同心县同心中学2018-2019学年高三上学期第三次月考试卷数学含答案

同心县同心中学2018-2019学年高三上学期第三次月考试卷数学含答案 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1． 已知数列{}n a 是各项为正数的等比数列，点22(2,log )M a 、25(5,log )N a 都在直线1y x =-上，则数列
{}n a 的前n 项和为（ ）
A ．22n
- B ．1
2
2n +- C ．21n - D ．121n +-
2． 已知集合A={x|x ＜2}，B={y|y=5x }，则A ∩B=（ ）
A ．{x|x ＜2}
B ．{x|x ＞2}
C ．{x|o ≤x ＜2}
D ．{x|0＜x ＜2}
3． 四面体ABCD 中,截面 PQMN 是正方形， 则在下列结论中，下列说法错误的是（ ）
A ．AC BD ⊥
B ．A
C B
D =
C.AC PQMN D ．异面直线PM 与BD 所成的角为45
4． 某校为了了解1500名学生对学校食堂的意见，从中抽取1个容量为50的样本，采用系统抽样法，则分段间隔为（ ）1111]
A ．10
B ．51
C ．20
D ．30 5． 已知双曲线和离心率为4
sin
π
的椭圆有相同的焦点21F F 、，P 是两曲线的一个公共点，若 2
1
cos 21=
∠PF F ，则双曲线的离心率等于（ ） A ． B ．25 C ．26 D ．2
7
6． 已知变量与正相关，且由观测数据算得样本平均数，，则由该观测的数据算得的线性回归方程可能是( ) A
B
C D
7． 如图，1111D C B A ABCD -为正方体，下面结论：① //BD 平面11D CB ；② BD AC ⊥1；③ ⊥1AC 平
面11D CB .其中正确结论的个数是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
8． 棱台的两底面面积为1S 、2S ，中截面（过各棱中点的面积）面积为0S ，那么（ ）
A ．=
B ．0S =
C ．0122S S S =+
D ．20122S S S =
9． 设集合{}1234U =，，，，{}
2540A x x x =∈-+<N ，则U C A 等于（ ）
A ．{}12，
B ．{}14，
C ．{}24，
D ．{}134，， 10．设集合A ＝{x |x ＝2n －1，n ∈Z }，B ＝{x |（x ＋2）（x －3）＜0}，则A ∩B ＝（ ） A ．{－1，0，1，2} B ．{－1，1} C ．{1}
D ．{1，3}
11．已知等差数列{}n a 中，7916a a +=，41a =，则12a 的值是（ ）
A ．15
B ．30
C ．31
D ．64
12．已知函数()21
11
x f x x ++=+，则曲线()y f x =在点()()11f ，处切线的斜率为（ ）
A ．1
B ．1-
C ．2
D ．2-
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在横线上）
13．命题“若1x ≥，则2421x x -+≥-”的否命题为
．
14．函数()x f x xe =在点()()
1,1f 处的切线的斜率是 .
15．设函数3
2
()(1)f x x a x ax =+++有两个不同的极值点1x ，2x ，且对不等式12()()0f x f x +≤ 恒成立，则实数的取值范围是 ．
16．已知向量,满足42=，2||=，4)3()(=-⋅+，则与的夹角为 .
【命题意图】本题考查向量的数量积、模及夹角知识，突出对向量的基础运算及化归能力的考查，属于容易题.
三、解答题（本大共6小题，共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

）
17．（本小题满分12分）如图，四棱柱1111ABCD A B C D －中，侧棱1A A ^底面ABCD ，//AB DC ， AB AD ^，1AD CD ＝＝，12AA AB ＝＝，E 为棱1AA 的中点.
（Ⅰ）证明：11B C ^面1CEC ；
（II ）设点M 在线段1C E 上，且直线AM 与平面11ADD A ，求线段AM 的长.
