高中数学 第2章 推理与证明章末分层突破学案 新人教B版选修1-2(2021年整理)

2016-2017学年高中数学第2章推理与证明章末分层突破学案新人教B版选修1-2
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第2章推理与证明章末分层突破
［自我校对］
①由部分到整体，由个别到一般
②类比推理③演绎推理
④由一般到特殊⑤综合法
⑥执果索因⑦反证法
归纳推理
1.（2）从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般命题（猜想).
2.在应用归纳推理时，首先要观察部分对象的整体特征，然后分析所观察对象中哪些元素是不变的，哪些元素是变化的，并将变化的量的变化规律表达出来。

如图2­1，一个树形图依据下列规律不断生长：1个空心圆点到下一行仅生长出1个实心圆点,1个实心圆点到下一行生长出1个实心圆点和1个空心圆点。

则第11行的实心圆点的个数是________。

图2。

1
【精彩点拨】列出每行实心圆点的个数,从中归纳出变化规律,然后运用此规律求第11行实心圆点的个数.
【规范解答】前6行中实心圆点的个数依次为：0，1,1,2，3，5，据此猜想这个数列的规律为：从第3项起，每一项都等于它前面两项的和，故续写这个数列到第11行如下:8，13，21,34，55，所以第11行的实心圆点的个数是55。

【答案】55
[再练一题］
1.(2016·杭州高二检测）记S k＝1k＋2k＋3k＋…＋n k，
当k＝1，2，3，…时，观察下列等式：
S 1＝
1
2
n2＋
1
2
n，
S
2
＝错误!n3＋错误!n2＋错误!n，
S
3
＝错误!n4＋错误!n3＋错误!n2，
S 4＝
1
5
n5＋错误!n4＋错误!n3－错误!n,
S
5
＝An6＋错误!n5＋错误!n4＋Bn2，…
可以推测,A－B＝________。

【导学号：37820029】【解析】由S1，S2，S3,S4各项系数知,
A＝错误!,A＋错误!＋错误!＋B＝1，
于是B＝－错误!，
所以A－B＝错误!＋错误!＝错误!。

【答案】错误!
类比推理
1.
数目、位置关系、度量等方面入手，由平面中的相关结论可以类比得到空间中的相关结论.
2。

平面图形与空间图形类比。

平面图形空间图形
点线
线面
边长面积
面积体积
线线角二面角
三角形四面体
已知图2­错误!错误!
图2。

2
(1）试用类比的思想写出由图2。

2②所得的体积关系错误!＝______________________。

（2)证明你的结论是正确的.
【精彩点拨】由面积关系,类比推测错误!＝错误!，然后由体积公式证明。

【规范解答】(1）错误!＝错误!.
(2)过A作AO⊥平面PBC于O，连接PO(图略)，则A′在平面PBC内的射影O′落在PO上,
从而错误!＝错误!＝错误!＝错误!,
∵错误!＝错误!，∴错误!＝错误!.
［再练一题］
2。

在△ABC中,若AB⊥AC，AD⊥BC于D，则错误!＝错误!＋错误!。

在四面体A。

BCD中，若AB,AC,AD两两垂直，AH⊥底面BCD，垂足为H，则类似的结论是什么？并说明理由.
【解】类似的结论是:如图，在四面体A。

BCD中，若AB，AC，AD两两垂直，AH⊥底面BCD，垂足为H,则
错误!＝错误!＋错误!＋错误!。

证明如下：
连接BH并延长交CD于E,连接AE.∵AB，AC，AD两两垂直，∴AB⊥平面ACD.又∵AE⊂平面ACD,∴AB⊥AE。

在Rt△ABE中,有
1
AH2
＝错误!＋错误!. ①
又易证CD⊥AE,
在Rt△ACD中，错误!＝错误!＋错误!。

②
将②代入①得错误!＝错误!＋错误!＋错误!.
演绎推理
演绎推理只要前提正确，推理的形式正确,那么推理所得的结论就一定正确。

已知平面α∥平面β,直线l⊥α,l∩α＝A，如图2。

3所示，求证：l⊥β。

图2。

3
【精彩点拨】分别确定大前提、小前提，利用演绎推理的方法证明。

【规范解答】在平面β内任取一条直线b，平面γ是经过点A与直线b的平面.设γ∩α＝a。

①如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行，
大前提
α∥β,且α∩γ＝a，β∩γ＝b，小前提
所以a∥b. 结论
②如果一条直线与一个平面垂直，那么这条直线和这个平面内的任意一条直线都垂直,
大前提
且l⊥α，a⊂α，小前提
所以l⊥a。

