2019年湖北省武汉市九年级元月调考数学模拟考试试卷(三) 解析版

2019年湖北省武汉市九年级元月调考数学模拟试卷（三）
一．选择题（共10小题）
1．方程x2﹣3x＝4化为一般式后，若二次项系数为1，则它的一次项系数和常数项分别为（）
A．﹣3、4 B．3、﹣4 C．﹣3、﹣4 D．3、4
2．关于二次函数y＝﹣2（x+1）2+5，下列说法正确的是（）
A．最小值为5 B．最大值为1 C．最大值为﹣1 D．最大值为5 3．下列图案中，是中心对称图形的是（）
A．B．C．D．
4．袋中装有6个黑球和2个红球，这些球的形状、大小、质地都完全相同，童童在看不到球的条件下，随机从装中摸出的三个小球，下列事件是必然事件的是（）
A．摸出的三个球中至少有一个红球
B．摸出的三个球中至少有一个黑球
C．摸出的三个球中至少有两个红球
D．摸出的三个球中至少有两个黑球
5．下列说法正确的是（）
A．“明天下雨的概率是85%”表示明天有85%的时间都在下雨
B．“彩票中奖概率为1%”表示100张彩票必定会中奖
C．连续将一枚质地均匀的硬币抛掷10次不可能都正面朝上
D．连续将一枚质地均匀的硬币抛掷10次可能有5次正面朝上
6．一元二次方程x2﹣2x+t＝0有实数根，则（）
A．t＜1 B．t≤1 C．t＞1 D．t≥1
7．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12．若以C为圆心，r为半径的圆与斜边AB 只有一个公共点，则半径r的值或取值范围是（）
A．B．5≤r≤12或r＝
C．5＜r≤12 D．5＜r≤12或r＝
8．如图，AB为半圆的直径，AB＝4，C、D为上两点，且＝，若∠CED＝∠COD，则的长为（）
A．B．C．D．
9．如图，⊙O中，弦AB⊥CD，垂足为E，F为的中点，连接AF、BF、AC，AF交CD于M，过F作FH⊥AC，垂足为G，以下结论：①＝；②HC＝BF：③MF＝FC：④+＝+，其中成立的个数是（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
10．y＝x2﹣2x﹣3在﹣2≤x≤5之间的图象与y＝﹣x2+2x+6+m的图象只有一个交点，则m 的取值范围是（）
A．7＜m≤21或m＝﹣11 B．5＜m≤23或m＝2
C．4＜m＜25或m＝﹣8 D．6≤m＜24或m＝8
二．填空题（共6小题）
11．x2﹣2x﹣a＝0的一个根为4，则a的值是．
12．把抛物线y＝x2﹣4x+5向上平移2个单位，再向左平移1个单位得到的抛物线解析式为．
13．一个不透明的袋中装有3个红色小球，2个白色小球，除颜色外其他均无差别，现随机摸出一个小球后不放回，再随机摸出一个小球，则两次摸出颜色相同的小球的概率是．
14．某同学患流感，经过两轮传染后，共有144名同学患流感，平均每人每轮传染名同学．
15．如图，正五边形ABCDE和正△AFG都是⊙O的内接多边形，则∠FOC＝．
16．矩形ABCD的边AB＝4，边AD上有一点M，连接BM，将MB绕M点逆时针旋转90°得MN，N恰好落在CD上，过M、D、N作⊙O，⊙O与BC相切，Q为⊙O上的动点，连BQ，P为BQ中点，连AP，则AP的最小值为．
三．解答题（共8小题）
17．解方程：x2﹣2x＝4．
18．已知，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，点H为上一点，连接CH交AB于F，过A作AG⊥CH于G．
（1）如图1，连AH、BC，求证：∠HAG＝∠BCE；
（2）如图2，若H为AD的中点，连接HD，求证：HD＝HF．