1
1
1
18．已知函数f （x ）=lnx 的反函数为g （x ）．
（Ⅰ）若直线l ：y=k 1x 是函数y=f （﹣x ）的图象的切线，直线m ：
y=k 2x
是函数y=g （
x ）图象的切线，求证：l ⊥m ；
（Ⅱ）设a ，b ∈R ，且a ≠b ，P=g （），Q=，
R=，试比较P ，Q ，R 的
大小，并说明理由．
19．（1）求z=2x+y 的最大值，使式中的x 、y 满足约束条件
（2）求z=2x+y 的最大值，使式中的x 、y 满足约束条件+=1．
20．（本题满分12分）为了了解某地区心肺疾病是否与性别有关，在某医院随机地对入院的50人进行了问 卷调查，得到了如下的22⨯
（1（2）在上述抽取的6人中选2人，求恰有一名女性的概率.
（3）为了研究心肺疾病是否与性别有关，请计算出统计量2
K ，判断心肺疾病与性别是否有关？
（参考公式：)
)()()(()(2
d b c a d c b a bc ad n K ++++-=，其中d c b a n +++=）
21．如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 是正方形，PA ⊥底面ABCD ，且PA=AD ，点F 是棱PD 的中点，点E 为CD 的中点． （1）证明：EF ∥平面PAC ； （2）证明：AF ⊥EF ．
22．（本小题满分10分）
已知曲线C 的极坐标方程为2sin cos 10ρθρθ+=，将曲线1cos :sin x C y θ
θ=⎧⎨
=⎩
，（α为参数），经过伸缩变
换32x x
y y '=⎧⎨'=⎩
后得到曲线2C ．
（1）求曲线2C 的参数方程；
（2）若点M 的在曲线2C 上运动，试求出M 到曲线C 的距离的最小值．
同心县同心中学2018-2019学年高三上学期第三次月考试卷数学含答案（参考答案） 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1． 【答案】C
【解析】解析：本题考查等比数列的通项公式与前n 项和公式．22log 1a =，25log 4a =，∴22a =,516a =,∴11a =,2q =，数列{}n a 的前n 项和为21n
-，选C ．
2． 【答案】D
【解析】解：由B 中y=5x
＞0，得到B={y|y ＞0}，
∵A={x|x ＜2}， ∴A ∩B={x|0＜x ＜2}， 故选：D ．
【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．
3． 【答案】B 【解析】
试题分析：因为截面PQMN 是正方形，所以//,//PQ MN QM PN ，则//PQ 平面,//ACD QM 平面BDA ，所以//,//PQ AC QM BD ,由PQ QM ⊥可得AC BD ⊥，所以A 正确；由于//PQ AC 可得//AC 截面
PQMN ，所以C 正确；因为PN PQ ⊥，所以AC BD ⊥，由//BD PN ，所以MPN ∠是异面直线PM 与BD
所成的角，且为0
45，所以D 正确；由上面可知//,//BD PN PQ AC ，所以,PN AN MN DN BD AD AC AD
==，而,AN DN PN MN ≠=，所以BD AC ≠，所以B 是错误的，故选B. 1
考点：空间直线与平面的位置关系的判定与证明.
【方法点晴】本题主要考查了空间中直线与平面的位置关系的判定与证明，其中解答中涉及到直线与平面平行的判定定理和性质定理、正方形的性质、异面直线所成的角等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，属于中档试题，此类问题的解答中熟记点、线、面的位置关系的判定定理和性质定理是解答的关键. 4． 【答案】D 【解析】
试题分析：分段间隔为5030
1500
=，故选D. 考点：系统抽样 5． 【答案】C 【解析】
试题分析：设椭圆的长半轴长为1a ，双曲线的实半轴长为2a ，焦距为c 2，m PF =1，n PF =2，且不妨设
n m >，由12a n m =+，22a n m =-得21a a m +=，21a a n -=，又2
1
c os 21=
∠PF F ，∴由余弦定理可知：mn n m c -+=2224，2
221234a a c +=∴，432
221=+
∴c a c a ，设双曲线的离心率为，则432
2122=+e
）（，解得2
6
=e .故答案选C ．
考点：椭圆的简单性质．
【思路点晴】本题主要考查圆锥曲线的定义和离心率.根据椭圆和双曲线的定义，由P 为公共点，可把焦半径1PF 、2PF 的长度用椭圆的半长轴以及双曲线的半实轴21,a a 来表示，
接着用余弦定理表示2
1
cos 21=∠PF F ，成为一个关于21,a a 以及的齐次式，等式两边同时除以2
c ，即可求得离心率.圆锥曲线问题在选择填空中以考查定义和几何性质为主. 6． 【答案】A
【解析】解：∵变量x 与y 正相关， ∴可以排除C ，D ；
样本平均数=3，=3.5，代入A 符合，B 不符合， 故选：A 。

7． 【答案】D 【解析】
考
点：1.线线，线面，面面平行关系；2.线线，线面，面面垂直关系.
