【2013版中考12年】浙江省嘉兴市、舟山市2002-2013年中考数学试题分类解析 专题10 四边

【2013版中考12年】某某省某某市、某某市2002-2013年中考数学
试题分类解析专题10 四边形
一、选择题
1. （2005年某某某某、某某4分）挪威数学家阿贝尔，年轻时就利用阶梯形，发现了一个重要的恒等式——阿贝尔公式：右图是一个简单的阶梯形，可用两种方法，每一种把图形分割成为两个矩形。

利用它们之间的面积关系，可以得到：a1b1+a2b2=【】
A. a1(b1－b2)+(a1+a2)b12(b2－b1)+(a1+a2)b2
C. a1(b1－b2)+(a1+a2)b22(b1－b2)+(a1+a2)b1
【答案】C。

【考点】矩形的面积。

2. （2007年某某某某、某某4分）下图背景中的点均为大小相同的小正方形的顶点，其中画有两个四边形，下列叙述中正确的是【】
A．这两个四边形面积和周长都不相同
B．这两个四边形面积和周长都相同
C．这两个四边形有相同的面积，但I的周长大于Ⅱ的周长
D．这两个四边形有相同的面积，但I的周长小于Ⅱ的周长
【答案】D。

【考点】网格问题，勾股定理。

3. （2008年某某某某、某某4分）如图，正方形ABCD中，E是BC边上一点，以E为圆心、EC为半径的半圆与以A为圆心，AB为半径的圆弧外切，则sin∠EAB的值为【】
A．4
3
B．
3
4
C．
4
5
D．
3
5
【答案】D。

【考点】正方形的性质，两圆外切的性质，勾股定理，锐角三角函数定义。

4. （2011年某某某某、某某3分）如图，①②③④⑤五个平行四边形拼成一个含30°内角的菱形EFGH（不重叠无缝隙）．若①②③④四个平行四边形面积的和为14cm2，四边形ABCD 面积是11cm2，则①②③④四个平行四边形周长的总和为【】
（A）48cm （B）36cm（C）24cm （D）18cm
【答案】A。

【考点】菱形的性质，平行四边形的性质。

二、填空题
1.（2008年某某某某、某某5分）如图，菱形ABCD中，已知∠ABD=20°，则∠C的大小是▲ 度．
【答案】140。

【考点】菱形的性质。

2. （2008年某某某某、某某5分）定义1：与四边形四边都相切的圆叫做四边形的内切圆．定
义2：一组邻边相等，其他两边也相等的凸四边形叫做筝形．探究：任意筝形是否一定存在内切圆？
答案：▲ ．（填“是”或“否”）
【答案】是。

【考点】新定义，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质。

3. （2010年某某某某、某某5分）如图，已知菱形ABCD的一个内角∠BAD＝80º，对
角线AC、BD相
交于点O，点E在AB上且BE＝BO，则∠AOE＝▲ °．
【答案】25。

【考点】菱形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理。

三、解答题
1. （2002年某某某某、某某8分）如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是AB、CD上的点，且AE=CF，求证：DE=BF
【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴ AB∥CD，AB=CD。

∵AE=CF，∴BE=DF，BE∥DF。

∴四边形DEBF是平行四边形。

∴DE=BF。

【考点】平行四边形的判定和性质。

2. （2003年某某某某、某某10分）已知：如图，菱形ABCD中，E、F分别是CB、CD上的点，且BE=DF，
求证：（1）△ABE≌△ADF
（2）∠AEF=∠AFE
【答案】证明：（1）∵ABCD是菱形，∴AB=AD，∠B=∠D。

又∵BE=DF，∴△ABE≌△ADF。

（2）∵△ABE≌△ADF，∴AE=AF。

∴∠AE F=∠AFE。

【考点】菱形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质。

3. （2004年某某某某、某某10分）如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于E，已知：DA=DC，E为AC中点，
求证：（1）AC⊥BD（2）∠ABD=∠CBD
【答案】证明：（1）∵DA=DC，E为AC中点，∴DB是AC的中垂线。

