高三数学二轮复习(8)三角函数的图像与性质教师版

第一讲三角函数的图像与性质(选择、填空题型)
考点考情
三角函数的图像 1.对三角函数图像的考查主要是平移、伸缩变换，或由图
像确定函数的解析式，如2013年四川T5，山东T5等.
2.三角函数的性质是考查的重点，可以单独命题，也可与三
角变换交汇，综合考查三角函数的单调性、周期性、最值
等．另外由性质确定函数的解析式也是高考考查的重点，如
2013年江西T11，新课标全国卷ⅠT15等.
三角函数的性质
求函数的解析式
求三角函数的值域或最值
1．(2013·山东高考)将函数y＝sin(2x＋φ)的图像沿x轴向左平移
π
8个单位后，得到一个偶函数的图像，则φ的
一个可能取值为()
A.
3π
4 B.
π
4
C．0 D．－
π
4
解析：选B把函数y＝sin(2x＋φ)的图像向左平移
π
8
个单位后，得到的图像的解析式
是y＝sin⎝⎛⎭⎫
2x＋
π
4
＋φ，该函数是偶函数的充要条件是π
4
＋φ＝kπ＋π
2
，k∈Z，根据选项检验可知
φ的一个可能取值为
π
4.
2.(2013·四川高考)函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)⎝⎛ω＞0，－
π
2＜⎭
⎫
φ＜
π
2的部分图像如图所示，则ω，φ的值分别是
()
A．2，－
π
3B．2，－
π
6
C．4，－
π
6D．4，
π
3
解析：选A因为
5π
12－⎝
⎛
⎭
⎫
－
π
3＝
2π
ω·
3
4，所以ω＝2.又因为2×
5π
12＋φ＝
π
2＋2kπ(k∈Z)，且－
π
2<φ<
π
2，所以φ＝－
π
3.
3．(2013·江西高考)函数y＝sin 2x＋23sin2x的最小正周期T为________．
解析：y＝sin 2x＋2 3sin2x＝sin 2x－3cos 2x＋3＝2sin⎝⎛⎭⎫
2x－
π
3
＋3，所以该函数的最小正周期为T＝2π
2
＝
π.
答案：π
4．(2013·新课标全国卷Ⅰ)设当x＝θ时，函数f(x)＝sin x－2cos x取得最大值，则cos θ＝________.
解析：f(x)＝sin x－2cos x＝ 5 ⎝⎛⎭⎫
5
5sin x－
25
5cos x
＝5sin (x－φ)，其中sin φ＝
25
5
，cos φ＝5
5
，当x－φ＝
2kπ＋
π
2(k∈Z)时函数f(x)取到最大值，即θ＝2kπ＋
π
2
＋φ(k∈Z)时函数f(x)取到最大值，所以cos θ＝－sin φ＝－25
5.
答案：－
25
5
1．六组诱导公式
公式一
sin(2kπ＋α)＝sin α(k∈Z)，cos(2kπ＋α)＝cos α(k∈Z)，tan(2kπ＋α)＝tan α(k
∈Z)
公式二
sin(π＋α)＝－sin α，cos(π＋α)＝－cos α，
tan(π＋α)＝tan α
公式三
sin(－α)＝－sin α，cos(－α)＝cos α，
tan(－α)＝－tan α
公式四
sin(π－α)＝sin α，cos(π－α)＝－cos α，
tan(π－α)＝－tan α
公式五sin⎝⎛⎭⎫
π
2－α＝cos α，cos⎝
⎛
⎭
⎫
π
2－α＝sin α
公式六sin⎝⎛⎭⎫
π
2＋α＝cos α，cos⎝
⎛
⎭
⎫
π
2＋α＝－sin α
2．三种函数的图像和性质
函数y＝sin x y＝cos x y＝tan x
图像
单调性
在⎣⎡ －π2＋2k π， ⎦⎤π
2＋2k π(k ∈Z)上单调
递增；在⎣⎡
π
2＋2k π，
⎦
⎤3π
2＋2k π(k ∈Z)上单调递减 在[－π＋2k π，2k π](k ∈Z)上单调递增；在[2k π，π＋2k π](k ∈Z)上单调递减 在⎝⎛
－π
2
＋k π，
⎭
⎫π
2＋k π(k ∈Z)上单调递增
对称性
对称中心：(k π，0)(k ∈Z)； 对称轴：x ＝π
2
＋k π(k ∈Z)
对称中心：
⎝⎛⎭
⎫π2＋k π，0(k ∈Z)； 对称轴：x ＝k π(k ∈Z)
对称中心：⎝⎛⎭⎫
k π2，0 (k ∈Z)
3.三角函数的两种常见图像变换
(1)y ＝sin x ―――――――→向左(φ>0)或向右(φ<0)
平移|φ|个单位y ＝sin(x ＋φ)1
ω
−−−−−−−→横坐标变为原来的倍
纵坐标不变 y ＝sin(ωx ＋φ)―――――――――→纵坐标变为原来的A 倍
横坐标不变 y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)．
(2)y ＝sin x 1
ω
−−−−−−−→横坐标变为原来的倍
纵坐标不变
y ＝sin ωx ()()
00
ϕϕϕω
><−−−−−−−→向左或向右平移
个单位
y ＝sin(ωx ＋φ)――――――――――→纵坐标变为原来的A 倍
横坐标不变
y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0).