19．一个不透明的袋中装有4个标号为1，2，3，4的小球，它们除标号外均无差别．（1）随机摸出一个小球，放回并摇匀，再随机摸出一个，用列表法或画树状图的方法求出“两次取出的球的标号之和为偶数”的概率；
（2）随机摸出两个小球，直接写出两个小球标号积为奇数的概率．
20．如图，在平面直角坐标系中，A（0，2），B（2，0）．
（1）在图中画出点P，使△PAB为等边三角形，保留作图痕迹；
（2）求出满足条件的P点坐标．
21．如图，△ABC内接于⊙O，OE⊥BC于E，延长EO交AB于F，交⊙O于D，A为的中点，连接BD．
（1）求证：∠ACB＝3∠ABC；
（2）若OF＝5，EO＝7，求△BDF的面积．
22．某文具生产厂家生产一种新型玩具，每件生产成本为20元，试销过程中发现每月销量y（万件）与销售单价x（元）之间可以近似看作一次函数y＝﹣2x+160．
（1）写出每月利润与销售单价之间的函数关系；
（2）在扩大销量的前提下，当销售单价为多少元时，厂家每月能获得1000万利润？当每月获得最大利润时，售价为多少？最大利润为多少？
（3）根据物价部门规定，这种玩具售价不得高于60元．如果厂家要获得每月不低于1000万的利润，则每月最低生产成本需要多少万元？
23．在等边△ABC．
（1）过B作BG⊥AC，E为BG延长线上一点，过E作ED∥BC交AB于D，交AC于F．
①如图1，若EF＝2AF，求FG：BC；
②在①的条件下，如图2，绕B顺时针旋转△BDE，连接AE，取AE的中点M，连接DM、
CM，试确定DM与CM的关系；
（2）D为△ABC内一点，∠BDC＝120°，延长CD交AB于N，BD＝3，S△BCM＝3S△BCN，请
直接写出BC的长．
24．如图1，直线y＝﹣x+2与x轴交于A，与y轴交于B，点C（1，m）是直线AB上一点，抛物线y＝ax2+bx+c过O、A、C三点，P为直线AB上一动点．
（1）求抛物线解析式；
（2）如图1，当P点在线段AB上时，如果在x轴上方的抛物线上总存在两个点D，使△OPD的面积与△OPA的面积相等，求点P横坐标的取值范围；
（3）如图2，Q为对称轴右侧第一象限内抛物线上一点，连接QB交抛物线于D，连接AD 交y轴于E，连AQ交y轴于F，求OE•OF的值．
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．方程x2﹣3x＝4化为一般式后，若二次项系数为1，则它的一次项系数和常数项分别为（）
A．﹣3、4 B．3、﹣4 C．﹣3、﹣4 D．3、4
【分析】方程整理为一般形式，找出一次项系数与常数项即可．
【解答】解：方程整理得：x2﹣3x﹣4＝0，
则它的一次项系数和常数项分别为﹣3、﹣4，
故选：C．
2．关于二次函数y＝﹣2（x+1）2+5，下列说法正确的是（）
A．最小值为5 B．最大值为1 C．最大值为﹣1 D．最大值为5 【分析】由已知可知抛物线开口向下，则该函数有最大值，再由函数解析式求出当x＝﹣1时，有最大值5即可．
【解答】解：∵二次函数y＝﹣2（x+1）2+5，
可得函数开口向下，
∴函数有最大值，
∴当x＝﹣1时，函数有最大值5，
故选：D．
3．下列图案中，是中心对称图形的是（）
A．B．C．D．
【分析】根据中心对称图形的概念进行判断即可．
【解答】解：A、不是中心对称图形；
B、不是中心对称图形；
C、是中心对称图形；
D、不是中心对称图形．
故选：C．
4．袋中装有6个黑球和2个红球，这些球的形状、大小、质地都完全相同，童童在看不到
球的条件下，随机从装中摸出的三个小球，下列事件是必然事件的是（）