∴AC⊥BD。

（2）由（1）DB是AC的中垂线，
∴AB=BC。

∴△ABC是等腰三角形。

∴∠ABD=∠CBD。

【考点】等腰三角形的判定和性质，线段中垂线的性质。

4. （2005年某某某某、某某8分）如图，矩形ABCD中，M是CD的中点。

求证：（1）△ADM≌△BCM；
（2）∠MAB=∠MBA
【答案】证明：（1）∵M是CD的中点，∴DM=CM。

∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC，∠D=∠C=90°。

∵在△ADM和△BCM中，
AD BC
D C90 DM CM
=
⎧
⎪
∠=∠=︒⎨
⎪=
⎩
，
∴△ADM≌△BCM；（SAS）。

（2）∵△ADM≌△BCM，∴∠DAM=∠CBM。

∵∠DAB=∠CBA=90°，∴∠DAB－∠DAM=∠CBA－∠CBM，即∠MAB=∠MBA。

5. （2007年某某某某、某某8分）我们学习了四边形和一些特殊的四边形，下图表示了在某种条件下它们之间的关系。

如果①，②两个条件分别是：①两组对边分别平行；②有且只有一组对边平行。

那么请你对标上的其他6个数字序号写出相对应的条件。

【答案】解：③——相邻两边垂直；
④——相邻两边相等；
⑤——相邻两边相等；
⑥——相邻两边垂直；
⑦——两腰相等；
⑧——一条腰垂直于底边。

【考点】特殊四边形的判定。

6. （2008年某某某某、某某12分）小丽参加数学兴趣小组活动，提供了下面3个有联系的问题，请你帮助解决：
（1）如图1，正方形ABCD中，作AE交BC于E，DF⊥AE交AB于F，求证：AE=DF；
（2）如图2，正方形ABCD中，点E，F分别在AD，BC上，点G，H分别在AB，CD上，且EF⊥GH，
求EF
GH
的值；
（3）如图3，矩形ABCD中，AB=a，BC=b，点E，F分别在AD，BC上，且EF⊥GH，求EF GH
的
值．
【答案】解：（1）证明：∵DF⊥AE，∴∠AEB=90°－∠BAE=∠AFD。

又∵AB=AD，∠ABE=∠DAF=90°。

∴△ABE≌△DAF（AAS）。

∴AE=DF。

（2）作AM∥EF交BC于M，作DN∥GH交AB于N，
则AM=EF，DN=GH。

由（1）知，AM=DN，∴EF=GH，即EF
1 GH。

（3）作AM∥EF交BC于M，作DN∥GH交AB于N，则AM=EF，DN=GH。

∵EF⊥GH，∴AM⊥DN。

∴∠AMB=90°－∠BAM=∠AND。

又∵∠ABM=∠DAN=90°，∴△ABM∽△DAN。

∴AM AB a DN AD b
==。

∴EF a GH b
=。

【考点】正方形和矩形的性质，平行四边形的判定和性质，全等、相似三角形的判定和性质。

7. （2009年某某某某、某某10分）如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD
于F，BD与AE、AF分别相交于G、H．
（1）求证：△ABE∽△ADF；
（2）若AG=AH，求证：四边形ABCD是菱形．
【答案】证明：（1）∵AE⊥BC，AF⊥CD，∴∠AEB=∠AFD=90°。

∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABE=∠ADF。

∴△ABE∽△ADF。

（2）∵△ABE∽△ADF，∴∠BAG=∠DAH。

∵AG=AH，∴∠AGH=∠AHG。

∴∠AGB=∠AHD。

∴△ABG≌△ADH（ASA）。

∴AB=AD。

∵四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是菱形。

【考点】平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，菱形的判定。

8. （2010年某某某某、某某8分）如图，在ABCD中，已知点E在AB上，点F在CD
上且AE＝CF．
（1）求证：DE＝BF；
（2）连结BD，并写出图中所有的全等三角形．（不要求证明）
【答案】解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD。

∵AE=CF，∴BE=DF。

∴四边形BEDF是平行四边形。

∴DE=BF。

（2）图中的全等三角形有3对：△ADE≌△CBF，△ADB≌△CBD，△DBE≌△BDF。

【考点】平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定。

9. （2010年某某某某、某某10分）设计建造一条道路，路基的横断面为梯形ABCD，
如图（单位：米）．设
路基高为h，两侧的坡角分别为α和β，已知h＝2，α＝45º，tanβ＝1
2
，CD＝10．
（1）求路基底部AB的宽；
（2）修筑这样的路基1000米，需要多少土石方？
【答案】解：作DE⊥AB于点E，CF⊥AB于点F，
则四边形DEFC是矩形。