【方法点睛】本题考查了立体几何中的命题，属于中档题型，多项选择题是容易出错的一个题，当考察线面平行时，需证明平面外的线与平面内的线平行，则线面平行，一般可构造平行四边形，或是构造三角形的中位线，可证明线线平行，再或是证明面面平行，则线面平行，一般需在选取一点，使直线与直线外一点构成平面证明面面平行，要证明线线垂直，可转化为证明线面垂直，需做辅助线，转化为线面垂直. 8． 【答案】A
试题分析：不妨设棱台为三棱台，设棱台的高为2h 上部三棱锥的高为，根据相似比的性质可得：
220()2()a S a h
S a S a h
S '⎧=⎪+⎪⎨'⎪=+⎪⎩
，解得=A ． 考点：棱台的结构特征． 9． 【答案】B 【解析】
试题分析：由254014x x x -+<⇒<<，由于N x ∈，所以{}23A =，，于是{}14U C A =，． 考点：集合基本运算．
【易错点晴】集合的三要素是：确定性、互异性和无序性.研究一个集合，我们首先要看清楚它的研究对象，是实数还是点的坐标还是其它的一些元素，这是很关键的一步.第二步常常是解一元二次不等式，我们首先用十字相乘法分解因式，求得不等式的解集.在解分式不等式的过程中，要注意分母不能为零.元素与集合之间是属于和不属于的关系，集合与集合间有包含关系. 10．【答案】B
【解析】解析：选B.∵集合A 的元素由奇数组成， B ＝{x |－2＜x ＜3}， ∴A ∩B ＝{－1，1}，故选B. 11．【答案】A 【解析】
12．【答案】A 【解析】
试题分析：由已知得()2112x f x x x -=
=-，则()21
'f x x
=，所以()'11f =． 考点：1、复合函数；2、导数的几何意义. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在横线上）
13．【答案】若1x <，则2421x x -+<-
试题分析：若1x <，则2421x x -+<-，否命题要求条件和结论都否定． 考点：否命题. 14．【答案】2e 【解析】 试题分析：
()(),'x x x f x xe f x e xe =∴=+，则()'12f e =，故答案为2e .
考点：利用导数求曲线上某点切线斜率. 15．【答案】1(,1],22⎡
⎤-∞-⎢⎥⎣⎦
【解析】
试题分析：因为12()()0f x f x +≤,故得不等式()()
()3322
12121210x x a x x a x x ++++++≤,即
()()
()()()2
2
1212121212123120x x x x x x a x x x x a x x ⎡⎤⎡⎤++-+++-++≤⎣⎦⎣⎦
,由于
()()2'321f x x a x a =+++,令()'0f x =得方程()23210x a x a +++=,因()2410a a ∆=-+> , 故
()12122133x x a a x x ⎧
+=-+⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩
，代入前面不等式,并化简得()1a +()2
2520a a -+≥,解不等式得1a ≤-或122a ≤≤，因此, 当1a ≤-或122a ≤≤时, 不等式()()120f x f x +≤成立,故答案为1(,1],22⎡⎤
-∞-⎢⎥⎣⎦
.
考点：1、利用导数研究函数的极值点；2、韦达定理及高次不等式的解法.
