2019年-江苏省南京市中考数学试卷(word版-含详解)

南京市2019年初中学业水平考试
数学注意事项：
1．本试卷共6页，全卷满分120分，考试时间为120分钟，考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷上无效．2．请认真核对监考教师在答题卡上所有粘贴条形码的姓名、考试证号是否与本人相符合，再将自己的姓名、准考证号用0.5毫米的黑色墨水签字笔填写在答题卡及本试卷上．
3．答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑．如需要改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答非选择题必须0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡上指定位置，在其他位置答题一律无效．
4．作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚．
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分，在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目
要求的，请将正确的选项的字母代号填涂在答题卡相应位置
．．．．．．．上）
1．2018年中国与“一带一路”沿线国家货物贸易进出口总额达到13 000亿美元，用科学计数法表示13 000是（）
A．0.13×105B．1.3×104C．13×103D．130×102
【答案】B．
【考点】科学记数法．
【分析】把一个大于10或小于1的正数写成a×10n的形式，其中：1≤a＜10，n是整数．应用方法：把小数点移动到第一个不是0的数字后面，移几位就乘以10的几次幂（小数点向左移则指数为正，向右移则指数为负。

）注意：本题要审题，用科学记数法表示的数：是不带单位的13 000，而不是13 000亿．
【解答】解：13 000＝1.3×104.故选B.
2．计算（a2b）3的结果是（）
A．a2b3B．a5b3C．a6b D．a6b3
【答案】D．
【考点】幂的运算：(a m)n＝a mn，(ab)n＝a n b n．
【分析】利用幂的运算法则直接计算．
【解答】解：原式＝a2×3×b3．
＝a6b3．
3．面积为4的正方形的边长是（）
A．4的平方根B．4的算术平方根
C．4开平方的结果D．4的立方根
【答案】B．
若x2＝a（a≥0），则x叫做a的平方根，a（a≥0）的平方根表示为± a ；
正数的正的平方根也叫它的算术平方根，a（a≥0）的算术平方根表示为 a ；若x3＝a，则x叫做a
的立方根，a的立平方根表示为3
a ；
求一个数a的平方根的运算,叫做开平方，求一个数的立方根的运算叫做开立方；
a（a≥0）开平方的结果表示为± a .
【分析】正方形的边长是正数，所以边长为正方形面积的算术平方根．
【解答】边长为正方形面积的正的平方根，即：算术平方根，故选：B.
４．实数a、b、c满足a＞b，且ac＜bc，它们在数轴上的对应点的位置可以是（）
【答案】A．
【考点】在数轴上，右边的点表示的数大于左边的点表示的数．
不等式的性质：（1）不等式的两边都加上(或都减去)同一个数或同一个整式，不等号的方向不变.
如：a＞b→a±c>b±c.
（2）不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，如a＞b，c＞0→ac＞bc；
不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，如a＞b，c＜0→ac＜bc.
【分析】由a＞b得：在数轴上数a表示的点在数b表示的点的右边；
由ac＜bc得：a、b同时乘以数c后，不等号改变了方向，所以数c是负数．
【解答】在数轴上数a表示的点在数b表示的点的右边，数c是负数，故选：A.
5．下列整数中，与10－13 最接近的是（）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C．
【考点】估算．
【分析】用平方法分别估算13 的取值范围，借助数轴进而估算出10－13 的近似值．
【解答】
□解法1：估算10 ：
∵32＝9，42＝16．
∴3＜13 ＜4．
∵3.52＝12.25.
∴6＜10－13 ＜6.5 .
□解法2：借助数轴估算：13 的近似值.
画数轴：
观察数轴可得：3.5＜13 ＜4．
∴6＜10－13 ＜6.5.
故选：C.
6．如图，△A′B′C′是由△ABC经过平移得到的，△A′B′C′还可以看作是△ABC经过怎样的图形变化得到？下列结论：①1次旋转；②1次旋转和1次轴对称；③2次旋转；④2次轴对称.其中所有正确结论的序号是（）
A．①④B．②③C．②④D．③④
【答案】D．
【考点】轴对称的有关性质：如果两个图形成轴对称，那么对称轴是对称点连线的垂直平分线.
平移的有关性质：对应线段平行（或在同一条直线上）且相等，对应点所连的线段平行（或在同一条直线上）且相等.
旋转的有关性质：对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心连线所成的角彼此相等.
中心对称的有关性质：成中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分. 【分析】利用轴对称、旋转的性质，先进行1次旋转或轴对称，计作△A″B″C″，不妨将B与B′经过一次变换先重合，再进行二次变换，看二次变换后△A″B″C″能否与△A′B′C′重合．
【解答】
■结论①1次旋转：不妨以线段BB′的中点O为旋转中心.
故①错，A错
■结论②1次旋转和1次轴对称：
1次旋转——以线段BB′的中点O为旋转中心.
