炮弹发射的角度确定问题

炮弹发射的角度确定问题
实验目的：
1、学习由实际问题去建立数学模型的过程；
2、学会非线性方程的求解方法；
3、借助于matlab 软件，求解一个小型的实际问题；
实验问题：
将炮弹发射视为斜抛运动，已知初始速度为200米/秒，问要击中水平距离360米，垂直距离160米的目标，当忽略空气阻力时发射角应为多少？ 进一步地思考：
如果要考虑水平方向的阻力且设阻力与（水平方向）速度成正比，系数为0.1（l/s ），结果又如何？
分析：
首先建立坐标系，以水平方向为x 轴，垂直方向为y 轴。

第一种情况： 当忽略空气阻力时
根据抛物运动的规律。

在水平方向上，炮弹是匀速直线运动，在t 时刻下，运动方程是：
t*0ν*)cos(θ =0x （1）
在垂直方向上，在t 时刻下，运动方程是：
0ν*)sin(θ *t -2
1*9.8*2t =0y （2） 其中参数是：0ν= 200 m/s ；（0x ，0y ）=（360，160）； 需要确定θ=？和时间t = ？
设)sin(θ=1x )cos(
θ=2x 对（1）求出t 后带入二试得：
0ν*1x *200*x x ν-21*9.8*2200*⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛x x ν=0y ---（1） 12221=+x x --------------------------------------（2）
对1x 做反正旋计算，对θ取0-90°
在matlab 中输入：
y1=’200*x1*360/(200*x2)-0.5*9.8*(360/(200*x2))^2-160’
y2=’x1^2+x2^2-1’
[x1,x2]=solve(y1,y1,’x1’,’x2’);
x1=subs(x1);x2=subs(x2);
arf=((asin(vpa(x1,8)))/pi)*180;
arf=subs(arf)
arf =
-26.5444
-87.4181
87.4181
26.5444
为运行结果，选择0-90°，所以可以选择87.4181°与26.544°
画出运动轨迹：
tp11=x1(3);tp12=x1(4);tp21=x2(3);tp22=x2(4);
t1=0:.1:360/(200*tp21);t2=0:.1:360/(200*tp22);
x11=t1*(200*tp21);x22=t2*(200*tp22);
y11=200*tp11*t1-0.5*9.8*t1.^2;y22=200*tp12*t2-0.5*9.8*t2.^2; plot(x11,y11,x22,y22),grid on;legend('87.4181°','26.544°')
完整程序如下：
y1='200*x1*360/(200*x2)-0.5*9.8*(360/(200*x2))^2-160';
y2='x1^2+x2^2-1';
[x1,x2]=solve(y1,y2,'x1','x2');
x1=subs(x1);
x2=subs(x2);
arf=((asin(vpa(x1,8)))/pi)*180;
arf=subs(arf)
clf
tp11=x1(3);
tp12=x1(4);
tp21=x2(3);
tp22=x2(4);
t1=0:.1:360/(200*tp21);
t2=0:.1:360/(200*tp22);
x11=t1*(200*tp21);
x22=t2*(200*tp22);
y11=200*tp11*t1-0.5*9.8*t1.^2;
y22=200*tp12*t2-0.5*9.8*t2.^2;
plot(x11,y11,x22,y22),grid on
legend('87.4181°','26.544°')
进一步思考：
如果考虑水平方向的阻力且设阻力与（水平方向）速度成正比，系数为0.1（l/s ），结果又如何？
与第一个模型进行比较，主要的差别在于水平方向上炮弹的运动不再是匀速直线运动了，而是变速运动。

水平方向的运动表示为：)cos(1.0θ⨯⨯=v dt
dv 初始条件： 0ν= 200 m/s 解此微分方程得：))cos(1.0(200t e v ⨯⨯-=θ
))cos(1.0(200t e v dt
dx ⨯⨯-==θ )1)(cos(/2000))cos(1.0(t e x ⨯⨯--=θθ---（1）
（1）式为水平运动方程 垂直方向运动方程仍然是：0ν*)sin(θ *t -
21*9.8*2t =0y -----（2） 由（1）得：)2000
)cos(1ln()cos(10θθx t --
=----------------------------（3） 带入（2）得：
160)2000)cos(3601(ln )
(cos 1009.4)2000)cos(3601ln()tan(200022=-⨯--
⨯⨯-θθθθ---（4） 对于方程 160)2000)cos(3601(ln )
(cos 1009.4)2000)cos(3601ln()tan(200022--⨯--⨯⨯-=θθθθy 的零点即为θ的值
2000/cos(x)*(1-exp(-0.1*cos(x)*ts))
matlab 命令如下：
t=0:.1:2*pi;
y1=-5:.01:5;
y=-(-20*tan(t).*log(1-36*cos(t)./200)-4.9*(log((1-36*cos(t)./200))).^2/(cos(t)).^2.-1.6); plot(t,y,pi/2,y1),grid on
由图可知该方程的解应该位于直线左侧即0-90°之间
那么大概在0.5左右利用matlab 零点求解命令
程序如下
yl='-(-20*tan(x)*log(1-36*cos(x)/200)-4.9*(log((1-36*cos(x)/200)))^2/(cos(x))^2-1.6)'; x=fzero(yl,0.5)
之后画出炮弹运动轨迹
matlab程序如下：
ts=-10/cos(x)*log(1-36*cos(x)/200)
t1=0:.1:ts;
xs=2000/cos(x)*(1-exp(-0.1*cos(x)*t1));
ys=200*sin(x)*t1-0.5*9.8*t1.^2;
plot(xs,ys),grid on
完整的程序如下：
yl='-(-20*tan(x)*log(1-36*cos(x)/200)-4.9*(log((1-36*cos(x)/200)))^2/(cos(x))^2-1.6)'; t=0:.1:2*pi;
y1=-5:.01:5;
y=-(-20*tan(t).*log(1-36*cos(t)./200)-4.9*(log((1-36*cos(t)./200))).^2/(cos(t)).^2.-1.6); %plot(t,y,pi/2,y1),grid on
x=fzero(yl,0.5);
arf=(asin(x)/pi)*180
ts=-10/cos(x)*log(1-36*cos(x)/200)
t1=0:.1:ts;
xs=2000/cos(x)*(1-exp(-0.1*cos(x)*t1));
ys=200*sin(x)*t1-0.5*9.8*t1.^2;
plot(xs,ys),grid on
运行结果
x =
0.4733
arf =
28.2519
入射角度为28.2519°
ts =
1.9617
炮弹运动时间为1.9617秒。