热点一
三角函数的概念、基本关系式和诱导公式
[例1] (1)已知角α的终边上一点的坐标为⎝⎛⎭⎫sin 5π6，cos 5π
6，则角α的最小正值为( ) A.5π
6 B.2π3
C.5π3
D.11π6
(2)若3cos ⎝⎛⎭⎫π2－θ＋cos(π＋θ)＝0，则cos 2θ＋1
2
sin 2θ的值是________． [自主解答] (1)∵sin 5π6>0，cos 5π
6<0，
∴α为第四象限角．
又tan α＝cos 5π6sin 5π6＝－
3
2
12＝－3，
∴α的最小正值为5π
3
.
(2)∵3cos ⎝⎛⎭⎫
π2－θ＋cos(π＋θ)＝0， ∴3sin θ－cos θ＝0，从而tan θ＝13
.
∴cos 2θ＋1
2sin 2θ＝cos 2θ＋sin θcos θ
sin 2θ＋cos 2θ＝1＋tan θ1＋tan 2θ＝1＋131＋⎝⎛⎭
⎫132
＝
43 109
＝65. [答案] (1)C (2)6
5
——————————————————(规律·总结)——————————————
应用三角函数的概念和诱导公式应注意两点
(1)当角的终边所在的位置不是唯一确定的时候要注意分情况解决，机械地使用三角函数的定义就会出现错误．
(2)使用三角函数诱导公式常见的错误有两个：一个是函数名称，一个是函数值的符号．
1．已知角α的终边过点P (－8m ，－6sin 30°)，且cos α＝－4
5
，则m 的值为________．
解析：由点P (－8m ，－6sin 30°)在角α的终边上且cos α＝－4
5
，知角α的终边在第三象限，则m >0，又cos α
＝
－8m
(－8m )2＋9＝－45，所以m ＝12
.
答案：12
2．已知角α的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边上一点P (－4,3)，则
cos ⎝⎛⎭⎫π2＋αsin (－π－α)cos ⎝⎛⎭⎫11π2－αsin ⎝⎛⎭
⎫9π2＋α的值为________．
解析：原式＝－sin α·sin α－sin α·cos α＝tan α.根据三角函数的定义，得tan α＝y x ＝－34，所以原式＝－3
4.
