高中数学 空间位置关系的判断与证明 板块二 对空间位置关系的判断完整讲义(学生版)

学而思高中完整讲义：空间位置关系的判断与证明.
板块二.对空间位置关系的判断.学生版
【例1】 直线和平面所成的角为α，则（ ）
A ．090α︒<<︒
B ．
090α︒︒≤≤ C ．090α︒<︒≤ D ．090α︒<︒≤
【例2】 若直线a ∥平面α，直线b ⊂平面α，则直线a 与b 的位置关系
是
【例3】 室内有一根直尺，无论怎么放置，在地面上总有这样的直线，
它与直尺所在的直线
A ．异面
B ．相交
C ．平行
D ．垂直
【例4】 若不共线的三点到平面α的距离相等，则该三点确定的平面
β与α之间的关系为（ ）
A ．平行
B ．相交
C ．平行或相交
D ．无法确定
【例5】 设a b ，为两条直线，αβ，为两个平面，下列四个命题中，正
确的命题是（ ）
A ．若a b ，与α所成的角相等，则a b ∥
B ．若a α∥，b β∥，αβ∥，则a b ∥
C ．若a α⊂，b β⊂，a b ∥，则αβ∥
D ．若a α⊥，b β⊥，αβ⊥，则a b ⊥
【例6】 下列命题中，真命题有_______．
①若,,//a b a b αβ⊂⊂，则//αβ；
②若//,//,//,//a a b b αβαβ，则//αβ；
③若,,//a b a αββ⊂⊂，则a b =∅；
④若//,//,//,//,a a b b a b A αβαβ=，则α
β=∅； 【例7】 m ，n 是空间两条不同直线，α，β是空间两条不同平面，下
面有四个命题：
典例分析
①,;m n m n αβαβ⊥⇒⊥,　
②,,;m n m n αβαβ⊥⊥⇒　
③,,;m n m n αβαβ⊥⇒⊥　
③,,;m m n n ααββ⊥⇒⊥　
其中真命题的编号是________（写出所有真命题的编号）．
【例8】 （2009广东五校）在下列关于直线l 、m 与平面α、β的命题
中，真命题是（ ）
A ．若l β⊂，且αβ⊥，则l α⊥
B ．若l β⊥，且//αβ，
则l α⊥
C ．若m αβ=，且l m ⊥，则//l α
D ．若l β⊥，且
αβ⊥，则//l α
【例9】 （2010年二模·东城·文·题3） 已知m ，n 为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则
下列命题中正确的是（ ）
A ．,m n m n αα⊥⇒⊥∥
B ．,,m n m n αβαβ⊂⊂⇒∥∥
C ．,m m n n αα⊥⊥⇒∥
D ．
,,,m n m n ααββαβ⊂⊂⇒∥∥∥ 【例10】 （2010年二模·宣武·理·题4） 已知直线m 、n 与平面α、β，下列命题正确的是
（ ）
A ．,m n αβ∥∥且αβ∥，则m n ∥
B ．,m n αβ⊥∥且αβ⊥，
则m n ⊥ C ．,m n m α
β=⊥且αβ⊥，则n α⊥ D ．,m n αβ⊥⊥且αβ⊥，则
m n ⊥
【例11】 （2010浙江高考） 设l ，m 是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确
的是
A ．若l m ⊥，m α⊂，则l α⊥
B ．若l α⊥，l m ∥，则m α⊥
C ．若l α∥，m α⊂则l m ∥
D ．若l α∥，m α∥，则l m ∥
【例12】 （2008新课标海南宁夏）
已知平面α⊥平面β，l αβ=，点A α∈，A l ∉，直线AB l ∥，直
线AC l ⊥，直线m α∥，m β∥，则下列四种位置关系中，不一．．
定．
成立的是（ ） A ．AB m ∥ B ．AC m ⊥
C ．AB β∥
D ．AC β⊥
【例13】 已知直线m n ，与平面αβ，，下面三个命题中正确的有______． ①m n m n
αα⇒∥，∥∥；②m n n m αα⊥⇒⊥∥，；③m m αβαβ⊥⇒⊥，∥．
【例14】 （05广东）给出下列关于互不相同的直线m 、l 、n 和平面α、
β的四个命题：
①若m α⊂，l A α=，点A m ∉，则l 与m 不共面；
②若m 、l 是异面直线，∥l α，∥m α，且n l ⊥，n m ⊥，则n α⊥；
③若∥l α，∥m β，∥αβ，则∥l m ；
④若l α⊂，m α⊂，l m =点A ，∥l β，∥m β，则∥αβ．
其中为假命题的是（ ）
A ．①
B ．②
C ．③
D ．④
【例15】 （2009北江中学）已知,αβ是两个不同的平面，,m n 是两条
不同的直线，给出下列命题：
①若,m m αβ⊥⊂，则αβ⊥；
②若m α⊂，,//,//n m n αββ⊂，则αβ∥；
