析：
（1）∵命题p 为真命题
∴()()130m m -+<，解得31m -<< ∴实数m 的取值范围为()31-，.
（2）当命题q 为真命题时有()2
10f x x mx =-+≥'恒成立
∴2
40m =-≤，解得22m -≤≤
若命题p 是真命题，命题q 是假命题，则有31{ 22
m m m -<<-或
解得32m -<<-；
若命题p 是假命题，命题q 是真命题，则有31{
22
m m m ≤-≥-≤≤或
解得12m ≤≤.
故所求实数m 的取值范围为()[]
3212--⋃，，.
16． 已知：方程表示双曲线；：关于x 的方程有实根；如果
复合命题“或”为真，“且”为假，求m 的取值范围. 【答案】1<m<3或-2≤m ≤ 【解析】试题分析：
首先确定p,q 均为真的实数m 的取值范围，然后结合命题的运算讨论实数m 的取值范围即可.
17．某地方政府要将一块如图所示的直角梯形ABCD 空地改建为健身娱乐广场.已知AD//BC,
,2AD AB AD BC ⊥== 3AB =百米，广场入口P 在AB 上，且2AP BP =，根据规划，过
点P 铺设两条相互垂直的笔直小路PM,PN （小路的宽度不计），点M,N 分别在边AD,BC 上（包含端点），
PAM ∆区域拟建为跳舞健身广场， PBN ∆区域拟建为儿童乐园，其它区域铺设绿化草坪，设
APM θ∠=.
（1）求绿化草坪面积的最大值；
（2）现拟将两条小路PNM,PN 进行不同风格的美化，PM 小路的美化费用为每百米1万元，PN 小路的美化费用为每百米2万元，试确定M,N 的位置，使得小路PM,PN 的美化总费用最低，并求出最小费用.
【答案】(1) 绿化草坪面积的最大值为22⎛⎫
- ⎪ ⎪
⎝⎭
平方百米;(2) 2,1AM BM ==时总美化费用最低为4万元.
【解析】试题分析：（1）先求得1112tan ,2tan 2tan 22tan PMA PMA S S S θθθθ∆∆⎛⎫
==
⇒=-+ ⎪⎝⎭
,63ππθ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
,再利用均值不等式求得正解；（2）先求得2cos PM θ= ， 1sin PN θ=⇒
总美化费用为22,,cos sin 63y ππθθθ⎡⎤
=
+∈⎢⎥⎣⎦
，再利用导数工具求得正解. 试题解析：（1）在Rt PMA ∆中， tan AM
AP
θ=，得2tan AM θ=， 所以1
22tan 2tan 2
PMA S θθ∆=
⋅⋅= 由APM MPN BPN π∠+∠+∠=,,2
APM MPN π
θ∠=∠=
在Rt PNB ∆中，
tan BP BN θ=，得1
tan BN θ=
， 所以111
12tan 2tan PMA S θθ
∆=⋅⋅=
所以绿化草坪面积()1
2
PAM PBN S AD BC AB S S ∆∆=+⋅--
(111
32tan 22tan θθ
=⋅--
112tan 2tan θθ⎛⎫=
-+ ⎪⎝⎭ ,63ππθ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
又因为112tan 22tan θθ+
⋅≥= 当且当12tan 2tan θθ=
，即1tan 2θ=。

此时,63ππθ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
所以绿化草坪面积的最大值为22⎛⎫
-
⎪ ⎪
⎝⎭
平方百米. （2）方法一：在Rt PMA ∆中，
cos AP PM θ=，得2
cos PM θ
=
， 由APM MPN BPN π∠+∠+∠=,,2
APM MPN π
θ∠=∠=
在Rt PNB ∆中，
sin BP PN θ=，得1
sin PN θ
=
， 所以总美化费用为22,,cos sin 63y ππθθθ⎡⎤
=
+∈⎢⎥⎣⎦
()
33
22222sin cos 2sin 2cos cos sin sin cos y θθ
θθθθθθ
-=
'=- ()(
)22222sin cos sin sin cos cos sin cos θθθθθθ
θθ
-++=
令0y '=得
π
θ=
列表如下
所以当4π
θ=
时，即2,1AM BM ==时总美化费用最低为4万元。

方法二：在Rt PMA ∆中， cos AP PM θ=，得2
cos PM θ=
， 由APM MPN BPN π∠+∠+∠=,,2
APM MPN π
θ∠=∠=
在Rt PNB ∆中，
sin BP PN θ=，得1
sin PN θ
=
， 所以总美化费用为22,,cos sin 63y ππθθθ⎡⎤
=
+∈⎢⎥⎣⎦
()2sin cos 22
cos sin sin cos y θθθθθθ
+=
+=
令1sin cos ,2t t θθ⎡=+∈⎢⎣得21