A．摸出的三个球中至少有一个红球
B．摸出的三个球中至少有一个黑球
C．摸出的三个球中至少有两个红球
D．摸出的三个球中至少有两个黑球
【分析】必然事件就是一定发生的事件，依据定义即可作出判断．
【解答】解：A、摸出的三个球中至少有一个红球是随机事件，不合题意；
B、摸出的三个球中至少有一个黑球是必然事件，符合题意；
C、摸出的三个球中至少有两个红球是随机事件，不合题意；
D、摸出的三个球中至少有两个黑球是随机事件，不合题意．
故选：B．
5．下列说法正确的是（）
A．“明天下雨的概率是85%”表示明天有85%的时间都在下雨
B．“彩票中奖概率为1%”表示100张彩票必定会中奖
C．连续将一枚质地均匀的硬币抛掷10次不可能都正面朝上
D．连续将一枚质地均匀的硬币抛掷10次可能有5次正面朝上
【分析】利用概率的意义分别分析各选项即可得出结论．
【解答】解：A．“明天下雨的概率是85%”表示明天有85%的可能性在下雨，故本选项错误；
B．“彩票中奖概率为1%”表示100张彩票不一定会中奖，故本选项错误；
C．连续将一枚质地均匀的硬币抛掷10次可能都正面朝上，故本选项错误；
D．连续将一枚质地均匀的硬币抛掷10次可能有5次正面朝上，故本选项正确；
故选：D．
6．一元二次方程x2﹣2x+t＝0有实数根，则（）
A．t＜1 B．t≤1 C．t＞1 D．t≥1
【分析】根据根的判别式即可求出答案．
【解答】解：由题意可知：△＝4﹣4t≥0，
∴t≤1，
故选：B．
7．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12．若以C为圆心，r为半径的圆与斜边AB
只有一个公共点，则半径r的值或取值范围是（）
A．B．5≤r≤12或r＝
C．5＜r≤12 D．5＜r≤12或r＝
【分析】此题注意两种情况：（1）圆与AB相切时；（2）点A在圆内部，点B在圆上或圆外时．根据勾股定理以及直角三角形的面积计算出其斜边上的高，再根据位置关系与数量之间的联系进行求解．
【解答】解：∵BC＞AC，
∴以C为圆心，r为半径所作的圆与斜边AB只有一个公共点．
根据勾股定理求得AB＝13．
分两种情况：
（1）圆与AB相切时，即r＝CD＝5×12÷13＝；
（2）点A在圆内部，点B在圆上或圆外时，此时AC＜r≤BC，即5＜r≤12．
故选：D．
8．如图，AB为半圆的直径，AB＝4，C、D为上两点，且＝，若∠CED＝∠COD，则的长为（）
A．B．C．D．
【分析】设的度数为x°，则∠AOC＝x，∠BOD＝5x，∠COD＝180°﹣6x，构建方程求出x，再利用弧长公式计算即可．
【解答】解：设的度数为x°，则∠AOC＝x，∠BOD＝5x，∠COD＝180°﹣6x，
∵∠CED＝∠COD，
∴∠CED＝（180°﹣6x），
∵∠CED+∠COD＝180°，
∴（180°﹣6x）+90°﹣3x＝180°，
解得x＝20，
∴∠DOB＝100°，
∴的长＝＝π，
故选：D．
9．如图，⊙O中，弦AB⊥CD，垂足为E，F为的中点，连接AF、BF、AC，AF交CD于M，过F作FH⊥AC，垂足为G，以下结论：①＝；②HC＝BF：③MF＝FC：④+＝+，其中成立的个数是（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据弧，弦，圆心角之间的关系，圆周角定理以及三角形内角和定理一一判断即可．
【解答】解：∵F为的中点，
∴＝，故①正确，
∴∠FCM＝∠FAC，
∵∠FCG＝∠ACM+∠GCM，∠AME＝∠FMC＝∠ACM+∠FAC，
