沪科版数学八年级下册课时练 第19章 四边形 19.3.1 第2课时 矩形的判定

沪科版数学八年级下册第19章四边形
第2课时矩形的判定
1．(2019·浙江宁波七中月考)在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，再补充一个条件使得四边形ABCD为矩形，这个条件可以是( C )
A．AC＝BD B．AB＝BC
C．AC与BD互相平分D．AC⊥BD
2．(2019·广西桂林期末)如图，在▱ABCD中，M为AD的中点，BM＝CM.
求证：(1)△ABM≌△DCM；
(2)四边形ABCD是矩形．
证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD.
∵M为AD的中点，∴AM＝DM.
又BM＝CM，∴△ABM≌△DCM(SSS)．
(2)∵△ABM≌△DCM，∴∠A＝∠D.
∵AB∥DC，∴∠A＋∠D＝180°.
∴∠A＝90°.∴平行四边形ABCD是矩形．
3．如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它成为矩形，需要添加的条件是( C )
A．AB＝CD B．AD＝BC
C．AC＝BD D．AB＝BC
4．用一把刻度尺来判定一个零件是矩形的方法是先测量两组对边是否相等，然后测量两条
对角线是否相等，这样做的依据是__对角线相等的平行四边形是矩形__．
5．如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC，对角线AC，BD相交于点O，且OA＝OD.求证：四边形ABCD是矩形．
证明：∵AB＝CD，AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
∴AC＝2AO，BD＝2OD.
∵OA＝OD，∴AC＝BD.∴四边形ABCD是矩形．
6．(2019·安徽亳州涡阳期末)如图，将▱ABCD的边DA延长到点F，使DA＝AF，CF交边AB于点E.
(1)求证：BE＝AE；
(2)若2∠D＝∠BEF，求证：四边形ACBF是矩形．
证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD綊BC.
∵DA＝AF，∴AF綊BC.
∴四边形ACBF是平行四边形．∴BE＝AE.
(2)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC綊AB.∴∠D＝∠F AB.
∵2∠D＝∠BEF＝∠F AB＋∠AFC，
∴∠D＝∠AFC.∴DC＝CF.∴CF＝AB.
又四边形ACBF是平行四边形，
∴四边形ACBF是矩形．
7．在数学活动课上，老师要求同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是某合作学习小组的四位同学拟定的方案，其中正确的是( D )
A．测量对角线是否相互平分
B．测量两组对边是否分别相等
C．测量一组对角是否都为直角
D．测量四边形其中的三个角是否都为直角
8．如图，在四边形ABCD中，∠C＝∠D＝90°，若再添加一个条件，就能推出四边形ABCD是矩形，你所添加的条件是__∠A＝90°(或∠B＝90°或AD＝BC或AB∥CD)__(写出一种情况即可)．
9．如图，AB∥CD，点E，F分别在AB，CD上，连接EF.∠AEF，∠CFE的平分线交于点G，∠BEF，∠DFE的平分线交于点H.求证：四边形EGFH是矩形．
证明：∵EH平分∠BEF，GE平分∠AEF，
∴∠FEH＝1
2∠BEF，∠FEG＝
1
2∠AEF.
∵∠AEF＋∠BEF＝180°，
∴∠FEG＋∠FEH＝1
2×180°＝90°.
同理，∠GFH＝90°.
∵AB∥CD，∴∠AEF＋∠CFE＝180°.
∴∠GEF＋∠GFE＝1
2(∠AEF＋∠CFE)＝90°.
∴∠G＝90°.∴四边形EGFH是矩形．
易错点对矩形的判定方法理解错误导致出错
10．(2019·山东烟台莱州期中)如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是角平分线，F为BA延长线上的一点，AE平分∠F AC，DE∥BA交AE于点E.求证：四边形ADCE是矩形．
证明：∵AB＝AC，AD是角平分线，
∴∠B＝∠ACB，AD⊥BC，BD＝DC.
∵AE平分∠F AC，∴∠F AE＝∠EAC.
∵∠B＋∠ACB＝∠F AE＋∠EAC，
∴∠B＝∠ACB＝∠F AE＝∠EAC.∴AE∥CD.
又∵DE∥AB，∴四边形AEDB是平行四边形．
∴AE綊BD.∴AE綊DC.∴四边形ADCE是平行四边形．又∠ADC＝90°，∴四边形ADCE是矩形．
11．(2019·山东临沂中考)如图，在▱ABCD中，M，N是BD上两点，BM＝DN，连接AM，MC，CN，NA，添加一个条件，使四边形AMCN是矩形，这个条件是( A )
A．OM＝1
2AC B．MB＝MO
C．BD⊥AC D．∠AMB＝∠CND
12．(2019·安徽阜阳颍泉区期中)如图，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，依次连接各边中点得到中点四边形EFGH.若要使四边形EFGH是矩形，则原四边形ABCD必须满足条件( D )
A．AB＝AD B．AB⊥AD
C．AC＝BD D．AC⊥BD
13．(2019·山东泰安岱岳区期中)如图，在矩形ABCD中，BC＝20 cm，点P和点Q分别从点B和点D出发，按逆时针方向沿矩形ABCD的边运动，点P和点Q的速度分别为3 cm/s和1 cm/s，则最快__5__s后，四边形ABPQ成为矩形．
14．(2019·贵州安顺中考)如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，且BA＝3，AC＝4，点D是斜边BC上的一个动点，过点D分别作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，连接MN，则线
段MN的最小值为12 5.
15．(2019·北京海淀区期末)如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点B作BE⊥CD于点E，延长CD到点F，使DF＝CE，连接AF.
(1)求证：四边形ABEF是矩形；
(2)连接OF，若AB＝6，DE＝2，∠ADF＝45°，求OF的长度．
解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB綊DC.∵DF＝EC，∴FE＝DC.∴AB綊FE.∴四边形ABEF是平行四边形．∵BE⊥EF，∴四边形ABEF是矩形．
(2)由(1)知四边形ABEF是矩形，
∴EF＝AB＝6，∠AFD＝90°.
∵DE＝2，∴DF＝CE＝4.∴CF＝EF＋EC＝6＋4＝10.
在Rt△ADF中，∠ADF＝45°，∴AF＝DF＝4，
由勾股定理，得AC＝AF2＋CF2＝42＋102＝229.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC.∴OF＝1
2AC＝29.
16．(2019·山东青岛中考)如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别
为OB ，OD 的中点，延长AE 至点G ，使EG ＝AE ，连接CG . (1)求证：△ABE ≌△CDF ；
(2)当AB 与AC 满足什么数量关系时，四边形EGCF 是矩形？请说明理由．
解：(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB 綊CD ，OB ＝OD ，OA ＝OC ，∴∠ABE ＝∠CDF . ∵点E ，F 分别为OB ，OD 的中点， ∴BE ＝12OB ，DF ＝1
2OD ，∴BE ＝DF . ∴△ABE ≌△CDF (SAS )．
(2)当AC ＝2AB 时，四边形EGCF 是矩形．理由如下： ∵AC ＝2OA ，AC ＝2AB ，∴AB ＝OA .
∵E 是OB 的中点，∴AG ⊥OB .∴∠OEG ＝90°. 同理可得CF ⊥OD ，∴EG ∥CF .由(1)知AE ＝CF ， 又EG ＝AE ，∴EG ＝CF . ∴四边形EGCF 是平行四边形． ∵∠OEG ＝90°，∴四边形EGCF 是矩形.。