利用三角形的三边关系求中线或高线的取值范围

利用三角形的三边关系求中线或高线的取值范围
四川省江油市雁门初级中学（621718） 钟文华
邮箱地址：zwhua131@
三角形的三边关系为：两边之和大于第三边（或两边之差小于第三边）。

简单记为：两边之差（取绝对值）<第三边<两边之和。

除了可以运用它求第三边的取值范围，还可以有如下运用：
一 已知两边，求第三边上的中线取值范围
例 已知在三角形ABC 中，AB=10，BC=8，求第三边AC 边上的中线BD 的取值范围。

分析 通过旋转，可以将ΔCBD 绕点D 旋转
180°后，得到ΔAED ， 于是ED=BD ，AE=CB 。

从而在ΔBAE 中利用 三角形三边的关系就可以解决了；或者利用全等三角形判断。

解 将ΔCBD 绕点D 旋转180°后，得到ΔAED ，则ED=BD ，AE=CB ，在ΔBAE 中，∣AB -AE ∣<BE< AB + AE ，
即： 2<BE<18，
∴ 1< BD < 9。

一般地：三角形的两边分别为a 、b （a>b ），则第三边上的中线p 的取值范围是：21（a -b ）< p < 21（a+b ）。

二 已知一边和另一边上的中线，求第三边的取值范围
例 在三角形ABC 中，点D 是BC 边上的中点，AD=6，AB=7，求AC 的取值范围。

B A C
E D B
A C
D E
分析 将AB 、AC 、AD 三条线段（或部分或几倍）放在同一个三角形中，利用三角形的三边关系就可以求出AC 的取值范围。

解 将ΔADC 绕点D 旋转180°后，得到ΔEDB ，则ED=AD ，AC=BE ，在ΔBAE 中，∣AE -AB ∣<BE< AE + AB ，
即：12-7<BE<12+7
∴ 5< BE < 19
∴AC 的取值范围是：5< AC < 19。

三 已知两边上的高线，求第三边上的高线取值范围
例 已知三角形的两边上的高分别为4和6，求第三边上的高线的取值范围。

分析 利用面积关系S=21ah 1=21bh 2=2
1ch 3，将三条高的关系转化为三边的关系，即：a=12h S ；；b=22h S ；c=3
2h S 。

解 设两条高线4和6对应的两边分别为a 、b ，第三边为c ，第三边对应的高线为h 。

则：S=21 x 4a=21 x 6b=21 ch ，a=42S ，b=62S ，c=h
S 2； 由三角形三边的关系∣a -b ∣< c < a+b 知道： ∣42S -62S ∣< h S 2 <42S +6
2S 121< h 1 <12
5 5
12< h <12 一般地：已知三角形两边上的高h 1、h 2，则第三边上的高线h 取值范围是：h 1h 2 /∣h 1-h 2∣< h < h 1h 2/（h 1+h 2）。