∴∠AME＝∠FMC＝∠FCG＞∠FCM，
∴FC＞FM，故③错误，
∵AB⊥CD，FH⊥AC，
∴∠AEM＝∠CGF＝90°，
∴∠CFH+∠FCG＝90°，∠BAF+∠AME＝90°，
∴∠CFH＝∠BAF，
∴＝，
∴HC＝BF，故②正确，
∵∠AGF＝90°，
∴∠CAF+∠AFH＝90°，
∴的度数+的度数＝180°，
∴的度数+的度数＝180°，
∴+＝+＝+＝+，故④正确，
故选：C．
10．y＝x2﹣2x﹣3在﹣2≤x≤5之间的图象与y＝﹣x2+2x+6+m的图象只有一个交点，则m 的取值范围是（）
A．7＜m≤21或m＝﹣11 B．5＜m≤23或m＝2
C．4＜m＜25或m＝﹣8 D．6≤m＜24或m＝8
【分析】求出y＝x2﹣2x﹣3在﹣2≤x≤5之间，顶点为（1，﹣4），当x＝﹣2时，y＝5；
当x＝5时，y＝12；再求y＝﹣x2+2x+6+m的顶点为（1，7+m），分两种情况：当7+m＞﹣4时，m＞﹣11，①当x＝﹣2时，y＞5，当x＝5时y≤12，此时7＜m≤21；②当x＝﹣2时y≤5，当x＝5时，y＞12，此时m无解；当7+m＝﹣4时，m＝﹣11，有一个交点．【解答】解：y＝x2﹣2x﹣3在﹣2≤x≤5之间，顶点为（1，﹣4），
∴当x＝﹣2时，y＝5；当x＝5时，y＝12；
∵y＝﹣x2+2x+6+m的对称轴x＝1，
∴顶点为（1，7+m），
当7+m＞﹣4时，m＞﹣11，
①当x＝﹣2时，﹣x2+2x+6+m＝﹣4﹣4+6+m＞5，
∴m＞7，
当x＝5时，﹣25+10+6+m≤12，
∴m≤21，
∴7＜m≤21；
②当x＝﹣2时，﹣x2+2x+6+m＝﹣4﹣4+6+m≤5，
∴m≤7，
当x＝5时，﹣25+10+6+m＞12，
∴m＞21，
∴m无解；
当7+m＝﹣4时，m＝﹣11，有一个交点；
综上所述：7＜m≤21或m＝﹣11，
故选：A．
二．填空题（共6小题）
11．x2﹣2x﹣a＝0的一个根为4，则a的值是8 ．
【分析】把x＝4代入x2﹣2x﹣a＝0得16﹣8﹣a＝0，然后解关于a的方程．
【解答】解：把x＝4代入x2﹣2x﹣a＝0得16﹣8﹣a＝0，
解得a＝8．
故答案为8．
12．把抛物线y＝x2﹣4x+5向上平移2个单位，再向左平移1个单位得到的抛物线解析式为y＝（x﹣1）2+3 ．
【分析】根据平移规律得到平移后抛物线的顶点坐标，根据该顶点坐标写出新抛物线解析式即可．
【解答】解：抛物线y＝x2﹣4x+5＝（x﹣2）2+1，它的顶点坐标是（2，1）．
将其向上平移2个单位，再向左平移1个单位后，得到新抛物线的顶点坐标是（1，3），所以新抛物线的解析式是：y＝（x﹣1）2+3．
故答案是：y＝（x﹣1）2+3．
13．一个不透明的袋中装有3个红色小球，2个白色小球，除颜色外其他均无差别，现随机摸出一个小球后不放回，再随机摸出一个小球，则两次摸出颜色相同的小球的概率是．
【分析】依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率即可．
【解答】解：如图所示：
，一共有20种可能，两次摸出颜色相同的小球一共有8种可能，
故两次摸出颜色相同的小球的概率是：＝．
故答案为：．
14．某同学患流感，经过两轮传染后，共有144名同学患流感，平均每人每轮传染11 名同学．
【分析】根据题意，设平均每人每轮传染x名同学，然后即可列出相应的方程，从而可以求得平均每人每轮传染多少名同学．
【解答】解：设平均每人每轮传染x名同学，
1+x+（1+x）x＝144，
解得，x1＝11，x2＝﹣13（舍去），
即平均每人每轮传染11名同学，
故答案为：11．