1次轴对称——以A′A″的中垂线为对称轴.
或1次轴对称——以C′C″的中垂线为对称轴.
故②错，B、C错
至此，通过排除法即可得：选项D正确，验证如下. ■结论③2次旋转.
1次旋转：以线段BB′的中点O为旋转中心；
2次旋转：以线段A ″A ′的中点为旋转中心.两次旋转后图形重合.
■结论④2次轴对称.
1次轴对称：以BB ′的中垂线为对称轴；
2次轴对称：以C ″C ′的中垂线为对称轴. 两次轴对称后图形重合.
故选：D.
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相．．．．应位置．．．
上） 7．－2的相反数是______；1
2 的倒数是_________. 【答案】2；2．
【考点】相反数、倒数的概念．
若两个数的积等于1，这两个数互为倒数；a ≠0时，a 的相反数表示为1
a ，0没有倒数.
表示为－a.
【分析】利用相反数、倒数的概念直接写出答案．【解答】－2的相反数是－（－2）＝2；
∵1
2×2＝1，
∴1
2的倒数是2.
8．计算14
7
－28 的结果是_____________.
【答案】0．
【考点】二次根式的化简．
【分析】根据二次根式运算法则进行化简，掌握常用化简方法、结论即可；本题涉及到的运算法则：（a）2＝a（a≥0）；常用结论：m2n ＝m n （m≥0，n≥0）．
【解答】
14
7
－28 .
＝
147
7 ·7
－22×7 . ＝
147
7－27 .
＝27 －27 .
＝0.
9．分解因式（a－b）2＋4ab的结果是________________.
【答案】（a＋b）2．
【考点】完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab＋b2及逆用完全平方公式分解因式：a2±2ab＋b2＝（a±b）2．【分析】本题无公因式可提取，也不能直接应用公式进行解法分解因式，先将（a－b）2应用完全平方公式展开，再合并同类项，会发现，其可逆用完全平方公式进行分解因式.
【解答】（a－b）2＋4ab.
＝a2－2ab＋b2＋4ab.
＝a2＋2ab＋b2.
＝（a＋b）2.
10．已知2＋ 3 是关于x的方程x2－4x＋m＝0的一个跟，则m＝____________.
【答案】1．
一元二次方程a x 2＋b x ＋c ＝0（a ≠0）根与系数的关系：x 1＋x 2＝－b a ，x 1·x 2＝c
a . 【分析】解法有2种：
解法一：根据根的定义，把根“2＋ 3 ”代入原方程中，得到两个关于m 的方程，解此方程即可求
解；
解法二：根据一元二次方程a x 2＋b x ＋c ＝0（a ≠0）根与系数的关系，设另一个根为：x 1. 根与系数的
关系列出含有x 1与m 的方程组，解此方程组即可．
【解答】解法一：
根据题意，得：（2＋ 3 ）2－4（2＋ 3 ）＋m ＝0. 解这个方程，得：m ＝1. 解法二：设这个方程的另一个根为x 1.
根据题意得：⎩⎨⎧2＋ 3 ＋x 1＝4 ①
（2＋ 3 ）x 1＝m ②
．
由①得：x 1＝2－ 3 ③.
把③代入②得：m ＝（2＋ 3 ）（2－ 3 ）. 即：m ＝1．
比较上述两种解法，解法一、二都比较便捷．
11．结合下图，用符号语言表达定理“同旁内角互补，两直线平行”的推理形式：
∵______________________ ∴a ∥b.
【答案】∠1＋∠3＝180°．
【考点】三线八角——同旁内角的识别：在截线c 的同侧，夹在截线a 、b 之间，呈“U ”字型.
【分析】图形中呈现了不同关系的角：对顶角（如∠2与∠4）、邻补角（如∠2与∠3）、同位角（如∠1与∠2）、内错角（如∠1与∠4）、同旁内角（∠1与∠3）；考试时需要根据题意进行识别. “同旁内角互补，两直线平行”的符号语言只能选择“∠1与∠3”． 【解答】∵∠1＋∠3＝180°．
∴a ∥b.
12．无盖圆柱形杯子的展开图如图所示，将一根长20cm 的细木筷斜放在杯子内，木筷露在杯子外面的部分至少有_________cm.
【答案】5．
【考点】圆柱的侧面展开图，勾股定理等．
【分析】如图1，画出圆柱体及其侧面展开图，确定对应线段的长度；
图1 图2 图3
根据题意“细木筷斜放在杯子内，木筷露在杯子外面的部分至少多少cm ”，确定细木筷斜放在杯子内中位置——最多在杯子内的长度，显然应置杯底与杯口斜对角位置（如图2），即圆柱体截面图中的对角线位置（如图3），其与杯高与底面直径构成直角三角形（图3中Rt △ABC ），利用勾股定理即可求出此时杯内木筷的长度．
【解答】AB ＝12²＋9² .