答案：－3
4
热点二
y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图像与解析式
[例2] (1)(2013·济南模拟)已知函数f (x )＝M sin(ωx ＋φ)(M ，ω，φ是常数，M >0，ω>0,0≤φ≤π)的部分图像如图所示，其中A ，B 两点之间的距离为5，那么f (－1)＝
( )
A ．－2
B ．－1
C ．2
D ．－1或2
(2)(2013·海口模拟)将函数y ＝sin ωx (ω>0)的图像向左平移π
6个单位，平
移后的图像如图所示，则平移后的图像所对应的函数解析式为( )
A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6
B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π6
C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3
D ．y ＝sin ⎝
⎛⎭⎫2x －π3 [自主解答] (1)由图可知M ＝2.因为A ，B 两点分别是函数图像上相邻的最高点和最低点，设A (x 1,2)，B (x 2，－2)，因为|AB |＝5，所以
(x 2－x 1)2＋(－2－2)2＝5，解得|x 2－x 1|＝3.因为
A ，
B 两点的横坐标之差的绝对值为最
小正周期的一半，即T 2＝3，T ＝6，所以2πω＝6，解得ω＝π3.因为f (0)＝1，所以2sin φ＝1，解得sin φ＝1
2.因为0≤φ≤π，
所以φ＝π6或φ＝5π6.结合图像，经检验，φ＝π6不合题意，舍去，故φ＝5π
6.所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π3x ＋5π6.故f (－1)＝2sin ⎝⎛⎭⎫－π3＋5π6＝2sin π
2
＝2. (2)函数y ＝sin ωx (ω>0)的图像向左平移π
6个单位后对应的函数解析式为y ＝sin ω⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋ωπ6，又因为f ⎝⎛⎭⎫7π12＝－1，由图可得7πω12＋ωπ6＝3π2
，解得ω＝2，所以平移后的图像对应的函数解析式为y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. [答案] (1)C (2)C
——————————————————规律·总结——————————————
根据三角函数图像确定解析式应注意的问题
在利用图像求三角函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的有关参数时，注意直接从图中观察振幅、周期，即可求出A 、ω，然后根据图像过某一特殊点求φ，若是利用零点值来求，则要注意是ωx ＋φ＝k π(k ∈Z)，根据点在单调区间上的关系来确定一个k 的值，此时要利用数形结合，否则就易步入命题人所设置的陷阱．
3.已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋θ)的图像如图所示，f ⎝⎛⎭⎫π2＝－2
3，则f ⎝⎛⎭
⎫－π
6＝( ) A ．－23
B ．－1
2
C.23
D.12
解析：选A 由图知，T ＝2⎝⎛⎭⎫11π12－7π12＝2π3，所以f ⎝⎛⎭⎫－π6＝f ⎝⎛⎭⎫－π6＋2π3＝f ⎝⎛⎭⎫π2＝－2
3. 4.已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π)为奇函数，该函数的部分图像如图
所示，△EFG 是边长为2的等边三角形，则f (1)的值为( )
A ．－3
2
B ．－
62
C.3
D ．－ 3
解析：选D 由函数是奇函数，且0<φ<π可得φ＝π2.由图像可得函数的最小正周期为4，ω＝π
2.由△EFG 的高
为3，可得A ＝ 3.所以f (x )＝3cos ⎝⎛⎭⎫
π2x ＋π2，所以f (1)＝3cos π＝－ 3.
热点三
三角函数的奇偶性与对称性
[例3] (1)定义行列式运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 1 a 2a 3 a 4＝a 1a 4－a 2a 3.将函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3 sin x 1 cos x 的图像向左平移n (n >0)个单位，所得图像对应的函数为偶函数，则n 的最小值为( )
A.π
6 B.π3 C.5π6
D.2π3
(2)(2013·皖南八校联考)已知函数f (x )＝2cos(ωx ＋φ)(ω>0)的图像关于直线x ＝π
12对称，且f ⎝⎛⎭⎫π3＝0，则ω的最小值为( )
A ．2
B ．4
C ．6
D ．8
[自主解答] (1)由定义知f (x )＝3cos x －sin x ＝2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π
6，将其图像向左平移n 个单位后得到y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋n 的图像，要使该函数为偶函数，应有π6＋n ＝k π(k ∈Z)，即n ＝k π－π
6(k ∈Z)，因此，当k ＝1时，n 取得最小值5π6
.
(2)由题意知ω·π12＋φ＝k 1π，ω·π3＋φ＝k 2π＋π
2，其中k 1，k 2∈Z ，两式相减可得ω＝4(k 2－k 1)＋2，又ω>0，易
知ω的最小值为2.
[答案] (1)C (2)A 互动探究
在本例(1)中，把“偶函数”改为“奇函数”，如何选择？
解析：选B 若平移后所得图像对应的函数为奇函数，则π6＋n ＝π2＋k π，即n ＝π
3＋k π，k ∈Z.
∴n 的最小值为π
3.