结论
③如果一条直线和两条平行线中的一条垂直，那么它也与另一条垂直，
大前提
a∥b，且l⊥a, 小前提
所以l⊥b. 结论
④如果一条直线和一个平面内的任意一条直线都垂直，那么这条直线和这个平面垂直，
大前提
因为l⊥b，且直线b是平面β内的任意一条直线，小前提
所以l⊥β. 结论
[再练一题］
3。

如图2。

4，在空间四边形ABCD中，M，N分别为AB，AD的中点.
图2.4
求证：MN∥平面BCD（写出大前提，小前提，结论）
【证明】三角形中位线平行于底边，大前提
∵M，N分别为AB与AD的中点，
∴MN为△ABD的中位线。

小前提
∴MN∥BD。

结论
又平面外一条直线与平面内一条直线平行，则这条直线与这个平面平行，大前提
∵MN⊄平面BCD，BD⊂平面BCD，MN∥BD，小前提
∴MN∥平面BCD. 结论
直接证明
式。

如果从解题的切入点的角度细分，直接证明方法可具体分为：比较法、代换法、放缩法、判别式法、构造函数法等，应用综合法证明问题时,必须首先想到从哪里开始起步,分析法就可以帮助我们克服这种困难，在实际证明问题时，应当把分析法和综合法结合起来使用。

设f（x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，若函数f(x＋1)与f(x)的图象关于y轴对称。

求证：f错误!为偶函数.
【精彩点拨】解答本题可先分析f错误!为偶函数的条件，再利用已知推出满足的条件或寻找结论成立的条件.
【规范解答】要证f错误!为偶函数，
只需证f错误!的对称轴为x＝0，
只需证－错误!－错误!＝0，
只需证a＝－b。

因为函数f(x＋1）与f(x）的图象关于y轴对称，
即x＝－b
2a
－1与x＝－错误!关于y轴对称，
即－错误!－1－错误!＝0,
整理得－错误!＝1，
即a＝－b成立，
故原命题得证.
［再练一题］
4。

当a≥2时，求证：a＋1－a<错误!－错误!。

【证明】要证错误!－错误!<错误!－错误!，
只需证a＋1＋错误!〈错误!＋错误!，
只需证(错误!＋错误!)2〈(错误!＋错误!)2,
只需证a＋1＋a－2＋2（a＋1（a－2）)<a＋a－1＋2错误!，
只需证（a＋1(a－2））<a（a－1）,
只需证(a＋1)(a－2）〈a(a－1)，
即证－2〈0,而－2〈0显然成立，
所以错误!－错误!〈错误!－错误!成立.
“正难则反"思想
证，反证法关键是在正确的推理下得出矛盾，矛盾可以是与已知条件矛盾，与假设矛盾，与定义、公理、定理矛盾，与事实矛盾等等。

求证：若两条平行直线a，b中的一条与平面α相交，则另一条也与平面α相交。

【精彩点拨】直接证明直线与平面相交比较困难,故考虑用反证法.
【规范解答】不妨设直线a与平面α相交，假设直线b不与平面α相交，则b⊂α或b∥平面α。

①若b⊂α，由a∥b，a⊄α,得a∥α,这与“a与平面α相交”矛盾.
②若b∥α，则平面α内有直线b′，使b′∥b。

而a∥b，故a∥b′，
因为a⊄α，所以a∥α，这与“a与平面α相交”矛盾.
综上所述，假设不成立，则直线b与平面α只能相交.
[再练一题］
5.(2016·南阳高二检测）已知a，b，c，d∈R，且a＋b＝c＋d＝1，ac＋bd>1，求证：a,b，c,d中至少有一个是负数。