＝15．
露在外面的长度＝20－15＝5（cm ）．
13．为了了解某区初中生学生视力情况，随机抽取了该区500名初中学生进行调查.整理样本数据，得到下表：
根据抽样调查结果，估计该区12 000名初中学生视力不低于4.8的人数是_____________. 【答案】7200． 【考点】样本估计总体．
【分析】利用样本中“视力不低于4.8人数的频率”可以近似看做总体中“视力不低于4.8人数的频率”；
样本中“视力不低于4.8人数的频率”＝视力不低于4.8人数样本容量 .
【解答】12000×80＋93＋127
500 ＝7200.
14．如图，PA 、PB 是⊙O 的切线，A 、B 为切点，点C 、D 在⊙O 上，若∠P ＝102°，则∠A ＋∠C ＝_____°.
【答案】219．
【考点】圆的切线垂直于经过切点的半径，同（等）弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，直径所对的圆周角是直角等；常规辅助线：过切点的半（直）径，构造直径所对的圆周角等；由特殊到一般的数学思想方法等.
【分析】本题求“∠A ＋∠C 等于多少度”，显然其是一个定值，其与点D 在圆上的位置没有关系，根据图示，只要点D 在图中优弧︵AC 上即可，根据由特殊到一般的数学思想方法，可将点D 在优弧︵
AC 上移动到一个特殊位置，即弦AD （或AC ）经过圆心，不妨让弦AD 经过圆心，即AD 为⊙O 的直径，如图1；
AD 为直径时：（1）由于PA 为切线，所以∠A ＝90°；（2）AD 所对圆周角为直角，连接AC ，∠C ＝∠1＋∠2＝90°＋∠2，如图2；
∠2等于︵
AB 所对圆心角的一半，所以连接OB ，∠2＝12 ∠3，∠4＝90°，如图3； ∠3放在四边形OAPB 中即可求得为39°. ∴“∠A ＋∠C ”＝90°＋90°＋39°＝219°.
如果是一般的图形，只要作直径AE 连接EC ，如图4.由于∠1＝∠2，所以∠DAP ＋∠DCB ＝∠EAP ＋∠ECP ，也就转化为图1了.
图1 图2 图3 图4
【解答】以下给出的是一般情况下的求解过程，在考试时，可选择用特殊情况下的图形来求解，其结果
是不变的.
如图，作直径AE ，连接EC 、AC 、OB ．
∵∠1＝∠2.
∴∠DAP ＋∠DCB ＝∠EAP ＋∠ECP. ∵PA 、PB 为切线. ∴∠OAP ＝∠5＝90°.
∴∠4＝360°－∠OAP －∠5－∠P. ∵∠P ＝102°. ∴∠4＝78°. ∴∠3＝1
2 ∠4＝39°. ∵AE 为直径. ∴∠ECA ＝90°.
∴∠EAP ＋∠ECP ＝∠EAP ＋∠ECA ＋∠3.
＝90°＋90°＋39°. ＝219°.
即：∠DAP ＋∠DCB ＝219°.
15．如图，在△ABC 中，BC 的垂直平分线MN 交AB 于点D ，CD 平分∠ACB.若AD ＝2，BD ＝3，则AC 的长为_____________.
【答案】10 ．
【考点】线段垂直平分线性质及基本图形，如图1，角平分线性质及基本图形如图2、图3，图形的相似等
图1中：DB＝DC，两个Rt△全等；
图2中：作DG⊥AC，则DE＝DG，△DCE≌△DCG等；
图3中：作DF∥AC，则∠1＝∠2＝∠3，DF＝FC，△BDF∽△BAC等；
综合图1~3，除了上述结论外，还可应用勾股定理等.
【分析】与已知条件中长度联系最紧的是相似，依此逐步推理：
如图4，DF∥AC→△BDF∽△BAC→DF
AC＝BD
BA＝
3
5，设DF＝3k，AC＝5k，则FC＝DF＝3k.；
DF∥AC→△BDF∽△BAC→BF
BC＝BD
BA→
BF
FC＝
BD
DA＝
3
2→BF＝
9
2k，则BC＝
15
2k，BE＝EC＝
15
4k，
EF＝3
4k；
根据勾股定理：BD²－BE²＝DF²－EF²＝DE²即可求出k的值.
据上分析，本题不需要应用图2的结论.
【解答】如图，作DF∥AC交BC于点F，设MN交BC于点E.
则：∠2＝∠3.
∵DC平分∠ACB.
∴∠1＝∠2.
∴∠1＝∠3.
∴DF＝FC.
∵DF∥AC.
∴△BDF∽△BAC.
DF AC＝BD
BA＝
BF
BC.
∵AD＝2，BD＝3
∴DF
AC＝
BF
BC＝
3
5，
设DF＝3k.