【思路点晴】本题主要考查利用导数研究函数的极值点、韦达定理及高次不等式的解法，属于难题.要解答本题首先利用求导法则求出函数()f x 的到函数，令()'0f x =考虑判别式大于零，根据韦达定理求出1212,x x x x +的值，代入不等式12()()0f x f x +≤，得到关于的高次不等式，再利用“穿针引线”即可求得实
数的取值范围.111] 16．【答案】3
2π 【
解
析
】
三、解答题（本大共6小题，共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

）
17．【答案】
【解析】【命题意图】本题考查直线和平面垂直的判定和性质、直线和平面所成的角、两点之间的距离等基础知识，意在考查空间想象能力和基本运算能力
18．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）∵函数f （x ）=lnx 的反函数为g
（x ）．
∴g （x ）=e x ．，f （﹣x ）
=ln （﹣x ），
则函数的导数g ′
（
x ）=e x
，f ′（x ）=，（x ＜0）， 设直线m 与g （x ）相切与点（x 1，
），
则切线斜率k 2==，则x 1=1，
k 2=e ，
设直线l 与f （x
）相切与点（x 2，ln （﹣x 2）），则切线斜率k 1=
=，则x 2=﹣e ，k
1=
﹣，
故k 2k
1=﹣×e=﹣1，则l ⊥m ．
（Ⅱ）不妨设
a ＞
b ，
∵P ﹣
R=g （
）﹣=﹣=﹣＜0，∴P ＜R ，
∵P ﹣Q=g （）﹣=﹣==，
令φ（x ）=2x ﹣e x +e ﹣x ，则φ′（x
）=2﹣e x
﹣e
﹣x ＜0，则φ（x ）在（0，+∞）上为减函数，
故φ（x ）＜φ（0）=0，
取x=，则a ﹣b ﹣+＜0，∴P ＜Q ，
⇔==1﹣
令t（x）=﹣1+，
则t′（x）=﹣=≥0，
则t（x）在（0，+∞）上单调递增，
故t（x）＞t（0）=0，
取x=a﹣b，则﹣1+＞0，
∴R＞Q，
综上，P＜Q＜R，
【点评】本题主要考查导数的几何意义的应用以及利用作差法比较大小，考查学生的运算和推理能力，综合性较强，难度较大．
19．【答案】
【解析】解：（1）由题意作出可行域如下，
，
结合图象可知，当过点A（2，﹣1）时有最大值，
故Z max=2×2﹣1=3；
（2）由题意作图象如下，
，
根据距离公式，原点O到直线2x+y﹣z=0的距离d=，
故当d有最大值时，|z|有最大值，即z有最值；
结合图象可知，当直线2x+y﹣z=0与椭圆+=1相切时最大，
联立方程化简可得，
116x2﹣100zx+25z2﹣400=0，
故△=10000z2﹣4×116×（25z2﹣400）=0，
故z2=116，
故z=2x+y的最大值为．
【点评】本题考查了线性规划的应用及圆锥曲线与直线的位置关系的应用．
20．【答案】
【解析】【命题意图】本题综合考查统计中的相关分析、概率中的古典概型，突出了统计和概率知识的交汇，对归纳、分析推理的能力有一定要求，属于中等难度.
21．【答案】
【解析】（1）证明：如图，
∵点E，F分别为CD，PD的中点，
∴EF∥PC．
∵PC⊂平面PAC，EF⊄平面PAC，
∴EF ∥平面PAC ．
（2）证明：∵PA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，
又ABCD 是矩形，∴CD ⊥AD ，
∵PA ∩AD=A ，∴CD ⊥平面PAD ．
∵AF ⊂平面PAD ，∴AF ⊥CD ．
∵PA=AD ，点F 是PD 的中点，∴AF ⊥PD ．
又CD ∩PD=D ，∴AF ⊥平面PDC ．
∵EF ⊂平面PDC ，
∴AF ⊥EF ．
【点评】本题考查了线面平行的判定，考查了由线面垂直得线线垂直，综合考查了学生的空间想象能力和思维能力，是中档题．
22．【答案】（1）3cos 2sin x y θθ=⎧⎨
=⎩
（为参数）；（2【解析】
试
题解析：
（1）将曲线1cos :sin x C y αα=⎧⎨=⎩
（α为参数），化为
221
x y
+=，由伸缩变换
3
2
x x
y y
'=
⎧
⎨'
=
⎩
化为
1
3
1
2
x x
y y
⎧'
=
⎪⎪
⎨
⎪'
=
⎪⎩
，
代入圆的方程
2
11
1
32
x y
⎛⎫⎛⎫
''
+=
⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
，得到
()()
22
2
:1
94
x y
C
''
+=，
可得参数方程为
3cos
2sin
x
y
α
α
=
⎧
⎨
=
⎩
；
考点：坐标系与参数方程．。