15．如图，正五边形ABCDE和正△AFG都是⊙O的内接多边形，则∠FOC＝24°．
【分析】连接OA，分别求出正五边形ABCDE和正三角形AMN的中心角，结合图形计算即可．
【解答】解：连接OA，OB，
∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠AOB＝∠BOC＝＝72°，
∵△AFG是正三角形，
∴∠AOF＝＝120°，
∴∠BOF＝∠AOF﹣∠AOB＝48°，
∴∠FOC＝∠BOC﹣∠BOF＝72°﹣48°＝24°，
故答案为：24°．
16．矩形ABCD的边AB＝4，边AD上有一点M，连接BM，将MB绕M点逆时针旋转90°得MN，N恰好落在CD上，过M、D、N作⊙O，⊙O与BC相切，Q为⊙O上的动点，连BQ，P为BQ中点，连AP，则AP的最小值为．
【分析】设⊙O与BC的交点为F，连接OB、OF，如图1所示．根据切线的性质得到MN ⊥BM，推出△BMN为等腰直角三角形，由全等三角形的性质得到DM＝AB＝4，DN＝AM，设DN＝2a，则AM＝2a，OF＝4﹣a，根据勾股定理得到BM＝＝2，得到⊙O半径为，如图2，延长BA，使AH＝AB＝4，连接HQ，OH，过O作OG⊥AB于G，根据三角形中位线的定理得到AP＝HQ，HQ∥AP，当HQ取最小值时，AP有最小值，当点Q在HO时，HQ的值最小，根据勾股定理得到OH＝＝＝，于是得到结论．
【解答】解：设⊙O与BC的交点为F，连接OB、OF，如图1所示．
∵△MDN为直角三角形，
∴MN为⊙O的直径，
∵BM与⊙O相切，
∴MN⊥BM，
∵将MB绕M点逆时针旋转90°得MN，
∴MB＝MN，
∴△BMN为等腰直角三角形，
∵∠AMB+∠NMD＝180°﹣∠AMN＝90°，∠MBA+∠AMB＝90°，
∴∠NMD＝∠MBA，且BM＝NP，∠A＝∠NMD＝90°，
∴△ABM≌△DMN（AAS），
∴DM＝AB＝4，DN＝AM，
设DN＝2a，则AM＝2a，OF＝4﹣a，
BM＝＝2，
∵BM＝MP＝2OF，
∴2＝2×（4﹣a），
解得：a＝，
∴DN＝2a＝3，OF＝4﹣＝，
∴⊙O半径为，
如图2，延长BA，使AH＝AB＝4，连接HQ，OH，过O作OG⊥AB于G，
∵AB＝AH，BP＝PQ，
∴AP＝HQ，HQ∥AP，
∴当HQ取最小值时，AP有最小值，
∴当点Q在HO时，HQ的值最小，
∵HG＝4+4﹣＝，GO＝3+4﹣2＝5，
∴OH＝＝＝，
∴HQ的最小值＝﹣＝，
∴AP的最小值为，
故答案为：．
三．解答题（共8小题）
17．解方程：x2﹣2x＝4．
【分析】利用配方法得到（x﹣1）2＝5，然后利用直接开平方法解方程．
【解答】解：x2﹣2x+1＝5，
（x﹣1）2＝5，
x﹣1＝±，
所以x1＝1+，x2＝1﹣．
18．已知，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，点H为上一点，连接CH交AB于F，过A作AG⊥CH于G．
（1）如图1，连AH、BC，求证：∠HAG＝∠BCE；
（2）如图2，若H为AD的中点，连接HD，求证：HD＝HF．
【分析】（1）如图1中，连接AH．想办法证明∠FAH＝∠FCB，∠FAH＝∠FCE即可解决问题．
（2）想办法证明∠HFD＝∠HDF即可．【解答】证明：（1）如图1中，连接AH．
∵CD⊥AB，AG⊥CH，
∴∠CEF＝∠AGF＝90°，
∵∠AFE＝∠AFG，
∴∠ECF＝∠FAG，
∵∠BAH＝∠HCB，
∴∠HAG＝∠BCE．
（2）连接AC，AD，DF．
∵AB⊥CD，
∴CE＝DE，