——————————————————规律·总结——————————————
1．奇偶性的三个规律
(1)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)是奇函数⇔φ＝k π(k ∈Z)，是偶函数⇔φ＝k π＋π
2(k ∈Z)；
(2)函数y ＝A cos(ωx ＋φ)是奇函数⇔φ＝k π＋π
2(k ∈Z)，是偶函数⇔φ＝k π(k ∈Z)；
(3)函数y ＝A tan(ωx ＋φ)是奇函数⇔φ＝k π(k ∈Z)． 2．对称性的三个规律
(1)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像的对称轴由ωx ＋φ＝k π＋π
2(k ∈Z)解得，对称中心的横坐标由ωx ＋φ＝k π(k ∈Z)
解得；
(2)函数y ＝A cos(ωx ＋φ)的图像的对称轴由ωx ＋φ＝k π(k ∈Z)解得，对称中心的横坐标由ωx ＋φ＝k π＋π
2(k ∈Z)
解得；
(3)函数y ＝A tan(ωx ＋φ)的图像的对称中心由ωx ＋φ＝k π
2
(k ∈Z)解得．
5．若函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6(ω∈N *)的一个对称中心是⎝⎛⎭⎫π
6，0，则ω的最小值为( ) A ．1 B ．2 C ．4
D ．8
解析：选B ∵cos ⎝⎛⎭⎫πω6＋π6＝0，∴πω6＋π6＝π
2＋k π(k ∈Z)，∴ω＝2＋6k ，又ω∈N *，∴ω的最小值为2. 6．若函数f (x )＝A sin ⎝⎛⎭⎫π
2x ＋φ(A >0)满足f (1)＝0，则( ) A ．f (x －2)一定是奇函数 B ．f (x ＋1)一定是偶函数 C ．f (x ＋3)一定是偶函数 D ．f (x －3)一定是奇函数
解析：选D 由于函数周期为2π
π2＝4，又由f (1)＝0可知(1,0)为函数f (x )图像的一个对称中心，且f (x －3)的图
像是由函数f (x )的图像向右平移3个单位所得，故函数f (x －3)图像的一个对称中心为(4,0)，又函数周期为4，故(0,0)也是函数f (x －3)图像的一个对称中心，即图像关于原点对称，故函数f (x －3)为奇函数.
热点四
三角函数的周期性、单调性与最值
[例4] (1)(2013·沈阳模拟)函数f (x )＝A sin(ωx ＋ωπ)(A >0，ω>0)的图像在⎣⎡⎦⎤－3π2，－3π
4上单调递增，则ω的最大值是( )
A.1
2 B.34 C ．1 D ．2
(2)设
a ∈R ，f (x )＝cos x (a sin x －cos x )＋cos 2
⎝⎛⎭⎫π2－x 满足f ⎝⎛⎭⎫－π3＝f (0)，则函数f (x )在⎣⎡⎦
⎤π4，11π24上的最大值和最
小值分别为________，________.
[自主解答] (1)因为A >0，ω>0，所以f (x )＝A sin(ωx ＋ωπ)的递增区间满足2k π－π2≤ωx ＋ωπ≤2k π＋π
2(k ∈Z)，
即2k π－π2ω－π≤x ≤2k π＋π
2ω－π(k ∈Z)，所以⎣⎡⎦⎤－3π2，－3π4⊆⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2ω－π，2k π＋π2ω－π(k ∈Z)，解得⎩⎪⎨⎪⎧
ω≤2＋8k ，ω≤1－4k ，
即ω≤1，所以ω的最大值为1.
(2)f (x )＝a sin x cos x －cos 2x ＋sin 2x ＝a
2sin 2x －cos 2x .
由f ⎝⎛⎭⎫－π3＝f (0)，得⎝⎛⎭⎫－32·a 2＋1
2＝－1， 解得a ＝2 3.