③如果,,m n m n αα⊂⊄、是异面直线，则n 与α相交；
④若,m n m αβ=∥，且,n n αβ⊄⊄，则n α∥且n β∥．
其中正确的命题是（ ）
A ．①②
B ．②③
C ．③④
D ．①④
【例16】 （05福建卷）
已知直线m 、n 与平面，αβ，给出下列三个命题：
①若m α⊥，∥n α，则∥m n ②若∥m α，n α⊥，则n m ⊥
③若m α⊥，∥m β，则αβ⊥ 其中真命题的个数是（ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
【例17】 （2010年二模·朝阳·理·题5）
已知平面,αβ，直线l α⊥，直线m β⊂，有下面四个命题： ①l m αβ⇒⊥∥②l m αβ⊥⇒∥③l m αβ⇒⊥∥④l m αβ⊥⇒∥
其中正确的命题是 （ ）
A ．①与②
B ．③与④
C ．①与③
D ．②与④
【例18】 （2010年二模·海淀·理·题6） 已知m ，n 是不同的直线，α，β是不同的平面，则下列条件
能使n α⊥成立的是（ ）
A ．αβ⊥，n β⊂
B ．//αβ，n β⊥
C ．αβ⊥，//n β
D ．//m α，n m ⊥
【例19】 （2010年二模·丰台·文·题7）
设,,a b c 是空间三条不同的直线，,,αβγ是空间三个不同的
平面，给出下列四个命题： ① 若,a b αα⊥⊥，则a b ；
② 若,αγβγ⊥⊥，则αβ；
③ 若,b b αβ⊂⊥，则αβ⊥；
④ 若c 是b 在α内的射影，a α⊂且a c ⊥，则a b ⊥．
其中正确的个数是（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【例20】 （2010年一模·崇文·理·题5）（崇文·文·题6）
已知,m n 是两条不同直线，,,αβγ是三个不同平面，下列命题
中正确的为 ( )
A ．若,,αγβγ⊥⊥则αβ∥
B ．若,,m n αα⊥⊥则m n ∥
C ．若,m n αα∥∥，则m n ∥
D ．若,,m m αβ∥∥则αβ∥
【例21】 （09年西城区期末考试5）已知m 是平面α的一条斜线，点
A α∉，l 为过点A 的一条动直线，
那么下列情形可能出现的是（ ）
A ． l m ∥，l α⊥
B ． l m ⊥，l α⊥
C ． l m ⊥，l α∥
D ． l m ∥，l α∥
【例22】 （05江苏）
设，，αβγ为两两不重合的平面，，，l m n 为两两不重合的直线，
给出下列四个命题：
①若αγ⊥，βγ⊥，则∥αβ；②若m α⊂，n α⊂，∥m β，∥n β，则∥αβ；
③若∥αβ，l α⊂，则∥l β；④若l αβ=，m βγ=，n γα=，∥l γ，则∥m n ．
其中真命题的个数是（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【例23】 （2008浙江）
对两条不相交的空间直线a 和b ，必定存在平面α，使得（ ）
A ．a α∈，b α∈
B ．a α⊂，b α∥
C ．a α⊥，b α⊥
D ．a α⊂，b α⊥
【例24】 （2009江苏12）设α和β为不重合的两个平面，给出下列命
题：
①若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α平行于β；
②若α外一条直线l 与α内的一条直线平行，则l 和α平行； ③设α和β相交于直线l ，若α内有一条直线垂直于l ，则α和β垂直；
④直线l 与α垂直的充分必要条件是l 与α内的两条直线垂直．
上面命题中，真命题的序号是 ．（写出所有真命题的序号）
【例25】 （2007湖南文6）如图，在正四棱柱 1111
ABCD A B C D -中，E 、F 分别是1AB 、1BC 的中点，则以下结论中不成立的是（ ）
A ．EF 与1B
B 垂直 B ．EF 与BD 垂直
C ．EF 与C
D 异面 D ．EF 与11
A C 异面 【例26】 （2010年二模·海淀·文·题7） 在正四面体A BCD -中，棱长为4，M 是BC 的中点，P 在线段
AM 上运动（P 不与A 、M 重合）
，过点P 作直线l ⊥平面ABC ，
A ．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【例27】 （2008崇文一模）
如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，O 是底面正方形ABCD 的中
心，M 是1D D 的中点，N 是11A B 上的动点，则直线NO 、AM 的
位置关系是（ ）
A ．平行
