河北石家庄高三一模数学(理)试卷 扫描版含答案

石家庄2019届高中毕业班模拟考试（一） 理科数学答案
一、选择题
A 卷答案：1-5 CDAC
B 6-10BCCBD 11-12DA B 卷答案：1-5 CDBCA 6-10ACCAD 11-12DB 二、填空题
13. 1 14. ()122y x =
- 或()1
22
y x =--
三、解答题
17. 解: （1） ∵△ABC 三内角A 、B 、C 依次成等差数列，∴B=60°
设A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ,由S ==
1
sin 2
ac B 可得12ac =.……2分 ∵sin 3sin C A =，由正弦定理知3c a =，∴2,6a c ==. ……4分
△ABC 中，由余弦定理可得222
2cos 28b a c ac B =+-=，∴b=
即AC 的长为……6分
（2）∵BD 是AC 边上的中线，∴1
()2
BD BC BA =
+ ……8分 ∴2221(2)4BD BC BA BC BA =++⋅=221(2cos )4a c ac B ++=22
1()4
a c ac ++
1
(2)94
ac ac ≥+=，当且仅当a c =时取“=” ……10分 ∴3BD ≥,即BD 长的最小值为3. ……12分
18. 解：（1）证明：在PBC ∆中，60o
PBC ∠=，2BC =，4PB =，由余弦定理可得PC = 222PC BC PB +=，PC BC ∴⊥，…………2分
,PC AB AB BC B ⊥⋂=又
，
PC ABC ∴⊥平面，PC PAC ⊂平面，PAC ABC ∴⊥平面平面.…………4分
（2）法1：在平面ABC 中，过点C 作CM CA ⊥，以,,CA CM CP 所在的直线分别为z y x ,,轴建立空间直角坐标系C xyz -如图所示：
(0,0,0),(2,0,0),(1C P A
B (1F ，…………6分
设平面PBC 的一个法向量为111(,,)x y z =m
则11100
CB x CP ⎧∙==⎪⎨∙==⎪⎩m m
解得1x 11y =-，10z =
即1,0)=-m …………8分
设平面BCF 的一个法向量为222(,,)x y z =n
则222200
CB x CF x ⎧∙=+=⎪⎨∙==⎪⎩n n
解得2x =21y =-，21z =-
即1,1)=--n …………10分
cos ,<>=
==
m n m n m n 由图可知二面角P BC F --为锐角，所以二面角P
BC F --12分 法2：由（1）可知平面PBC ⊥平面ABC ，
所以二面角P BC F --的余弦值就是二面角A BC F --的正弦值，…………6分 作FM AC ⊥于点M ，则FM ⊥平面ABC ， 作MN BC ⊥于点N ，连接FN ，则FN BC ⊥
∴FNM ∠为二面角A BC F --的平面角；…………8分
点F 为PA 中点，∴点M 为AC 中点， 在
Rt FMN ∆中，
12FM PC
=
=
MN = FN ∴=
…………
10分 sin FM FNM FN ∴∠=
=
,所以二面角P
BC F --12分
19. 解答：根据题意可得
y
111
(30)5525133
(31)25102512331
(32)2551010411327
(33)2251010525312211
(34)210105550212
(35)251025111
(36)1010100
P P P P P P P ξξξξξξξ==⨯=
==⨯⨯=
==⨯⨯+⨯=
==⨯⨯+⨯⨯=
==⨯⨯+⨯=
==⨯⨯=
==⨯=
……..部分对给2分，全对给4分
ξ的分布列如下：
…………………………………5分
13171121()3031323334353632.825254255025100
E x =⨯
+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=……6分 （2）当购进32份时，利润为
()()2131324314830416107.5213.92 4.16125.6252525⨯⨯
+⨯-⨯+⨯-⨯=++=
……8分
当购进33份时，利润为
()()()59131
3343248314163042477.883012.96 3.84124.6810042525
⨯⨯
+⨯-⨯+⨯-⨯+⨯-⨯=+++=……10分 125.6>124.68
可见，当购进32份时，利润更高！……12分 20. 解：（1） 由抛物线定义,得02
p
PF x =+
，由题意得：
0022
24
0p x x px p ⎧
=+⎪⎪
=⎨⎪>⎪⎩
……2分 解得0
21p x =⎧⎨=⎩
所以，抛物线的方程为24y x = ……4分
（2）由题意知，过P 引圆(
)2
22
3(0x y r r -+=<≤
的切线斜率存在，设切线PA 的方
程为1(1)2
y k x =-+，则圆心M 到切线PA 的距
离d r ==，整理得，
22211(4)840r k k r --+-=.