因此f (x )＝3sin 2x －cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6，由x ∈⎣⎡⎦⎤π4，11π24，可得2x －π6∈⎣⎡⎦⎤π3，3π
4. 当x ∈⎣⎡⎦⎤π4，π3时，2x －π6∈⎣⎡⎦⎤π3，π
2，f (x )为增函数； 当x ∈⎣⎡⎦⎤π3，11π24时，2x －π6∈⎣⎡⎦⎤π2，3π4，f (x )为减函数， 所以f (x )在⎣⎡⎦⎤π4，11π24上的最大值为f ⎝⎛⎭⎫π3＝2. 又f ⎝⎛⎭⎫π4＝3，f ⎝⎛⎭
⎫11π24＝2， 故f (x )在⎣⎡⎦⎤π4，11π24上的最小值为f ⎝⎛⎭⎫11π24＝ 2. [答案] (1)C (2)2 2
互动探究
在本例(2)中，求函数f (x )的最小正周期及单调递减区间．
解：∵f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6，∴f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π. 由π2＋2k π≤2x －π6≤3π
2＋2k π(k ∈Z)， 得π3＋k π≤x ≤5π
6
＋k π，(k ∈Z)， ∴函数f (x )的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤π3＋k π，5π
6＋k π，(k ∈Z)． —————————————————规律·总结——————————————
三角函数的单调性、周期性及最值的求法
(1)三角函数单调性的求法：
求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)(或y ＝A cos(ωx ＋φ))(A 、ω、φ为常数，A ≠0，ω>0)的单调区间的一般思路是令ωx ＋φ＝z ，则y ＝A sin z (或y ＝A cos z )，然后由复合函数的单调性求得．
(2)三角函数周期性的求法：
函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(或y ＝A cos(ωx ＋φ))的最小正周期T ＝2π|ω|.应特别注意y ＝|A sin(ωx ＋φ)|的周期为T ＝π
|ω|.
(3)三角函数值域的求法：
在求最值(或值域)时，一般要先确定函数的定义域，然后结合正弦函数性质可得函数f (x )的最值．
7．设函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫|x |＋π
6(x ∈R)，则f (x )( ) A ．在区间⎣⎡⎦⎤－5π
6，0上是增函数 B ．在区间⎣⎡⎦⎤0，5π
6上是增函数 C ．在区间⎣⎡⎦⎤－π3，π
3上是增函数 D ．在区间⎣⎡⎦
⎤－π3，π
3上是减函数 解析：选A 依题意，f (－x )＝f (x )，函数f (x )是偶函数，注意到函数f (x )在⎣
⎡⎦⎤0，5π
6上是减函数，因此f (x )在
⎣⎡⎦
⎤－5π6，0上是增函数.
一、选择题
1．函数y ＝－2cos 2⎝⎛⎭⎫
π4＋x ＋1是( ) A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为π的偶函数 C ．最小正周期为π
2的奇函数
D ．最小正周期为π
2
的非奇非偶函数
解析：选A 因为y ＝－cos ⎝⎛⎭⎫π
2＋2x ＝sin 2x ，所以是最小正周期为π的奇函数． 2．设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π
3，则下列结论正确的是( ) A ．函数f (x )的图像关于直线x ＝π
3对称
B ．函数f (x )的图像关于点⎝⎛⎭⎫
π4，0对称
C ．把函数f (x )的图像向左平移π
12个单位，得到一个偶函数的图像
D ．函数f (x )的最小正周期为π，且在⎣⎡⎦
⎤0，π
6上为增函数 解析：选C 由对称轴为x ＝12k π＋π12(k ∈Z)，可知选项A 不正确；将⎝⎛⎭⎫π4，0代入函数表达式，经检验f ⎝⎛⎭⎫π4≠0，选项B 不正确；经过选项C 中平移后解析式f (x )＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π12＋π
3＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝cos 2x ，因为cos 2x 为偶函数，所以该选项正确；当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π6时，2x ＋π3∈⎣⎡⎦
⎤π3，2π
3，此时函数f (x )不单调，故选项D 不正确． 3.(2013·日照模拟)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，|φ|<π
2的部分图像如图所示，
则ω的值为( )
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
解析：选B 由图像可知函数的最大值为2，故A ＝2，由f (0)＝2，得sin φ＝
22，而|φ|<π2，故φ＝π
4
；再由f ⎝⎛⎭⎫π12＝2可得sin ⎝⎛⎭⎫ωπ12＋π4＝1，故ωπ12＋π4＝π2＋2k π(k ∈Z)，即ω＝24k ＋3(k ∈Z)．又T 4>π12，即T >π3，故0<ω<6，故ω＝3.