sin cos 2t θθ-=
所以241t
y t =-， ()
22
24401
t y t +=-'-< 所以2
41t
y t =
-
在,t ∈⎣上是单调递减
所以当t =
， 4
π
θ=
时，即2,1AM BM ==时总美化费用最低为4万元。

18．已知圆()()2
2
:222M x y -+-=，圆()2
2:840N x y +-=，经过原点的两直线12,l l 满足12l l ⊥，且1l 交圆M 于不同两点交,A B ， 2l 圆M 于不同两点,C D ，记1l 的斜率为k （1）求k 的取值范围；
（2）若四边形ABCD 为梯形，求k 的值． 【答案】（1
）23
k <
（2）1k =或3-． 【解析】试题分析：（1）首先根据条件设出直线12,l l 的方程，然后利用点到直线的距离公式求得k 的取值范围，；（2）首先设出点,,,A B C D 的坐标，然后分别将12,l l 的方程代入圆的方程，从而利用韦达定理，结合梯形的性质求得k 的值．
试题解析：（1）显然k≠0，所以l 1：y ＝kx ，l 2：y ＝－x ． 依题意得M 到直线l 1的距离d 1＝＜， 整理得k 2
－4k ＋1＜0，解得2－＜k ＜2＋； 同理N 到直线l 2的距离d 2＝＜，解得－＜k ＜， 所以2－＜k ＜．
（2）设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，C(x 3，y 3)，D(x 4，y 4)， 将l 1代入圆M 可得(1＋k 2
)x 2
－4(1＋k)x ＋6＝0， 所以x 1＋x 2＝，x 1x 2＝； …7分
将l 2代入圆N 可得：(1＋k 2
)x 2
＋16kx ＋24k 2
＝0， 所以x 3＋x 4＝－，x 3x 4＝．
由四边形ABCD 为梯形可得，所以＝， 所以(1＋k)2
＝4，解得k ＝1或k ＝－3（舍）．
考点：1、点到直线的距离公式；2、直线与圆的位置关系． 19．已知函数()()()()()2
1,ln x
f x x e kx
k R g x a x a R =--∈=∈.
（1）当1a =时，求()y xg x =的单调区间；
（2）若对[]
1,x e ∀∈，都有()()2
2g x x a x ≥-++成立，求a 的取值范围；
（3）当3,14k ⎛⎤
∈
⎥⎝⎦时，求()f x 在[]0,k 上的最大值. 【答案】（1）1,e
⎛⎫+∞ ⎪⎝
⎭
（2）a 1≤- (3) ()()3
max 1k f x k e k ⎡⎤=--⎣⎦
试题解析：
⑴1a =时， ln y x x =， ln 1y x '=+，令0y '>，得ln 1x >- ，解得1
x e
>． 所以函数ln y x x =的单调增区间为1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
．
⑵由题意 ()2
ln 2a x x a x ≥-++对1x e ≤≤恒成立，因为1x e ≤≤时， ln 0x x ->， 所以22ln x x
a x x
-≤
-对1x e ≤≤恒成立．记()22ln x x h x x x -=-，因为()()()()
2
121ln 0ln x x x h x x x ⎡⎤-+-⎣⎦-'=≥对1x e ≤≤恒成立，当且仅当1x =时()0h x '=，所以()h x 在[]
1,e 上是增函数， 所以()()min
11h x h ⎡⎤==-⎣⎦
，因此1a ≤-．
()()
233x x p x xe x x e x '=-=-，记()3x r x e x =-， ()30x r x e ='-<对01x <<恒成立，
所以()r x 在[]
0,1上单调减函数， ()010r =>， ()120r =-<，所以()00,1x ∃∈，使0030x
e x -=，
当00x x <<时， ()0p x '>， ()p x 在()00,x 上是单调增函数；当01x x <<时， ()0p x '<， ()p x 在()0,1x 上是单调减函数．又()()010p p ==，所以()0p x ≥对01x <≤恒成立，
即()3
11x x e x --≥-对01x <≤恒成立，所以()()3max
1k f x k e k ⎡⎤=--⎣⎦． 点睛：导数问题经常会遇见恒成立的问题：
（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；
（2）若()0f x >就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为()min 0f x >，若()0f x <恒成立，转化为()max 0f x <;
（3）若()()f x g x >恒成立，可转化为()()min max f x g x >.