∴AC＝AD，FC＝FD，
∴∠ACD＝∠ADC，∠FCD＝∠FDC，
∴∠ACF＝∠ADF，
∵＝，
∴∠ACF＝∠ADH＝∠HCD，
∵∠HFD＝∠FCD+∠FDC，∠HDF＝∠ADH+∠ADF，
∴∠HFD＝∠HDF，
∴HF＝HD．
19．一个不透明的袋中装有4个标号为1，2，3，4的小球，它们除标号外均无差别．（1）随机摸出一个小球，放回并摇匀，再随机摸出一个，用列表法或画树状图的方法求出“两次取出的球的标号之和为偶数”的概率；
（2）随机摸出两个小球，直接写出两个小球标号积为奇数的概率．
【分析】（1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次取出的球的标号之和为偶数的情况，再利用概率公式即可求得答案；
（2）根据题意画出树状图得出所有等可能的结果数和“两次取出的球标号和为奇数”的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
【解答】解：（1）根据题意画图如下：
共有16种等情况数，其中两次取出的球的标号之和为偶数有8种，则两次取出的球的标号之和为偶数的概率是：；
（2）画树状图如下：
共有12种等可能的结果数，其中两次取出的球标号和为奇数的结果数为8，
所以“两次取出的球标号和为奇数”的概率＝＝．
20．如图，在平面直角坐标系中，A（0，2），B（2，0）．
（1）在图中画出点P，使△PAB为等边三角形，保留作图痕迹；
（2）求出满足条件的P点坐标．
【分析】（1）在图中画线段AB的垂直平分线，再找出点P，使△PAB为等边三角形即可；
（2）根据等边三角形的性质即可求出满足条件的P点坐标．
【解答】解：
（1）如图所示：
点P即为所求作的点．
（2）∵A（0，2），B（2，0）．
∴AB＝2．
根据作图可设P点坐标为（x，x），
根据勾股定理，得
x2+（x﹣2）2＝8
解得x＝1．
所以P点坐标为：（1+，1+）或（1﹣，1﹣）．
21．如图，△ABC内接于⊙O，OE⊥BC于E，延长EO交AB于F，交⊙O于D，A为的中点，连接BD．
（1）求证：∠ACB＝3∠ABC；
（2）若OF＝5，EO＝7，求△BDF的面积．
【分析】（1）根据垂径定理得到＝＝，推出＝＝，于是得到结论；
（2）连接OB，设OB＝OD＝r，求得DF＝r﹣5，BE＝，过F作FH⊥BD于H，根据相似三角形的性质得到＝，求得r＝25，根据勾股定理得到BD＝＝＝40，根据三角形的面积公式即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵OE⊥BC，
∴＝＝，
∵A为的中点，
∴＝＝，
∴＝，
∴＝，
∴∠ACB＝3∠ABC；
（2）连接OB，
设OB＝OD＝r，
∵OE⊥BC，OF＝5，EO＝7，
∴DF＝r﹣5，BE＝，
过F作FH⊥BD于H，
∴FH＝FE＝12，∠DHF＝∠DEB＝90°，DH＝＝，
∵∠FDH＝∠BDE，
∴△DHF∽△DEB，
∴＝，
∴＝，
∴r＝25，
∴DE＝32，BE＝24，
∴BD＝＝＝40，
∴△BDF的面积＝＝240．
22．某文具生产厂家生产一种新型玩具，每件生产成本为20元，试销过程中发现每月销量y（万件）与销售单价x（元）之间可以近似看作一次函数y＝﹣2x+160．
（1）写出每月利润与销售单价之间的函数关系w＝2x2+200x﹣3200 ；
（2）在扩大销量的前提下，当销售单价为多少元时，厂家每月能获得1000万利润？当每月获得最大利润时，售价为多少？最大利润为多少？