则AC＝5k，FC＝DF＝3k.
∵BF
BC＝
3
5.
∴BF
FC＝
3
2.
∴BF ＝9
2 k. 则BC ＝15
2 k. ∵E 为BC 中点. ∴BE ＝EC ＝15
4 k. EF ＝EC －FC ＝3
4 k. 在Rt △ADE 与Rt △DFE 中. BD ²－BE ²＝DF ²－EF ²＝DE ².
∴3²－（154 k ）²＝（3k ）²－（3
4 k ）². 解得：k ＝10
5 （负值舍去）. ∴AC ＝5k ＝10 .
16．在△ABC 中，AB ＝4，∠C ＝60°，∠A ＞∠B ，则BC 的长的取值范围是____________________. 【答案】4＜BC ≤8 3
3 ．
【考点】线段的运动与变化，三角函数，斜边大于直角边等．
【分析】■可利用含60°的三角板直观演示点A 运动过程中线段AB 、BC 的变化规律，注意AB 在运动过程中的特殊位置，即△ABC 为直角三角形、等腰三角形等．
图1 图2 图3 图4 图5
图1：起始图，点A 与点C 重合，初步演示观察，不难发现：点A 沿三角板斜边所在的射线向左上方的运动过程中，∠A 逐渐减小，∠B 逐渐增大，BC 长线增大，然后又逐渐减小；
图2：点A 沿三角板斜边所在的射线运动，此时∠A 为钝角，此过程中∠A ＞∠B ，BC 逐渐增大； 图3：点A 运动到第一个特殊位置，∠A ＝90°，此过程中∠A ＞∠B ，BC 达到最大，应用三角函数可求得其最大值为8 3
3 ；
图4：点A 运动到第二个特殊位置，∠A ＝60°，此过程中∠A ＞∠B ，BC 逐渐减小，当∠A ＝60°时，∠B ＝60°；可见BC ＞4
图5：点A 继续运动，则∠BAC ＜60°，∠B ＞60°，此过程中，∠A ＜∠B ，不满足题意.
■也可从特殊的三角形开始分析，即∠A ＝∠B ，此时△ABC 为等边三角形，如图6；此时，若点A 沿射线CA 方向运动，则∠A ＜60°（如图7），故点A 只能沿射线AC 方向运动，其运动过程中的特殊位置为∠A ＝90°（如图9）；满足条件的一般图形分两类：60°＜∠A ＜90°，90°＜∠A ＜180°，即∠A 分别为锐角或钝角（如图9、10）.
图6 图7 图8 图9 图10 【解答】
（1）当∠A ＝60°时.
△ABC 为等边三角形，BC ＝AB ＝4. （2）当∠A ＝90°时.
△ABC 为Rt △，BC ＝AB sinC ＝8 3
3 . （3）当60°＜∠A ＜90°.
作BD ⊥AC 于D. BD ＝BC ·sinC. 在Rt △ABD 中. BD ＜AB. ∴BC ·sinC ＜AB. BC ·sin60°＜4. 即：BC ＜8 3
3 .
（4）当90°＜∠A ＜180°.
作BD ⊥AC 交CA 延长线于D.
同（3）解法：BC ＜8 3
3 . 综上：4＜BC ≤8 3
3 .
三、解答题（本大题共11小题，共88分，请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（7分）计算（x ＋y ）（x 2－xy ＋y 2）． 【考点】多项式乘以多项式，合并同类项．
【分析】直接应用多项式乘以多项式法则，注意不要漏乘． 【解答】原式＝x 3－x 2y ＋xy 2＋x 2y －xy 2＋y 3．
＝x 3＋y 3.
【考点】多项式乘以多项式，合并同类项．
【分析】直接应用多项式乘以多项式法则，注意不要漏乘． 【解答】
18．（7分）解方程x x －1 －1＝3x 2－1 .
【考点】分式方程的解法．
【分析】根据解分式方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1、检验等即可得解 ．注意点主要有：去分母时不要漏乘，去分母后分子如是多项式需要添加括号．本题将x 2－1分解因式，确定最简公分母后，去分母即可转化为整式方程． 【解答】原方程可转化为：
x x －1 －1＝3（x ＋1）（x －1）
. 方程两边乘（x ＋1）（x －1），得：x （x ＋1）－（x ＋1）（x －1）＝3. 整理，得：x ＋1＝3. 解得：x ＝2.
检验：当x ＝2时，（x ＋1）（x －1）≠0. ∴原分式方程的解为：x ＝2.
19．（7分）如图，D 是△ABC 的边AB 的中点，DE ∥BC ，CE ∥AB ，AC 与DE 相交于点F. 求证：△ADF ≌CEF.