【证明】假设a,b,c，d都是非负数，
因为a＋b＝c＋d＝1，
所以（a＋b)（c＋d）＝1。

又（a＋b)（c＋d）＝ac＋bd＋ad＋bc≥ac＋bd，
所以ac＋bd≤1，
这与已知ac＋bd〉1矛盾，
所以a,b,c，d中至少有一个是负数。

1。

(2016·北京高考）袋中装有偶数个球,其中红球、黑球各占一半。

甲、乙、丙是三个空盒.每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒,如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒.重复上述过程,直到袋中所有球都被放入盒中，则( ）
A.乙盒中黑球不多于丙盒中黑球
B。

乙盒中红球与丙盒中黑球一样多
C.乙盒中红球不多于丙盒中红球
D。

乙盒中黑球与丙盒中红球一样多
【解析】取两个球往盒子中放有4种情况：
①红＋红，则乙盒中红球数加1;
②黑＋黑，则丙盒中黑球数加1;
③红＋黑(红球放入甲盒中)，则乙盒中黑球数加1；
④黑＋红（黑球放入甲盒中），则丙盒中红球数加1.因为红球和黑球个数一样多,所以①和
②的情况一样多，③和④的情况完全随机.
③和④对B选项中的乙盒中的红球数与丙盒中的黑球数没有任何影响。

①和②出现的次数是一样的,所以对B选项中的乙盒中的红球数与丙盒中的黑球数的影响次数一样.
综上，选B.
【答案】B
2。

(2015·陕西高考)观察下列等式:
1－1
2
＝错误!，
1－错误!＋错误!－错误!＝错误!＋错误!，
1－错误!＋错误!－错误!＋错误!－错误!＝错误!＋错误!＋错误!，
…，
据此规律，第n个等式可为____________________________________.
【解析】等式的左边的通项为错误!－错误!，前n项和为1－错误!＋错误!－错误!＋…＋错误!－错误!；右边的每个式子的第一项为错误!,共有n项,故为错误!＋错误!＋…＋错误!。

【答案】1－1
2
＋错误!－错误!＋…＋错误!－错误!＝错误!＋错误!＋…＋错误!
3。

（2016·全国卷Ⅱ）有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3。

甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说:“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说:“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________.
【解析】根据丙的说法及乙看了丙的卡片后的说法进行推理.由丙说“我的卡片上的数字之和不是5”，可推知丙的卡片上的数字是1和2或1和3。

又根据乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”可知,乙的卡片不含1，所以乙的卡片上的数字为2和3。

再根据甲的说法“我与乙的卡片上相同的数字不是2”可知,甲的卡片上的数字是1和3。

【答案】1和3
4.(2014·陕西高考)已知f(x）＝错误!,x≥0,若f1(x）＝f（x）,f n＋1(x)＝f（f n(x))，n ∈N＋,则f2 014（x)的表达式为________.
【解析】f1（x）＝
x
1＋x
,f2（x）＝错误!＝错误!，f3(x）＝错误!＝错误!，…，由数学归纳
法得f2 014(x)＝错误!.
【答案】f2 014(x）＝错误!
5。

（2016·山东高考)观察下列等式：
错误!错误!＋错误!错误!＝错误!×1×2；
错误!错误!＋错误!错误!＋错误!错误!＋错误!错误!＝错误!×2×3；
错误!错误!＋错误!错误!＋错误!错误!＋…＋错误!错误!＝错误!×3×4；
错误!错误!＋错误!错误!＋错误!错误!＋…＋错误!错误!＝错误!×4×5；
……
照此规律,
错误!错误!＋错误!错误!＋错误!错误!＋…＋错误!错误!＝________。

【解析】通过观察已给出等式的特点，可知等式右边的错误!是个固定数，错误!后面第一个数是等式左边最后一个数括号内角度值分子中π的系数的一半,错误!后面第二个数是第一个数的下一个自然数，所以，所求结果为错误!×n×（n＋1)，即错误!n(n＋1）.
【答案】错误!n(n＋1)
章末综合测评（二) 推理与证明
(时间120分钟，满分150分）
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)
1.数列2,5，11,20，x，47，…中的x等于（)
A。

