2008级华东地区农林水院校《高等数学》统考试卷

π
2
≤x≤
π
2
) 与 x 轴围成。
1）求该平面图形的面积； 2）求该平面图形绕 x 轴旋转一周而成的旋转体的体积.
五、应用题(共 6 分)
问半径 r 和高 h 各为多 21． 要制造一个容积为 27π 立方分米的无盖圆柱形容器， 少分米时才能使用料最省？
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h→0
）
h
A. 4； B. − 4 ； C. − 2 ； 3．下列广义积分中发散的是（ ） A.
D.2
∫
∞ 1
1 dx ； B. x
∫
0
+∞ −∞
1 dx ；C. 2 x +1
∫
+∞ 0
xe − x dx ； D.
∫
）
+∞ 1
1 dx x2
4．交换积分 I = A. C.
∫
1 0
dx ∫
2 x − x2
f ( x, y )d y 的次序，则 I = （
∫
0 1
dy ∫
2 y − y2 0
f ( x, y )dx ； B.
∫
0
1 0
dy ∫
1 1− 1− y 2
f ( x, y )dx ； f ( x, y )dx
∫
0 1
dy ∫
1 1− 1− y
2
f ( x, y )dx ； D. ∫ dy ∫
1
+ C ，则 ∫ x f ( x)dx =
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三、计算题:(共 6 小题，每小题 6 分，共 36 分)
11．求 lim
∫
x2 0
t arctan tdt x5
，求 .
x →+∞
12．设 ⎨
⎧ x = ln(1 + t 2 ) ⎩ y = t − arctan t
dy d 2 y 和 . dx dx 2
7．函数 f ( x) = x3 − 2 x + 1 在 [ −1, 0] 上应用拉格朗日中值定理所求 ξ = 8．微分方程 y′′ − 3 y′ − 4 y = 0 的通解是 9．设 f ( x) = sin(2 − x 2 ) ， d(f ( x)) = 10．设
∫ f ( x)dx = e
2x
2 2
13．设 z = f ( x, y ) 由方程 x + y + z = 1 确定；求2Leabharlann ∂z . ∂x14．求
∫
π
0
1 + cos 2 x dx . x 2 + y 2 ，求 dz .
y dxdy ，其中 D 是由 y = x , y = x 2 所围成的平面区域.
15．设 z = ln 16．求
1
1− 2 y − y 2
5. 函数 y = A.
ln x 的单调增加区间为（ x
B.
） D.
(0,1)
(1,+∞)
C.
(0, e)
(e,+∞)
二、填空题:(共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分)
6．函数 f ( x ) = e x 的间断点是
1
，该点为函数 f ( x) 的第
类间断点. . . . .
∫∫ x
D
四、综合题(共 28 分)
⎧1 − cos x ,x >0 ⎪ 17． （6 分）设 f ( x) = ⎨ ，其中 g ( x) 为有界函数且在 x = 0 有定 x ⎪ x 2 g ( x), x ≤ 0 ⎩
义.1）证明 f ( x) 在 x = 0 处连续；2）讨论 f ( x) 在 x = 0 的可导性. 18． （6 分）求 a, b 的值，使（1，3）为曲线 y = ax + bx 的拐点.
2008 级华东地区农林水院校统考试卷 高等数学Ⅲ（A 卷）
考试形式: 闭卷笔试，2 小时 适用专业： 大农类 一、选择题： （共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分）
1．当 x → 0 时， x − sin x 是 x 的（
2
）
A.低阶无穷小；B.高阶无穷小；C.等价无穷小；D.同阶无穷小 2．设 f ( x) 在 x0 处可导，且 lim f ( x0 + h) − f ( x0 − h) = 4 ，则 f ′( x0 ) ＝（
3 2
19． （6 分）已知函数 f ( x) 在 [ 0,1] 上存在二阶导数，且 f (1) = 0 .令
F ( x ) = ( e x − 1) f ( x) .证明：
2
1）在 ( 0,1) 内至少存在一点 ξ ，使得 F ′ (ξ ) = 0 ； 2）在 ( 0,1) 内 F ′′( x) = 0 至少存在一个根. 20． （10 分）设平面图形由曲线 y = cos x ( −