（3）根据物价部门规定，这种玩具售价不得高于60元．如果厂家要获得每月不低于1000万的利润，则每月最低生产成本需要多少万元？
【分析】（1）根据销售利润＝单件利润×销售量即可写出每月利润与销售单价之间的函数关系；
（2）根据（1）所得关系式，先代入1000万的利润，再根据二次函数的顶点坐标求当每月获得最大利润时，售价为多少，最大利润为多少即可；
（3）根据售价不得高于60元．如果厂家要获得每月不低于1000万的利润即可求解．【解答】解：（1）设每月利润为w万元，根据题意，得
w＝（x﹣20）（﹣2x+160）
＝﹣2x2+200x﹣3200
故答案为：w＝﹣2x2+200x﹣3200；
（2）当w＝1000时，
﹣2x2+200x﹣3200＝1000，
解得x1＝30，x2＝70，
扩大销量的前提下，x＝30，
答：在扩大销量的前提下，当销售单价为30元时，厂家每月能获得1000万利润；
w＝﹣2x2+200x﹣3200
＝﹣2（x﹣50）2+1800
当x＝50时，w有最大值，最大值为1800，
答：当每月获得最大利润时，售价为50元，最大利润为1800万元．
（3）根据题意，得
﹣2x2+200x﹣3200≥1000，
解得30≤x≤70，
又因为x≤60，
所以30≤x≤60，
每月生产成本为：
z＝20y
＝20（﹣2x+160）
＝﹣40x+3200
﹣400＜0，所以生产成本z随销售单价x的增大而减小，
故当x＝60时，每月生产成本最低，
最低为﹣40×60+3200＝800（万元）．
答：每月最低生产成本需要800万元．
23．在等边△ABC．
（1）过B作BG⊥AC，E为BG延长线上一点，过E作ED∥BC交AB于D，交AC于F．
①如图1，若EF＝2AF，求FG：BC；
②在①的条件下，如图2，绕B顺时针旋转△BDE，连接AE，取AE的中点M，连接DM、
CM，试确定DM与CM的关系；
（2）D为△ABC内一点，∠BDC＝120°，延长CD交AB于N，BD＝3，S△BCM＝3S△BCN，请直接写出BC的长．
【分析】（1）①由等边三角形的性质可得AG＝GC＝AC＝BC，∠ABG＝∠CBG＝30°，由平行线的性质和直角三角形的性质可得EF＝2FG，且EF＝2AF，可得AF＝FG＝AG，即可求解；
②过点A作AH∥DE，交DM的延长线与点H，由“ASA”可证△AMH≌△EMD，可得AH＝DE，DM＝MH，通过证明△BDC≌△AHC，可得CD＝CH，由等腰三角形的性质可得DM⊥CM；（2）由“ASA”可证△ABM≌△BCN，可得S△ABM＝S△BCN，AM＝BN，可求CM＝3AM，设AM＝a＝BN，CM＝3a，则AB＝AC＝BC＝4a，通过证明△ABM∽△DBN，可求a的值，即可求BC 的值．
【解答】解：（1）①∵△ABC是等边三角形，BG⊥AC
∴AG＝GC＝AC＝BC，∠ABG＝∠CBG＝30°，
∵ED∥BC
∴∠E＝∠EBC＝30°，且∠AGE＝90°
∴EF＝2FG，且EF＝2AF
∴AF＝FG＝AG
∴FG＝AG＝BC
∴FG：BC＝1：4
②DM⊥CM
理由如下：如图，过点A作AH∥DE，交DM的延长线与点H，连接CD，CH，设AC与DE 交点为O，
∵点M是AE中点
∴AM＝ME
∵AH∥DE
∴∠CAH＝∠AOD，∠HAM＝∠MED，且AM＝ME，∠AMH＝∠DME
∴△AMH≌△EMD（ASA）
∴AH＝DE，DM＝MH
∵∠DBE＝∠DEB＝30°
∴BD＝DE，∠BDE＝120°
∴AH＝BD
∵∠BDE＝120°，∠ACB＝60°，且∠BDE+∠DBC+∠BCA+∠DOC＝360°∴∠DBC+∠DOC＝180°，且∠AOD+∠DOC＝180°