28 B。

32
C.33 D。

27
【解析】观察知数列｛a n}满足：a1＝2,a n＋1－a n＝3n，故x＝20＋3×4＝32。

【答案】B
2。

用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是（)
A。

方程x3＋ax＋b＝0没有实根
B.方程x3＋ax＋b＝0至多有一个实根
C.方程x3＋ax＋b＝0至多有两个实根
D.方程x3＋ax＋b＝0恰好有两个实根
【解析】方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根的反面是方程x3＋ax＋b＝0没有实根，故应选A.
【答案】A
3.下列推理过程是类比推理的是( )
A。

人们通过大量试验得出掷硬币出现正面的概率为错误!
B。

科学家通过研究老鹰的眼睛发明了电子鹰眼
C.通过检测溶液的pH值得出溶液的酸碱性
D.数学中由周期函数的定义判断某函数是否为周期函数
【解析】A为归纳推理,C，D均为演绎推理，B为类比推理。

【答案】B
4。

下面几种推理是合情推理的是（)
①由圆的性质类比出球的有关性质；
②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形内角和是180°归纳出所有三角形的内角和都是180°；
③由f（x)＝sin x，满足f(－x）＝－f（x),x∈R，推出f(x）＝sin x是奇函数;
④三角形内角和是180°，四边形内角和是360°,五边形内角和是540°，由此得凸多边形内角和是（n－2）·180°.
A。

①② B.①③④
C。

①②④D。

②④
【解析】合情推理分为类比推理和归纳推理，①是类比推理，②④是归纳推理，③是演绎推理。

【答案】C
5。

设a＝21.5＋22。

5,b＝7，则a，b的大小关系是（）
A.a>b B。

a＝b
C.a<b D。

a〉2(b＋1）
【解析】因为a＝21.5＋22.5>2错误!＝8>7，故a>b.
【答案】A
6.将平面向量的数量运算与实数的乘法运算相类比，易得到下列结论：①a·b＝b·a；②（a·b)·c＝a·(b·c)；③a·(b＋c）＝a·b＋a·c；④|a·b｜＝｜a｜｜b|；⑤由a·b＝a·c(a≠0)，可得b＝c。

以上通过类比得到的结论中，正确的个数是( ）
A.2个
B.3个
C.4个D。

5个
【解析】①③正确；②④⑤错误。

【答案】A
7.证明命题:“f(x）＝e x＋错误!在(0，＋∞）上是增函数”。

现给出的证法如下:因为f （x)＝e x＋错误!，所以f′（x)＝e x－错误!.因为x〉0，所以e x〉1,0〈错误!〈1。

所以e x－错误!>0，即f′(x）>0。

所以f(x）在(0，＋∞）上是增函数，使用的证明方法是（)
【导学号:37820030】A。

综合法 B.分析法
C。

反证法D。

以上都不是
【解析】从已知条件出发利用已知的定理证得结论，是综合法。

【答案】A
8.已知c〉1，a＝错误!－错误!，b＝错误!－错误!，则正确的结论是( ）
A。

a>b B.a〈b
C。

a＝b D。

a，b大小不定
【解析】要比较a与b的大小，由于c〉1，所以a>0，b>0，故只需比较错误!与错误!的大小即可,
而错误!＝错误!＝错误!＋错误!，
错误!＝错误!＝错误!＋错误!，
显然错误!〉错误!，从而必有a<b，故选B.
【答案】B
9。

设n为正整数，f(n）＝1＋错误!＋错误!＋…＋错误!，经计算得f（2）＝错误!，f(4）>2，f（8)>错误!,f（16)〉3，f(32)>错误!，观察上述结果，可推测出一般结论（)
A.f(2n)>2n＋1
2
B.f（n2）≥错误!
C。

f（2n)≥错误! D.以上都不对
【解析】f(2)＝错误!，f（4）＝f（22)>错误!，f(8）＝f（23)〉错误!，f(16）＝f(24）>错误!，f（32）＝f(25)>错误!.
由此可推知f（2n）≥错误!。

故选C.
【答案】C
10。

定义A*B，B*C,C*D，D*A的运算分别对应下面图1中的（1)（2）(3）(4）,则图中a，b对应的运算是（)
图1
A。

B＊D，A＊D B。

B＊D,A＊C
C。

B*C，A＊D D.C＊D，A＊D
【解析】根据(1)(2）（3）(4)可知A对应横线，B对应矩形，C对应竖线,D对应椭圆。

由此可知选B。

【答案】B
11。

观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3,a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10＝（)
A。