【考点】中点的定义；三角形全等的判定：SAS、ASA、AAS、SSS，HL；平行四边形的判定：两组对边分别平行，两组对边分别相等，一组对边平行且相等，对角线互相平分．
【分析】对照已知条件，观察图形不难发现四边形DBCE是平行四边形，根据D为AB中点，即可得到AD ＝BD＝CE，欲证的两个三角形由平行可得两组内角（均为内错角）相等．
【解答】证明：
∵DE∥BC，CE∥AB.
∴四边形DBCE是平行四边形.
∴BD＝CE.
∵D是AB中点.
∴AD＝BD.
∴AD＝CE.
∵CE∥AB.
∴∠A＝∠1，∠2＝∠E.
∴△ADF≌CEF.
20．（8分）下图是某市连续5天的天气情况
（1）利用方差判断该市这五天的日最高气温波动大还是日最低气温波动大；
（2）根据上图提供的信息，请再写出两个不同类型的结论.
【考点】从图中获取信息，方差的意义与计算，数据与客观世界之间的联系，分析与综合的能力．
【分析】问题（1）利用方差计算公式直接计算，方差越大，波动越大；方差计算分两步，先求平均数，再计算方差：
－
x ＝1 n （x 1＋x 2＋…x n ）.
s 2
＝1 n 〔（x 1－－x ）2＋（x 2－－x ）2＋…（x n －－x ）2〕.
问题（2）数据与客观世界之间的联系，可以从不同的角度来分析：天气现象与最高气温、天气现象与最低气温，天气现象与温差、天气现象与空气质量等. 【解答】
这五天的日最高气温和日最低气温的平均数分别为： （1）－
x 高＝1 5 （23＋25＋23＋25＋24）＝24 －
x 低＝1 5 （21＋22＋15＋15＋17）＝18. 方差分别为：
s 2
高＝1
5 〔（23－24）2＋（25－24）2＋（23－24）2＋（25－24）2＋（24－24）2〕＝0.8.
s 2
低＝1 5 〔（21－18）2＋（22－18）2＋（15－18）2＋（15－18）2＋（17－18）2〕＝8.8.
∵s 2高＜ s 2低.
∴这五天的日最低气温波动较大.
（2）本题答案不唯一，下列解法供参考.如:
①25日、26日、27日、28日、29日的天气现象依次是大雨、中雨、晴、晴、多云，日温差依次是2℃、3℃、8℃、10℃、7℃，可以看出雨天的日温差较小；
②25日、26日、27日的天气现象依次是大雨、中雨、晴，空气质量依次是良、优、优，说明下雨后空气质量改善了；
③27日、28日、29日天气现象依次是晴、晴、多云，最低气温分别为15℃、15℃、17℃，说明晴天的最低气温较低.
21．（8分）某校计划在暑期第二周的星期一至星期四开展社会实践活动，要求每位学生选择两天参加活动. （1）甲同学随机选择两天，其中有一天是星期二的概率是多少？
（2）乙同学随机选择连续的两天．．．．．，其中有一天是星期二的概率是_________. 【考点】概率的计算方法，枚举法、树状图、列表法在求概率中的应用．
【分析】选用适当分析工具（枚举法、列表法、树状图）确定所有等可能的结果与符合条件的结果是解决此
类问题的常用方法．选择不同的分析工具，解答过程会有差异， 繁简程度也有区别.
【解答】
（1）枚举法：甲同学随机选择两天，所有可能出现的结果共有6中，即：
（星期一，星期二）、（星期一，星期三）、（星期一，星期四）、（星期二、星期三）、（星期二、星期四）、（星期三、星期四）.
这些结果出现的可能性相等，所有的结果中，满足有一天是星期二（记为事件A ）的结果有3种，即（星期一，星期二）、（星期二、星期三）、（星期二、星期四）.
∴P （A ）＝36 ＝12 . 列表法：
所有可能出现的结果共有12中，这些结果出现的可能性相等，所有的结果中，满足有一天是星期二（记为事件A ）的结果有6种.
∴P （A ）＝612 ＝1
2 . 树状图：
所有可能出现的结果共有12中，这些结果出现的可能性相等，所有的结果中，满足有一天是星期二（记为事件A ）的结果有6种.
∴P （A ）＝612 ＝1
2 .
（2）枚举法：乙同学随机选择连续的两天，所有可能出现的结果共有3中，即：
（星期一，星期二）、（星期二、星期三）、（星期三、星期四）.
这些结果出现的可能性相等，所有的结果中，满足有一天是星期二（记为事件A ）的结果有2种，即（星期一，星期二）、（星期二、星期三）.
∴P （A ）＝23 . 列表法：
所有可能出现的结果共有6中，这些结果出现的可能性相等，所有的结果中，满足有一天是星期二（记为事件A ）的结果有4种.
∴P （A ）＝46 ＝2
3 . 树状图：
所有可能出现的结果共有6中，这些结果出现的可能性相等，所有的结果中，满足有一天是星期二（记为事件A ）的结果有4种.