∴∠DBC＝∠AOD，且∠AOD＝∠CAH，
∴∠CAH＝∠DBC，且BD＝AH，BC＝AC
∴△BDC≌△AHC（SAS）
∴CD＝CH，且DM＝HM
∴DM⊥CM
（2）如图3，过点M作ME⊥BC于点E，
∵∠BDC＝120°
∴∠MBC+∠BCN＝60°，且∠ABM+∠MBC＝60°
∴∠ABM＝∠BCN，且AB＝BC，∠A＝∠ABC＝60°
∴△ABM≌△BCN（ASA）
∴S△ABM＝S△BCN，AM＝BN，
∵S△BCM＝3S△BCN，
∴S△BCM＝3S△ABM，且△ABM与△BMC是等高的两个三角形，
∴CM＝3AM，
设AM＝a＝BN，CM＝3a，则AB＝AC＝BC＝4a，
∵ME⊥BC，∠ACB＝60°
∴CE＝a，ME＝a，
∴BE＝a，
∴BM＝＝a，
∵∠BDC＝120°
∴∠BDN＝60°＝∠A，且∠ABM＝∠DBN
∴△ABM∽△DBN
∴
∴
∴a＝
∴BC＝3
24．如图1，直线y＝﹣x+2与x轴交于A，与y轴交于B，点C（1，m）是直线AB上一点，抛物线y＝ax2+bx+c过O、A、C三点，P为直线AB上一动点．
（1）求抛物线解析式；
（2）如图1，当P点在线段AB上时，如果在x轴上方的抛物线上总存在两个点D，使△OPD的面积与△OPA的面积相等，求点P横坐标的取值范围；
（3）如图2，Q为对称轴右侧第一象限内抛物线上一点，连接QB交抛物线于D，连接AD 交y轴于E，连AQ交y轴于F，求OE•OF的值．
【分析】（1）直线y＝﹣x+2与x轴交于A，与y轴交于B，则点A、B的坐标分别为：（4，0）、（0，2），点C（1，），即可求解；
（2）在x轴上方的抛物线上总存在一个点D时，在OP上下方等距离作直线AN、DH，直线AN的表达式为：y＝（x﹣4），则ON＝＝OH，故点H（0，），则直线DH的表达式为：y＝x+，联立①②并整理得：﹣x2+2x+x+＝0，则△＝（2+）2﹣4××（）＝0，即可求解；
（3）设点Q（m，﹣m2+2m），而点A（4，0），设直线QB的表达式为：y＝kx+2，联立①③并整理得：x2+（k﹣2）x+2＝0，则m•x D＝4，解得：x D＝，故点D（，）；直线AD的表达式为：y＝﹣（x﹣4），故OE＝；直线AQ的表达式为：y＝﹣m（x ﹣4），故FO＝2m，即可求解．
【解答】解：（1）直线y＝﹣x+2与x轴交于A，与y轴交于B，
则点A、B的坐标分别为：（4，0）、（0，2），点C（1，）；
则抛物线的表达式为：y＝ax（x﹣4），将点C的坐标代入上式并解得：
a＝﹣，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x…①；
（2）设点P（m，﹣m+2），
直线OP表达式中的k为：，
在x轴上方的抛物线上总存在一个点D时，在OP上下方等距离作直线AN、DH，直线AN的表达式为：y＝（x﹣4），则ON＝＝OH，
故点H（0，），
则直线DH的表达式为：y＝x+…②，
联立①②并整理得：﹣x2+2x+x+＝0，
则△＝（2+）2﹣4××（）＝0，
解得：m＝（正值舍去），
而0＜m＜3，
故P横坐标的取值范围为：＜m＜3；
（3）设点Q（m，﹣m2+2m），而点A（4，0），
设直线QB的表达式为：y＝kx+2…③，
联立①③并整理得：x2+（k﹣2）x+2＝0，
则m•x D＝4，解得：x D＝，故点D（，）；
将点A、D坐标代入一次函数表达式并解得：
直线AD的表达式为：y＝﹣（x﹣4），故OE＝；
同理可得：直线AQ的表达式为：y＝﹣m（x﹣4），故FO＝2m，
OE•OF＝×2m＝16．。