28 B.76
C.123 D。

199
【解析】从给出的式子特点观察可推知，等式右端的值，从第三项开始，后一个式子的右端值等于它前面两个式子右端值的和，照此规律,则a10＋b10＝123。

【答案】C
12.在等差数列{a n}中,若a n>0,公差d〉0,则有a4·a6>a3·a7，类比上述性质，在等比数列｛b n}中，若b n>0，公比q>1，则b4，b5，b7，b8的一个不等关系是( ）
A。

b4＋b8>b5＋b7B。

b4＋b8<b5＋b7
C.b4＋b7>b5＋b8D。

b4＋b7〈b5＋b8
【解析】在等差数列｛a n}中，由于4＋6＝3＋7时，有a4·a6>a3·a7，所以在等比数列｛b n｝中，由于4＋8＝5＋7,所以应有b4＋b8>b5＋b7或b4＋b8<b5＋b7。

因为b4＝b1q3，b5＝b1q4，b7＝b1q6,b8＝b1q7，
所以(b4＋b8)－(b5＋b7）＝(b1q3＋b1q7）－（b1q4＋b1q6)
＝b1q6·（q－1)－b1q3(q－1）＝(b1q6－b1q3)（q－1）
＝b1q3(q3－1）(q－1）。

因为q〉1，b n〉0，所以b4＋b8>b5＋b7。

【答案】A
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分,共20分.将答案填在题中的横线上.）
13.已知x，y∈R,且x＋y>2，则x,y中至少有一个大于1,在用反证法证明时假设应为________。

【解析】“至少有一个”的否定为“一个也没有”,故假设应为“x，y均不大于1”(或x≤1且y≤1）.
【答案】x,y均不大于1（或x≤1且y≤1）
14.如图2，第n个图形是由正n＋2边形“扩展”而来（n＝1,2，3，…)，则第n－2(n>2）
个图形中共有________个顶点.
【导学号：37820031】
图2
【解析】设第n个图形中有a n个顶点，
则a1＝3＋3×3,a2＝4＋4×4，…，
a n＝(n＋2)＋（n＋2)·(n＋2），a n
＝n2＋n。

－2
【答案】n2＋n
15.设a>0,b〉0，则下面两式的大小关系为lg(1＋ab）________错误![lg（1＋a)＋lg(1＋b）］.
【解析】因为(1＋错误!)2－（1＋a)(1＋b)＝1＋2错误!＋ab－1－a－b－ab
＝2错误!－（a＋b）＝－（错误!－错误!)2≤0，
所以(1＋ab)2≤（1＋a）(1＋b），
所以lg（1＋错误!）≤错误![lg（1＋a）＋lg（1＋b)］。

【答案】≤
16。

(2016·杭州高二检测)对于命题“如果O是线段AB上一点,则｜错误!｜·错误!＋|错误!｜·错误!＝0”将它类比到平面的情形是：若O是△ABC内一点，有S△OBC·错误!＋S△OCA·错误!＋S△OBA·错误!＝0,将它类比到空间的情形应为：若O是四面体ABCD内一点,则有_____________________________________________.
【解析】根据类比的特点和规律，所得结论形式上一致，又线段类比平面，平面类比到空间，又线段长类比为三角形面积，再类比成四面体的体积,故可以类比为V O­BCD·错误!＋V O
·错误!＋V O。

ABD·错误!＋V O。

ABC·错误!＝0.
.ACD
【答案】V O。

BCD·错误!＋V O­ACD·错误!＋V O.ABD·错误!＋V O.ABC·错误!＝0
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）
17。

（本小题满分10分）已知a，b，c成等差数列，求证：ab＋ac,b2＋ac,ac＋bc也成等差数列。

【证明】因为a，b，c成等差数列,所以2b＝a＋c，所以（ab＋ac)＋(ac＋bc)＝b（a
＋c)＋2ac＝2（b2＋ac)。

所以ab＋ac,b2＋ac，ac＋bc也成等差数列。

18.（本小题满分12分)在平面几何中，对于Rt△ABC，∠C＝90°，设AB＝c,AC＝b，BC ＝a，则
(1）a2＋b2＝c2;
（2)cos2A＋cos2B＝1;
（3)Rt△ABC的外接圆半径r＝错误!。

