数学北师大版高中必修4从力所做的功到向量的数量积《必修4》导学案

从力所做的功到向量的数量积《必修4》导学案
高一年级数学备课组张菊莲 2011.11.18
[课程学习目标]
1．理解平面向量数量积运算的含义及其几何意义、物理意义。

2．了解向量的夹角、向量垂直、向量射影等概念，体会平面向量数量积与向量射影的关系。

3．能够运用向量数量积的运算性质和运算律解决涉及长度、夹角、平行、垂直的几何问题。

[重点]平面向量数量积定义及运算性质。

理解“投影”的计算公式。

[难点]对向量数量积概念的理解。

[创设情境，揭示课题] 在物理学中，一个物体受到力的作用，如果说在力的方向上发生了一段位移，我们就说这个力对物体做了功。

如图，若小车在力F的作用下，产生的位移S，那么F所做的功W是多少？F和S是什么量？W是什么量？和向量有什么关系？1.力做的功：W = |F|•|S|cosθ，θ是F 与S的夹角。

问：一般的向量a和b，如何定义这种运算？
读记教材交流：（自主预习不看不讲）
问题1：向量a和b的夹角是如何定义的？向量a和b夹角的范围是什么？何时向量a和b垂直？（注：规定零向量与任一向
量垂直）
问题2：向量a和b的数量积如何定义的？零向量与任一向量的数量积是多少？
思考：向量的数量积和前面学习的三种向量运算有何区别？问题3：a在b方向上的投影是如何定义的？b在a方向上的投影呢？a∙b的几何意义是什么？
注意：①射影也是一个数量，不是向量。

②当θ为锐角时射影为正值；a∙b0
当θ为钝角时射影为负值；a∙b0
当θ为直角时射影为0；a∙b=0，反之，a∙b=0时，θ
为直角或a与b中至少有一个为0。

当θ = 0︒时射影为 |b|；a∙b=|a||b|0
当θ = 180︒时射影为-|b|；a∙b= —|a||b|0
问题4.由向量数量积的几何意义你能得到两个向量的数量积哪些的性质？
问题5.实数运算中乘法有哪些运算律？（1.交换律2.结合
律：3.分配律）向量的数量积满足哪些运算定律？
思考：1.如果a∙b=a∙c，能否推出b=c？为什么？
2. （a∙b）c∙=a∙（b c∙）是否成立？为什么？（由
练习课本P95，T3验证）
3．)
a-= ，
(2b
(2b
a+= ，)
(-
+= 。

)(
)
基础学习交流（不练不讲）
1.已知|a|=3，|b|=4，（1）若a与b夹角0
θ，则a∙b=
=
150
（）
（2）若a//b，则a∙b=（）（3）若a⊥b，则a∙b=（）
2.判断下列各题正确与否：
①若a= 0，则对任一向量b，有a∙b = 0. ( )
②若a ≠0则对任一非零向量b ，有a ∙b ≠ 0. ( )
③若
a ≠0，a ∙
b = 0.，则b = 0 ( )
④若
a ∙
b = 0，则a 与b 至少有一个为零.
( ) ⑤ 若
a ≠0，a ∙
b = a ∙
c ，则b =c ( )
⑥若a ∙b = a ∙c ，则b =c 当且仅当a ≠0时成立.
( ) ⑦对任意向量a 、b 、c 有（a ∙b ）c ∙=a ∙（b c ∙） ( )
⑧
对任意向量a ，有22||= （ ）
⑨
00=∙a ，00=∙a
（ ） 4．|a |=4，|b |=3，a ∙b = -6 则a 与b 夹角(_____)=θ
5．已知非零向量a 与b ，|a |=6，a 与b 夹角为600，a 在b 方向上的投影为（ ）。

能力交流 （不议不讲）
题型1 求数量积问题
例1 已知.已知|a |=2，|b |=3，且a 与b 夹角060=θ求
（1）a ∙b ， （2）|a -b |2 （3）（2a -b ）∙（a +b ） （4）22-
变式；已知正三角形ABC 的边长为1，求
（1）AC AB ∙； （2）BC AB ∙； （3）AC BC ∙
题型2 利用数量积求向量的模 例2 已知|a |=|b |=5，且a 与b 夹角3
πθ=求|+|；|-|；|3a +b |
变式1已知|a |=|b |=1，|3a -2b |=3，求|3a +b |。

变式2 在ABC ∆中，BC ，CA ，AB 的长度分别为,,,c b a 证明： A bc c b a cos 2222-+=； B ac c a b cos 2222-+=；C ba a b c cos 22
22-+=； 题型3 求向量的夹角问题
例3 已知单位向量e e 21,的夹角为600，求向量e e 21+=，
e 212-=的夹角。

变式：已知|a |=2，|b |=3，（a -2b ）∙（2a +b ）=1-，求a 与b 夹角。

题型4 利用向量的数量积处理垂直问题
例4 证明菱形的两条对角线互相垂直。

变式：用向量证明：等腰三角形底边上的中线垂直于底边。

例4 已知|a |=5，|b |=4，且a 与b 夹角3
πθ=，当k 为何值时，向量k a -b 与a +2b 垂直?
变式：已知a ，b 都是非零向量，且a +3b 与7a -5b 垂直，a -4b
与7a -2b 垂直，求a 与b 的夹角。

[学习小结]
①有关概念：向量的夹角、射影、向量的数量积.
②向量数量积的几何意义和物理意义.
③向量数量积的五条性质.
④向量数量积的运算律.
目标测试
1.已知向量a ，b 满足|a |=1，|b |=2，|a -b |=2，则|a +b |=（ ） A.1 B.2 C.5 D.6
2.已知|a |=3，|b |=5，且a ∙b =12，则a 在b 上的投影为（ ）。

A.5
12 B.3 C.4 D.5 3．若02=+∙，则ABC ∆为（ ）
A ．直角三角形 B.钝角三角形 C.锐角三角形 D.等腰三角形。

4.已知|a |=2，|b |0≠，且关于x 的方程++x a x ||2∙=0有实根，则a 与b 的夹角的取值范围是（ ）
A. [0，]6π
B. ],3[ππ
C. []32,3ππ
D. [],6
ππ 5.已知a 与b 的夹角为060， |a |=3，|b |=4，则（2a -3b ）2
=
（ ） (a -2b )∙(3a +b )=(
)
6.已知a =（1，1），且a 与a +2b 的方向相同，则a ∙b 的取值范围是（ ）
7. 已知|a|=4，|b|=5，当（1）a//b；a⊥b；（3）a与b夹角为0
30时，求a∙b
8.已知a，b是两个非零向量，且|a|=|b|=|a+b|，求向量b与-的夹角θ。