∴P （A ）＝46 ＝2
3 .
22．（7分）如图，⊙O 的弦AB 、CD 的延长线相交于点P ，且AB ＝CD 求证：PA ＝PC.
【考点】弦、弧之间的关系，圆周角与弧之间的关系，垂径定理，三角形全等等．
【分析】本题条件比较简单，需要结合圆的有关知识进行一般推理：弦等可以得出弧等、圆周角相等，弦可以联想垂径定理，构造垂径定理的基本图形，可进一步得到全等三角形.据此分析，由弦等连接AC，只要证∠A＝∠C；若构造垂径定理的基本图形，可用全等来证．
【解答】方法一：
如图，连接AC.
∵AB＝CD.
∴︵
AB ＝
︵
CD .
∴︵
AB ＋
︵
BD ＝
︵
CD ＋
︵
BD .
即︵
AD ＝
︵
BC .
∴∠A＝∠C.
∴PA＝PC.
方法二：
如图，连接AD、BC.
∵AB ＝CD. ∴︵AB ＝︵CD .
∴︵AB ＋︵BD ＝︵CD ＋︵BD . 即︵AD ＝︵BC . ∴AD ＝BC. ∵∠1＝∠2. ∴∠3＝∠4. 又∵∠A ＝∠C. ∴△PAD ≌△PCB. ∴PA ＝PC. 方法三：
如图，连接OA 、OC 、OP ，作OE ⊥AB 于E ，OF ⊥CD 于F.
∵OE ⊥AB ，OF ⊥CD. ∴AE ＝12 AB ，CF ＝1
2 CD. ∵AB ＝CD. ∴AE ＝CF. ∵OA ＝OC.
∴Rt △AOE ≌Rt △COF ∴OE ＝OF. 又∵OP ＝OP.
∴Rt △POE ≌Rt △POF. ∴PE ＝PF.
∴PE ＋AE ＝PF ＋CF 即：PA ＝PC.
23．（8分）已知一次函数y1＝kx＋2（k为常数，k≠0）和y2＝x－3.
（1）当k＝－2时，若y1＞y2，求x的取值范围.
（2）当x＜1时，y1＞y2.结合图像，直接写出k的取值范围.
【考点】一次函数的图像和性质，三个“一次”的关系，一次函数图像与k、b值之间的关系等.
【分析】问题（1）可用代入法并建立不等式解答，也可利用函数图像解答.
问题（2）关键积累并熟悉函数图像随着k值的变化，y＝kx（k≠0）、y＝kx＋b（k≠0）函数图像变化规律，即“操作实践经验”：
实数范围内，当k＞0时，在k值逐渐增大过程中，y＝kx（k≠0）位于第一象限的图像与x轴正方向的夹角逐渐增大，并且向y轴无限接近，简单的看成其图像绕原点作逆时针旋转；k＜0时，在k值逐渐增大过程中，y＝kx（k≠0）位于第二象限的图像与x轴正方向的夹角逐渐增大，并且向x轴无限接近，简单的看成绕原点作逆时针旋转，如图1.
图1 图2
y＝kx＋b（k≠0）的图像即把y＝kx（k≠0）的图像平移|b|单位后所得，在k值逐渐增大过程中，其图像的变化与y＝kx（k≠0）的图像类似：当k＞0时，在k值逐渐增大过程中，y＝kx＋b（k≠0）位于x轴上方的图像与x轴正方向的夹角逐渐增大，并且向y轴无限接近，简单的看成其图像绕点（0，b）作逆时针旋转；k＜0时，在k值逐渐增大过程中，y＝kx＋b（k≠0）位于x轴上方的图像与x轴正方向的夹角逐渐增大，并且向过点（0，b）且平行于x轴的直线无限接近，简单的看成绕点（0，b）作逆时针旋转，如图2.
两个图像不重合的一次函数y1＝k1x＋b1（k1≠0）与y2＝k2x＋b2（k2≠0）且b1≠b2的位置关系：当k1≠k2时，y1与y2相交，当y1＝y2时，y1与y2平行，如图3.
图3
本题首先求出x ＝1时，两函数图像的交点坐标为A （1，－2），此点是分析问题的关键点，同时过点（1，0）作垂直于x 轴的直线l ；y 1 的b ＝2，可知y 1 过点（0，2），设为点B ，此时y 1即为直线AB ，可以求出此时k ＝－4，发现当x ＜1时，即在直线l 的左侧y 1＞y 2，故k ＝－4是符合题意的解，如图4；
只要点A 沿着y 1的图像向右上方移动，即y 1绕点B 逆时针旋转，所得到的k 值均符合题意，如图5、图6；
随着k 的增大，A 沿着y 1的图像向右上方移动，当k ＝1时，y 1的图像∥y 2的图像，符合题意，如图7； 当k ＞1时， y 1与y 2图像交点在第四象限，如图8，此时图像上存在y 1＜y 2的点，即当x ＜x A ′时，y 1＜y 2，故不符合题意.