4．已知ω>0，函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4在⎝⎛⎭⎫π
2，π上单调递减，则ω的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤
12，54 B.⎣⎡⎦⎤
12，34 C.⎝⎛⎦
⎤0，12 D.(]0，2
解析：选A 通过取特殊值ω＝2、ω＝1，验证三角函数的角的范围，排除选项，得到结果．令ω＝2⇒ωx ＋π4∈⎝⎛⎭⎫5π4，9π4，不合题意，排除D ；ω＝1⇒ωx ＋π4∈⎝⎛⎭
⎫3π4，5π
4，符合题意，排除B ，C. 5．函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|<π2的最小正周期是π，若其图像向右平移π
3个单位后所得图像对应的函数为奇函数，则函数f (x )的图像( )
A ．关于点⎝⎛⎭⎫π
12，0对称 B ．关于点⎝⎛⎭⎫
5π12，0对称 C ．关于直线x ＝5π
12对称
D ．关于直线x ＝π
12
对称
解析：选C f (x )＝sin(ωx ＋φ)的最小正周期为π，则ω＝2，即f (x )＝sin(2x ＋φ)．向右平移π
3
个单位后，所得
函数为g (x )＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π3＋φ＝sin ⎣⎡⎦⎤2x ＋⎝⎛⎭⎫φ－2π3，又因为g (x )为奇函数，|φ|<π2，所以φ＝－π3
，故函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3.当x ＝5π12时，函数f (x )＝sin π2＝1，故函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3关于直线x ＝5π
12
对称． 6．(2013·山东高考)函数y ＝x cos x ＋sin x 的图像大致为 ( )
A B C D
解析：选D 当x ＝π
2
时，y ＝1>0，排除C ；y ＝x cos x ＋sin x 为奇函数；图像关于原点对称，排除B ；当x
＝π时，y ＝－π<0，排除A.
7.若函数y ＝A sin(ωx ＋φ)⎝
⎛⎭⎫A >0，ω>0，|φ|<π
2在一个周期内的图像如图所示，M ，N 分别是这段图像的最高点和最低点，且OM u u u u r ·ON u u u r
＝0(O 为坐标原点)，则A ·ω
等于( )
A.π
6 B.
7π12
C.7π6
D.7π3
解析：选C 由图可知，T ＝⎝⎛⎭⎫
π3－π12×4＝π，∴ω＝2. 又M ⎝⎛⎭⎫π12，A ，N ⎝⎛⎭
⎫7π
12，－A ， 由OM u u u u r ·
ON u u u r ＝0，可得7π2144＝A 2，∴A ＝7π
12. ∴A ·ω＝2×7π12＝7π
6
.
8．(2013·湖北高考)将函数y ＝3cos x ＋sin x (x ∈R)的图像向左平移m (m ＞0)个单位长度后，所得到的图像关于y 轴对称，则m 的最小值是( )
A.π
12 B.π6 C.π3
D.5π6
解析：选B y ＝ 3cos x ＋sin x ＝2⎝⎛
⎭
⎫32cos x ＋12sin x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图像向左平移m 个单位后，得到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋m ＋π3的图像，此图像关于y 轴对称，则x ＝0时，y ＝±2，即2sin ⎝⎛⎭⎫m ＋π3＝±2，所以m ＋π3＝π2＋k π，k ∈Z ，由于m >0，所以m min ＝π
6
.
9．(2013·海口模拟)已知函数f (x )＝|sin x |的图像与直线y ＝kx (k >0)有且仅有三个公共点，这三个公共点横坐标的最大值为α，则α等于( )
A ．－cos α
B ．－sin α
C ．－tan α
D ． tan α
解析：选D 数形结合可知，函数f (x )＝|sin x |的图像与直线y ＝kx (k >0)有且仅有三个公共点时，必在⎝⎛⎭⎫π，3π
2内相切，且其切点为(α，－sin α)，α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2.∵当x ∈⎝⎛⎭⎫π，3π2时，f (x )＝－sin x ，f ′(x )＝－cos x ，∴k ＝－sin α
α
＝－cos α，即α＝tan α.
10．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈R ⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，0<φ<π2的周期为π，且图像上一个最小值点为M ⎝⎛⎭⎫2π3，－2.当x ∈⎣⎡⎦
⎤0，π
12时，函数f (x )的最大值与最小值的和为( ) A ．1＋3 B ．2 C ．－1＋3
D.3
2
解析：选A 由最小值点为M ⎝⎛⎭⎫2π3，－2，得A ＝2.由T ＝π，得ω＝2πT ＝2π
π＝2.由点M ⎝⎛⎭⎫2π3，－2在函数图像上，得2sin ⎝⎛⎭⎫4π3＋φ＝－2，即sin ⎝⎛⎭⎫4π3＋φ＝－1，∴4π3＋φ＝2k π－π2，即φ＝2k π－11π
6，k ∈Z.又∵φ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴φ＝π6，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6.∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π12，∴2x ＋π6∈⎣⎡⎦
⎤π6，π
3，∴1≤f (x )≤3，∴f (x )的最大值与最小值的和为1＋ 3.