20．如图，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b
+=>>的右准线l 的方程为3x =（1）求椭圆C 的方程；
（2）过定点()1,0B 作直线l 与椭圆C 交于点,P Q （异于椭圆C 的左、右顶点12,A A ）两点，设直线1PA 与直线2QA 相交于点M .
①若()4,2M ，试求点,P Q 的坐标； ②求证：点M 始终在一条直线上.
【答案】（1）点P 的坐标为1012,1313⎛⎫
⎪⎝⎭， Q 的坐标为64,55⎛⎫
- ⎪⎝⎭
（2）见解析. 【解析】试题分析：（1）由椭圆的离心率公式和a ，b ，c 的关系，解方程可得a ，b ，进而得到椭圆方程；（2）①求得直线MA 1的方程和以MA 2的方程，代入椭圆方程，求得交点P ，Q 的坐标；②设点M （x 0，y 0），求得直线MA 1的方程和以MA 2的方程，代入椭圆方程，求得交点P ，Q 的坐标，结合P ，Q ，B 三点共线，所
以k PB =k QB ，化简整理，可得040x -=或2
20014
x y +=．分别考虑，即可得到点M 始终在一条定直线x=4上．
②设点()00,M x y ，由题意， 02x ≠±．因为()12,0
A -， ()22,0A ， 所以直线1MA 的方程为()0022y y x x =++，代入2244x y +=，得()2
20044202y x x x ⎡⎤-++=⎢⎥+⎣⎦
，
即()()()()20
20422202y x x x x ⎡⎤+-++=⎢⎥+⎢⎥⎣⎦
，因为1
2A x =-， 所以()
()
()
()
2
2
20022
20
00
2
082242242412P y x x x y x y
x -
++=
=
-+++
+，则()()
00
2
2
00
4224P x y y x y +=
++，故点P 的坐标为
()()()()2000222
20
00042422,2424x x y x y x y ⎛⎫++ ⎪- ⎪++++⎝⎭． 同理可得点Q 的坐标为()()()()2000222
20
00042422,2424x x y x y x y ⎛⎫
---- ⎪+ ⎪-+-+⎝⎭． 因为P ， Q ， B 三点共线，所以PB QB k k =，
11
Q P
P Q y y x x =
--． 所以()()()()()()()()00
00
2
2
220000220022220000
42422424424221212424x y x y x y x y x x x y x y +--++-+=+----+-++-+，即()()()()00
002
2
22
0000
22212324x y x y x y x y +--=
+---+，
由题意， 00y ≠，所以
()
()002
2
2
2
00
00
2
2212324x x x y x y +-=
+---．
即()()()()()()2
2
22000000003224222122x x x y x x x y +--+=-+--．
所以()220004104x x y ⎛⎫-+-=
⎪⎝⎭，则040x -=或22
0014x y +=．若220014x y +=，则点M 在椭圆上， P ， Q ， M 为同一点，不合题意．故04x =，即点M 始终在定直线4x =上.
点睛：定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.。