图4（k ＝－4） 图5（k ＝－1） 图6（k ＝1
4 ） 图7（k ＝1）
图8（k ＝3）
注意，已知条件中k ≠0.
综上分析，k 的取值范围为：－4≤k ≤1，且k ≠0. 【解答】－4≤k ≤1，且k ≠0.
24．（8分）如图，山顶有一塔AB ，塔高33m.计划在塔的正下方沿直线CD 开通穿山隧道EF.从与点E 相距
80m 的C 处测得A 、B 的仰角分别为27°、22°，从与F 点相距50m 的D 处测得A 的仰角为45°.求隧道EF 的长度.
（参考数据：tan22°≈0.40，tan27°≈0.51）
【考点】三角函数的应用．
【分析】三角函数的应用通常需要构造直角三角形，解法有两种，其一为直接计算，其二为不能直接计算时需要建立方程（组）进行解答，方程模型通常有：线段的和差、三角函数式、勾股方程等．本题可以通过延长AB 交CD 于点G ，则AG ⊥AD 来构造直角三角形，如图1.
图1
已知条件中CE ＝80，DF ＝50，只要求出CD 长，即可求出EF 长.
从而构造出三个直角三角形中，公共边AG 是连接三个三角形之间的桥梁，不难发现DG ＝AG ，Rt △ACG 、Rt △BCG 的公共边CG 是联系两个直角三角形的桥梁，方程可以由：AG －BG ＝AB （33m ）建立，只要选择一个线段长为未知数（x ），把AG 、BG 分别用x 的代数式表示出来即可求解，显然，选择CG 为未知数最为合适．
【解答】如图，延长AB 交CD 于点G ，则AG ⊥AD ，设CG ＝x ．
在Rt △ACG 中，∠ACG ＝27° ∵kan ∠ACG ＝AG CG ．
∴AG ＝CG ·tan ∠ACG ＝x ·tan27°． 在Rt △BCG 中，∠BCG ＝22°
∵kan ∠BCG ＝BG
CG ．
∴BG ＝CG ·tan ∠ACG ＝x ·tan22°． ∵AB ＝AG －BG.
x ·tan27°－x ·tan22°＝33. 解得：x ≈300. ∴CG ≈300.
∴AG ＝x ·tan27°≈153． 在Rt △ADG 中，∠ADG ＝45° ∵kan ∠ADG ＝AG
DG ． ∴AD ＝AG ＝153． ∴EF ＝CD －CE －DF.
＝CG ＋DG －CE －DF. ＝300＋153－80－50． ＝323.
∴隧道EF 的长度约为323m ．
25．（8分）某地计划对矩形广场进行扩建改造.如图，原广场长50m ，宽40m.要求扩充后的矩形广场长与宽的
比为3∶2.扩充区域的扩建费用每平方米30元，扩建后在原广场和扩建区域都铺设地砖.铺设地砖费用每平方米100元.如果计划总费用642 000元，扩充后广场的长和宽应分别是多少米？
【考点】二元一次方程组的应用．
【分析】根据题意描述的相等关系，选择适当的设未知数的方法进行解答即可.
本题描述的数量关系有：扩充后：矩形广场长∶宽的比＝3∶2；
扩建费用＋铺地砖的费用＝642 000．
【解答】设扩充后广场的长为3xm ，宽为2xm.
根据题意，得：30（3x ·2x －50×40）＋3x ·2x ·100＝642 000. 解得：x 1＝30，x 2＝－30（不合题意，舍去）. ∴3x ＝90，2x ＝60.
答：扩充后广场的长和宽应分别为90m 和60m.
26．（9分）如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4.求作菱形DEFG，使点D在边AC上，点E、F在边AB上，点G在边BC上.
（1）证明小明所作的四边形DEFG是菱形.
（2）小明进一步探索，发现可作出的菱形的个数随着点D的位置变化而变化……请你继续探索，直接写出菱形的个数及对应的CD的长的取值范围.