B ．相交
C ．异面垂直
D ．异面不垂直
【例28】 （2009山东文9）已知α，β表示两个不同的平面，m 为平
面α内的一条直线，则“αβ⊥”是“m β⊥”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
【例29】 对于直线m 、n 和平面α，下面命题中的真命题是（ ）
A ．如果，m n αα⊂⊄，m 、n 是异面直线，那么∥n α
B ．如果，m n αα⊂⊄，m 、n 是异面直线，那么与n α相交
C ．如果，∥m n αα⊂，m 、n 共面，那么∥m n
D ．如果∥，∥m n αα，m 、n 共面，那么∥m n
【例30】 （2009福建文10）设m n ，是平面α内的两条不同直线；1l ，2
l 是平面β内的两条相交直线．则αβ∥的一个充分而不必要的条件是（ ）
A ．m β∥且1l α∥
B ．1m l ∥且2n l ∥
C ．m β∥且n β∥
D ．m β∥且2n l ∥
【例31】 已知a 、b 为不垂直的异面直线，α是一个平面，则a 、b 在α
上的射影有可能是 ．
①两条平行直线 ②两条互相垂直的直线
③同一条直线 ④一条直线及其外一点
在上面结论中，正确结论的编号是 （写出所有正确结论的编号）．
【例32】 （2007西城高三期末）在空间中，有如下四个命题：
①平行于同一个平面的两条直线是平行直线；
②垂直于同一条直线的两个平面是平行平面；
③若平面α内有不共线的三个点到平面β距离相等，则αβ；
∥
④过平面α的一条斜线有且只有一个平面与平面α垂直．
其中正确的两个命题是（）
A．①、③ B．①、④ C．②、④D．②、③
【例33】两个平面平行的条件是（）
A．一个平面内一条直线平行于另一个平面
B．一个平面内两条直线平行于另一个平面
C．一个平面内的无数条直线平行于另一个平面
D．一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面
【例34】（2009江苏12）
设α和β为不重合的两个平面，给出下列命题：
①若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α
平行于β；
②若α外一条直线l与α内的一条直线平行，则l和α平行；
③设α和β相交于直线l，若α内有一条直线垂直于l，则α和
β垂直；
④直线l与α垂直的充分必要条件是l与α内的两条直线垂
直．
上面命题中，真命题的序号是．（写出所有真命题的序
号）
【例35】（05年北京卷6）在正四面体P ABC
-中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论中不成立
．．．的是（）A．BC∥平面PDF B．DF⊥平面PAE
C．平面PDF⊥平面ABC D．平面PAE⊥平面ABC
【例36】判断下面命题的正误：
⑴一条直线和一个平面平行，它就和这个平面内的任何直线
平行．
⑵如果一条直线垂直于平面内的两条直线，那么这条直线和
这个平面垂直．
⑶垂直于三角形两边的直线必垂直于第三边．
⑷过点A 垂直于直线a 的所有直线都在过点A 垂直于α的平面内．
⑸如果三条共点直线两两垂直，那么其中一条直线垂直于另两条直线确定的平面．
【例37】 （2010年一模·朝阳·文·题8） 如图，设平面,,EF AB CD αβαα=⊥⊥，垂足分别为,B D ，且
AB CD ≠，
如果增加一个条件就能推出BD EF ⊥，给出四个条件：①AC β⊥；②AC EF ⊥；③AC 与BD 在β内的正投影在同一条直线上；④AC 与BD 在平面β内的正投影所在直线交于一点． 那么这个条件不可能．．．
是（ ） A ．①② B ．②③ C ．③ D ．④
【例38】 （2009四川） 如图，已知六棱锥P ABCDEF -的底面是正六边形，PA ⊥平面ABC ，2PA AB =，则下列结论正确的是（ ）
A ．P
B AD ⊥ B ．平面PAB ⊥平面PBC
C ．直线∥BC 平面PAE
D ．直线PD 与平面ABC 所成的角为45︒
【例39】 （2010年一模·西城·理·题8） 如图，平面α⊥平面β，α
β=直线l ，,A C 是α内不同的两点，,B D 是β内不同的两点，且,,,A B C D ∉直线l ，,M N 分别是线段,
AB CD 的中点．下列判断正确的是（ ） A ．当||2||CD AB =时，,M N 两点不可能重合 B ．,M N 两点可能重合，但此时直线AC 与l 不可能相交
C ．当AB 与C
D 相交，直线AC 平行于l 时，直线BD 可以与l 相交
D ．当,AB CD 是异面直线时，直线MN 可能与l 平行。