把上面的结论类比到空间写出类似的结论，无需证明.
【解】在空间选取三个面两两垂直的四面体作为直角三角形的类比对象.
(1）设三个两两垂直的侧面的面积分别为S1，S2，S3，底面积为S，则S错误!＋S错误!＋S错误!＝S2.
（2）设三个两两垂直的侧面与底面所成的角分别为α，β，γ，则cos2α＋cos2β＋cos2γ＝1.
(3)设三个两两垂直的侧面形成的侧棱长分别为a，b，c，则这个四面体的外接球半径R＝错误!.
19。

(本小题满分12分）已知△ABC的三条边分别为a,b,c，且a>b，求证:错误!<错误!。

【证明】依题意a>0,b>0，
所以1＋错误!〉0，1＋a＋b〉0。

所以要证错误!〈错误!，
只需证错误!(1＋a＋b)〈(1＋错误!)(a＋b），
只需证ab〈a＋b，
因为a>b，所以错误!<2错误!<a＋b，
所以错误!<错误!。

20。

（本小题满分12分)（2016·大同高二检测）在数列｛a n｝中，a1＝1，a n＋1＝错误!，n ∈N*，求a2,a3,a4，并猜想数列的通项公式,并给出证明。

【解】数列｛a n}中，a1＝1，a2＝错误!＝错误!，a3＝错误!＝错误!＝错误!，a4＝错误!＝错误!，…，
所以猜想{a n｝的通项公式a n＝
2
n＋1
(n∈N*）.
此猜想正确.证明如下：
因为a1＝1，a n＋1＝错误!,
所以
1
a n
＋1
＝错误!＝错误!＋错误!，
即
1
a n
＋1
－错误!＝错误!，
所以数列错误!是以错误!＝1为首项,
公差为错误!的等差数列,
所以错误!＝1＋(n－1）错误!＝错误!＋错误!，
即通项公式a n＝错误!（n∈N＊）。

21.(本小题满分12分）已知函数f（x)＝x3－x2，x∈R.
(1)若正数m，n满足m·n〉1,证明:f(m),f(n)至少有一个不小于零；
(2）若a，b为不相等的正实数且满足f(a)＝f(b)，求证：a＋b〈错误!.
【证明】(1)假设f（m）〈0，f（n)〈0，
即m3－m2<0，n3－n2<0，
∵m>0，n>0，
∴m－1<0，n－1<0,
∴0<m<1，0〈n<1，
∴mn<1，这与m·n〉1矛盾，
∴假设不成立，即f（m)，f（n)至少有一个不小于零。

（2）证明：由f(a）＝f（b），得a3－a2＝b3－b2,
∴a3－b3＝a2－b2，
∴(a－b)（a2＋ab＋b2)＝(a－b)(a＋b），
∵a≠b，
∴a2＋ab＋b2＝a＋b,
∴（a＋b）2－(a＋b）＝ab〈错误!错误!，
∴错误!(a＋b)2－(a＋b)〈0，
解得a＋b〈错误!.
22。

（本小题满分12分）设f（x)＝错误!，g（x)＝错误!（其中a〉0，且a≠1）。

(1）5＝2＋3,请你推测g（5)能否用f（2），f（3）,g（2),g（3）来表示；(2）如果（1)中获得了一个结论,请你推测能否将其推广.
【解】(1)f（3）g(2）＋g（3）f(2)
＝a3＋a－3
2
·错误!＋错误!·错误!＝错误!，
又g（5）＝错误!，
∴g(5)＝f(3）g(2)＋g（3）f(2).
(2)由（1）知g（5）＝f(3)g（2）＋g(3）f（2）,即g（3＋2）＝f(3)g(2）＋g（3)f（2），
于是推测g（x＋y）＝f(x)g(y)＋g（x）f（y).
证明：∵f(x)＝错误!，
g(x)＝错误!，
g（x＋y)＝错误!，
g(y)＝错误!，f（y）＝错误!，
∴f（x）g（y)＋g（x)f（y)
＝错误!·错误!＋错误!·错误!
＝错误!＝g（x＋y)。