【考点】菱形的判定，直线与圆的位置关系，相似三角形，实践与操作经验等．
【分析】问题（1）由已知可得DG∥EF，DG＝DE＝EF，易证四边形DEFG是菱形；
问题（2）随着点D的位置变化，DG的长度也在变化，作法的第2步，弧与直线AB和线段AB交点的个数也发生变化，弧与直线AB和线段AB交点的个数由弧的半径（DE长）与点D到直线AB的距离（表示为DM）大小关系来决定，不妨看作点D从点C开始沿CA方向移动，随着CD的增大，DE长度逐渐增大，D到直线AB的距离（DM长）逐渐减小：
当DM＞DG时，弧与AB没有交点，不能作出菱形，如图1；
当DM＝DG时，弧与AB相切，只有1个公共点M，即点E，可作出1个菱形DEFG，如图2；
当DM＜DG时，分为以下几种情况：
1）弧与线段AB有2个交点，点E1、E2，可作出2个菱形DE1F1G和DE2F2G，如图3；
2）弧与线段AB有2个交点，点E1、E2，其中点E1与点A重合，可作出2个菱形DE1F1G和DE2F2G，此时DG＝DA，如图4；
3）弧与直线AB有2个交点，与线段AB只有1个交点，点E1、E2，其中点E1在直线AB上，不在线段AB上（即在点A的左侧），可作出1个菱形DE2F2G，如图5；
4）弧与直线AB有2个交点，与线段AB只有1个交点，点E1、E2，其中点E1在直线AB上，不在线段AB上（即在点A的左侧），DE2与BC平行，即点F2与点B重合，可作出1个菱形DE2F2G，如图6；
5）弧与直线AB有2个交点，与线段AB没有交点，不能作出菱形，如图7.
图1 图2 图3
图4 图5 图6
图7
只要求出图2、图4、图6中线段CD的长即可，根据△CDG∽△CAB及相似三角形的有关性质即可求得对应的CD长.
【解答】（1）证明：
∵DG＝DE，DE＝EF.
∴DG＝EF.
∵DG∥EF.
所有四边形DEFG是平行四边形.
又∵DE＝EF.
∴□DEFG是菱形.
（2）参考解法：
图2中：设DG＝x.
DG＝DM，四边形DMFG为特殊菱形，即正方形.
作CH⊥AB于H，交DG于点N.
则：DG＝DE＝NH＝x.
由DG∥AB可得：△CDG∽△CAB.
AC＝3，BC＝4，根据勾股定理：AB＝5
AB·CH＝AC·BC＝2S△ABC，求得：CH＝12 5.
由△CDG ∽△CAB 得： DG AB ＝CN CH →DG AB ＝CH －NH CH →x 5 ＝125 －x 125 →x ＝6037 →DG ＝60
37 .
由△CDG ∽△CAB 得：CD CA ＝DG AB →CD 3 ＝6037
5 →CD ＝36
37 . 图4中：AD ＝DG.
由△CDG ∽△CAB 得：DG AB ＝CD CA →DG CD ＝AB CA ＝5
3 . 【注：也可用cos ∠CDG ＝cos ∠CAB →CD DG ＝CA AB ＝3
5 】 设DG ＝5y ，CD ＝3y. 则AD ＝DG ＝5y.
由CD ＋AD ＝AC →3y ＋5y ＝3→y ＝38 →CD ＝3y ＝9
8 . 图6中：DG ＝BG.
与图4的解法一样：DG CG ＝AB BC ＝5
4 . 设DG ＝5n ，CG ＝4n. 则BG ＝DG ＝5n.
由CG ＋BG ＝BC →5n ＋4n ＝4→n ＝49 →CG ＝169 ，DG ＝20
9 . 由DG CD ＝AB CA ＝53 →CD ＝43
∴当0≤CD ＜3637 或4
3 ＜CD ≤3时，菱形的个数为0； 当CD ＝3637 或98 ＜CD ≤4
3 时，菱形的个数为1； 当3637 ＜CD ≤9
8 时，菱形的个数为2.
27．（11分）
【概念认识】
城市的许多街道是相互垂直或平行的，因此，往往不能沿直线行走到达目的地，只能按直角拐弯的方式行走.可以按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐标系xOy，对两点A（x1，y1）和B（x2，y2），用以下方式定义两点间距离：d（A，B）＝|x1－x2|＋|y1－y2|.
【数学理解】
（1）①已知点A（－2，1），则d（O，A）＝__________；
②函数y＝－2x＋4（0≤x≤2）的图像如图①所示，B是图像上一点，d（O，B）＝3，则点B的坐标是
___________________.
①②③
（2）函数y＝4
x（x＞0）的图像如图②所示.求证：该函数的图像上不存在点C，使d（O，C）＝3.
（3）函数y＝x2－5x＋7（x≥0）的图像如图③所示，D是图像上一点，求d（O，D）的最小值及对应的点D 的坐标.
【问题解决】
（4）某市要修建一条通往景观湖的道路，如图④，道路以M为起点，先沿MN方向到某处，再在该处拐一次直角弯沿直线到湖边，如何修建能使道路最短？（要求：建立适当的平面直角坐标系，画出示意图并简要说明理由）
【考点】．新概念的理解与应用，含绝对值的代数式的化简，分式方程的解法，一元二次方程根与系数的关系，二次函数最值的解法，
【分析】．问题（1）①根据新概念直接代入计算即可.②根据函数表达式，设B（x，－2x＋4），根据新概念，。