∵DC=EF=10，DE=CF=2，α＝45º，tanβ＝1
2
，
∴AE=DE=2，∴BF=CF÷tanβ=2÷1
2
=4。

∴AB=AE＋EF＋BF=2＋10＋4=16（米）。

（2）在梯形ABCD中，DC=10，AB=16，DE=2，
∴()ABCD 1S DC AB DE 262
=⋅+⋅=梯形（米2）。

∴修筑这样的路基1000米，需要土石方：1000×26=26000（米3）。

【考点】梯形的性质，矩形的判定和性质，锐角三角函数定义。

10. （2011年某某某某、某某10分）以四边形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 为斜边分别向外侧作等腰直角三角形，直角顶点分别为E 、F 、G 、H ，顺次连结这四个点，得四边形EFGH ． （1）如图1，当四边形ABCD 为正方形时，我们发现四边形EFGH 是正方形；如图2， 当四边形ABCD 为矩形时，请判断：四边形EFGH 的形状（不要求证明）；
（2）如图3，当四边形A BCD 为一般平行四边形时，设∠ADC=α（0°＜α＜90°），
① 试用含α的代数式表示∠HAE；
② 求证：HE=HG ；
③ 四边形EFGH 是什么四边形？并说明理由．
【答案】解：（1）四边形EFGH 的形状是正方形。

（2）①在平行四边形ABCD 中，∵AB∥CD， ∴∠BAD=180°﹣∠ADC=180°﹣α。

∵△HAD 和△EAB 是等腰直角三角形，∴∠HAD=∠EAB=45°。

∴∠HAE=360°﹣∠HAD﹣∠EAB﹣∠BAD=360°﹣45°﹣45°﹣（180°﹣α）=90°+α。

因此，用含α的代数式表示∠HAE 是90°+α．
②证明：∵△AEB 和△DGC 2，2CD ， 在平行四边形ABCD 中，AB=CD ，∴AE=DG。

∵△HAD和△GDC是等腰直角三角形，∴∠HDA=∠CDG=45°。

∴∠HDG=∠HDA+∠ADC+∠CDG=90°+α=∠HAE，
∵△HAD是等腰直角三角形，∴HA=HD。

∴△HAE≌△HDC。

∴HE=HG。

③四边形EFGH是正方形。

理由是：
由②同理可得：GH=GF，FG=FE。

∵HE=HG，∴GH=GF=EF=HE。

∴四边形EFGH是菱形。

∵△HAE≌△HDG，∴∠DHG=∠AHE。

∵∠AHD=∠AHG+∠DHG=90°，∴∠EHG=∠AHG+∠AHE=90°。

∴四边形EFGH是正方形。

【考点】正方形的判定，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形，菱形的判定和性质。

11. （2012年某某某某、某某8分）如图，已知菱形ABCD的对角线相交于点O，延长AB
至点E，使BE=AB，连接CE．
（1）求证：BD=EC；
（2）若∠E=50°，求∠BAO的大小．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=CD，AB∥CD。

又∵BE=AB，∴BE=CD，BE∥CD。

∴四边形BECD是平行四边形。

∴BD=EC。

（2）解：∵四边形BECD是平行四边形，∴BD∥CE，∴∠ABO=∠E=50°。

又∵四边形ABCD是菱形，∴AC丄BD。

∴∠BAO=90°﹣∠ABO=40°。

【考点】菱形的性质，平行四边形的判定和性质，平行的性质，直角三角形两锐角的关系。

12.（2013年某某某某8分某某10分）某学校的校门是伸缩门（如图1），伸缩门中的每一行菱形有20个，每个菱形边长为30厘米．校门关闭时，每个菱形的锐角度数为60°（如图2）；校门打开时，每个菱形的锐角度数从60°缩小为10°（如图3）．问：校门打开了多少米？（结果精确到1米，参考数据：sin5°≈0.0872，cos5°≈0.9962，sin10°≈0.1736，cos10°≈0.9848）．
【答案】解：如图，校门关闭时，取其中一个菱形ABCD，
根据题意，得∠BAD=60°，AB=，
∵在菱形ABCD中，AB=AD，∴△BAD是等边三角形。

∴BD=AB=，∴大门的宽是：0.3×20≈6（米）。

校门打开时，取其中一个菱形A1B1C1D1，
设A1C1与B1D1相交于点O1，
根据题意，得∠B1A1D1=10°，A1B1=，
∵在菱形A1B1C1D1中，A1C1⊥B1D1，∠B1A1O1=5°，
∴在Rt△A1B1O1中，
B1O1=sin∠B1A1O1•A1B1=sin5°×0.3=0.02616（米）。

∴B1D1=2B1O1=。

∴伸缩门的宽是：0.05232×20=。

∴校门打开的宽度为：6﹣1.0464=4.9536≈5（米）。