设切线PB 的方程为2(1)2y k x =-+,同理可得22222(4)840r k k r --+-=. 所以，12,k k 是方程222(4)840r k k r --+-=的两根，121228
,14
k k k k r +=
=-. ……6分
设11(,)A x y ，22(,)B x y
由12(1)24y k x y x
=-+⎧⎨=⎩得，2114480k y y k --+=，由韦达定理知，111842k y k -=，所以
11211
424
242k y k k k -=
=-=-，同理可得2142y k =-. ……8分 设点D 的横坐标为0x ，则
222121212122()2()12()2()3k k k k k k k k =+-++=+-+- ……10分 设12t k k =+，则[)28
4,24
t r =
∈---， 所以，20223x t t =--，对称轴1
22
t =>-，所以0937x <≤ ……12分
21.解：（1）22
11(1)
(),0a x a f x x x x x
---'=-=>（）
当10a -≤时，即1a ≤时，()0f x '>，函数)(x f 在(0,)+∞上单调递增，无极小值；
……2分
当10a ->时，即1a >时，()0,01f x x a '<⇒<<-，函数)(x f 在(0,1)a -上单调递减；
()0,1f x x a '>⇒>-，函数)(x f 在(1,)a -+∞上单调递增；
()=(1)1ln(1)f x f a a -=+-极小
综上所述，当1a ≤时，)(x f 无极小值；
当1a >时，()1ln(1)f x a =+-极小 ……4分
（2）令1(sin 1)2ln sin 1
()()()ln ,(0)a a x x x a x F x f x g x x x x x x
-+--+=-=+
-=> 当11a -≤≤时，要证：)()(x g x f >，即证()0F x >,即证ln sin 10x x a x -+>， 法1：要证ln sin 10x x a x -+>，即证ln sin 1x x a x >-.
①当01a <≤时，
令()sin h x x x =-，()1cos 0h x x '=-≥，所以()h x 在(0,)+∞单调递增， 故()(0)0h x h >=，即sin x x >. ……6分
∴1sin 1
ax a x ->-*（） ……7分 令()ln 1q x x x x =-+，()=ln q x x '，
当(0,1),()0x q x '∈<，()q x 在(0,1)单调递减；(1,),()0q x x '∈+∞>，()q x 在(1,)+∞单调递增，故()(1)0q x q ≥=，即ln 1x x x ≥-.当且仅当1x =时取等号
又
01a <≤，∴ln 11x x x ax ≥-≥-**（）
由*（）、**（）可知ln 11sin 1x x x ax a x ≥-≥->-
所以当01a <≤时，ln sin 1x x a x >- ……9分 ②当=0a 时，即证ln 1x x >-. 令()=ln m x x x ，()=ln 1m x x '+，()m x 在1
(0,)e
上单调递减，在1(,)e
+∞上单调递增，min
11
()()=1m x m e e
=->-，故ln 1x x >-
.……10分
③当10a -≤<时，
当0,1]x ∈（时，sin 11a x -<-，由②知1()ln m x x x e =≥-
，而1
1e
->-， 故ln sin 1x x a x >-； ……11分
当1,x ∈+∞（）
时，sin 10a x -≤，由②知()ln (1)0m x x x m =>=，
故ln sin 1x x a x >-；
所以，当0,x ∈+∞（）
时，ln sin 1x x a x >-. 综上①②③可知，当11a -≤≤时，)()(x g x f >. ……12分 法2： 当11a -≤≤时，下证ln sin 10x x a x -+>，即证ln sin 1x x a x >-. ……5分
① 当1x >时，易知ln 0x x >，sin 10a x -≤，故ln sin 10x x a x -+>； (6)
分
②当1x =时，0sin110a -+>显然成立，故ln sin 10x x a x -+>； ……7分 ③当01x <<时，sin 0x >，故sin sin sin x a x x -≤≤， 令()sin h x x x =-，()1cos 0h x x '=-≥，所以()h x 在(0,)+∞单调递增，
故()(0)0h x h >=，即sin x x >.，故sin a x x <； ……9分 只需证()ln 10q x x x x =-+>，()=ln q x x '，当(0,1),()0x q x '∈<
，()q x 在(0,1)单调递减，
故()(1)0q x q >=，故ln sin 10x x a x -+>； ……11分 综上①②③可知，当11a -≤≤时，)()(x g x f >. ……12分 法3：易知1sin ()()ln x
f x
g x x a x x
-=+- 要证()()f x g x >，即证1sin ln x
x a x x
+>⋅
……6分 令1()ln x x x ϕ=+
，则'21
()x x x
ϕ-=，故min ()(1)1x ϕϕ== ……8分 令()sin h x x x =-，()cos 10h x x '=-≤，故()h x 在0+∞（，）上递减
由(0)0h =，从而当0x >时sin x x <，故sin 1x
x
< ……10分 由11a -≤≤，故sin 1x
a x
⋅
< ……11分 综上，当11a -≤≤时，()()f x g x > ……12分 22.（Ⅰ）曲线C 的普通方程为：
, ……2分
令，……3分
化简得；……5分
（Ⅱ）
解法1：把……6分
令，……7分
方程的解分别为点A,B的极径，
……8分
，
……10分
解法2：射线的参数方程为，把参数方程代入曲线C的平面直角坐标方程中得，, ……6分
令，得，……7分
方程的解分别为点A,B的参数，
……8分
，
……10分
23.（Ⅰ）不等式可化为
……1分
或……2分
或……3分
解得
的解集为……5分
（Ⅱ）
……6分
，
……8分
当且仅当时，即时，取“=”，
的最小值为．……10分方法2：……6分
，
……8分
当时，取得最小值为．……10分。