二、填空题
11．已知函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0,0<φ<π)为偶函数，其部分图像如图所示，A ，B 分别为最高点与最低点，并且A ，B 两点间距离为25，则ω、φ的值分别
是________． 解析：因为y ＝sin(ωx ＋φ)是偶函数，又0＜φ＜π，所以φ＝π
2.设函
数的周期为T ，由图
可知⎝⎛⎭⎫T 42＋12＝(5)2，所以T ＝8，于是T ＝2πω＝8，得ω＝π4
. 答案：π4，π2
12．在⎣⎡⎦⎤0，π
2内有两个不同的实数满足cos 2x ＋3sin 2x ＝k ＋1，则实数k 的取值范围是________． 解析：方程cos 2x ＋3sin 2x ＝k ＋1，即2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＝k ＋1，sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＝k ＋12.由x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，可得2x ＋π6
∈⎣⎡⎦⎤π6，7π6，根据方程在上述区间内有两个解，可得12≤k ＋12
<1，即得0≤k <1.
答案：[0,1)
13．设P 为函数f (x )＝sin πx 的图像上的一个最高点，Q 为函数g (x )＝cos πx 的图像上的一个最低点，则|PQ |的最小值是________．
解析：据题意结合图像，若使得PQ 长度最小，则P ，Q 分别为图像上相邻的最高点和最低点，设P (x 0,1)，Q ⎝⎛⎭
⎫x 0＋1
2，－1，故|PQ |min ＝ ⎝⎛⎭⎫122＋22＝172
.
答案：
17
2
14．已知函数f(x)＝A sin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图像与直线y＝b(0<b<A)的三个相邻交点的横坐标分别是2,4,8，
则f(x)的单调递增区间是________．
解析：如图x＝3，x＝6是y＝A sin(ωx＋φ)的对称轴，
∴周期T＝6，
∴单调递增区间为[6k,6k＋3]，k∈Z.
答案：[6k,6k＋3]，k∈Z
15．(2013·兰州模拟)定义一种运算a⊗b＝
⎩⎪
⎨
⎪⎧a，a≤b，
b，a>b.
令f(x)＝(cos2x＋sin x)⊗
5
4.当x∈⎣
⎡
⎦
⎤
0，
π
2时，函数f⎝
⎛
⎭
⎫
x－
π
2
的最大值是________．
解析：依题意得，当x∈⎣⎡⎦⎤
0，
π
2
时，y＝cos2⎝⎛⎭⎫
x－
π
2
＋sin⎝⎛⎭⎫
x－
π
2
＝sin2x－cos x＝－cos2x－cos x＋1＝－⎝⎛⎭⎫
cos x＋
1
2
2＋54的值域是[－1,1]，此时函数f⎝⎛⎭⎫
x－
π
2
的值域是[－1,1]，所以f⎝⎛⎭⎫
x－
π
2
的最大值是1.
答案：1
16．①存在α∈⎝⎛⎭⎫
0，
π
2使sin α＋cos α＝
1
3；
②存在区间(a，b)使y＝cos x为减函数且sin x＜0；
③y＝tan x在其定义域内为增函数；
④y＝cos 2x＋sin⎝⎛⎭⎫
π
2－x既有最大、最小值，又是偶函数；
⑤y＝sin ⎝⎛⎭⎫
2x＋
π
6的最小正周期为π.
以上命题错误的为________(填序号)．
解析：①当α∈⎝⎛⎭⎫
0，
π
2
时，sin α＋cos α＞1，故①错；②若y＝cos x为减函数，则x∈[2kπ，π＋2kπ]，k∈Z，
此时sin x＞0，故②错；③当x分别取π，2π时，y都是0，无单调性，故③错；④∵y＝cos 2x＋sin⎝⎛⎭⎫
π
2
－x＝2cos2x
＋cos x－1，∴既有最大、最小值，又是偶函数，故④对；⑤y＝sin ⎝⎛⎭⎫
2x＋
π
6
的最小正周期为π
2
，故⑤错．
答案：①②③⑤。