长郡集团2018-2019学年度初二第一学期期中考试(数学及答案)

长郡教育集团初中课程中心2018－2019学年度初二第一学期期中考试
数 学
考试时间：2018年11月13日 8：00－10：00
注意事项：
1．答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号；
2．必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效； 3．答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示；
4．请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁； 5．答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸；
6．本学科试卷共27个小题，考试时量120分钟，满分120分． 一、选择题(共12小题，每小题3分，共36分) 1．下列手机软件图标中，是轴对称图形的是
2．下列计算正确的是
A ．a 4＋a 3＝a 7
B ．a 4·a 3＝a 12
C ．(a 4)3＝a 7
D ．a 4÷a 3＝a
3．整式x 2＋kx ＋25为某完全平方式展开后的结果，则k 的值为 A ．5 B ．－5 C ．±5 D ．±10
4．下列各式中不能用平方差公式计算的是 A ．(2x －y)(x ＋2y) B ．(－2x ＋y)(－2x －y) C ．(－x －2y)(x －2y) D ．(2x ＋y)(－2x ＋y)
5．当x 为任意有理数时，下列分式中一定有意义的是 A.1x 2 B.1x 2－1 C.1x 2＋1 D.1x ＋5
6．已知x m ＝2，x n ＝8，则x m ＋
n ＝ A ．4 B ．8 C ．16 D ．64
7．若点A(m ，n)和点B(5，－7)关于x 轴对称，则m ＋n 的值是 A ．2 B ．－2 C ．12 D ．－12
8．下列由左到右边的变形中，是因式分解的是 A ．(x ＋2)(x －2)＝x 2－4 B ．x 2－1＝x ⎝⎛⎭
⎫x －1x C ．x 2－4＋3x ＝(x ＋2)(x －2)＋3x D ．x 2－4＝(x ＋2)(x －2)
9．计算⎝⎛⎭⎫－1352 018×⎝⎛⎭⎫－582 018的结果为
A ．1
B ．－1
C ．0
D ．1 997
10．若等腰三角形的两条边长分别是3厘米和7厘米，则这个三角形的周长为 A ．13厘米 B ．17厘米
C ．13厘米或17厘米
D ．以上结论均不对
11．如图，下列条件不能推出△ABC 是等腰三角形的是 A ．∠B ＝∠C
B ．AD ⊥B
C ，∠BA
D ＝∠CAD C ．AD ⊥BC ，BD ＝CD
D ．AD ⊥BC ，∠BAD ＝∠ACD
12．在平面直角坐标系中，等腰△ABC 的顶点A 、B 的坐标分别为(0，0)、(2，2)，若顶点C 落在坐标轴上，则符合条件的点C 有______个．
A ．5
B ．6
C ．7
D ．8
二、填空题(共6小题，每小题3分，共18分)
13．分解因式：a 2－1
4
＝__________．
14．(－a －b)(a －b)＝__________
15．若x ＋2y －2＝0，则5x ·25y ＝__________．
16．如图，△ABC 中，AB ＝8，AC ＝6，BC ＝5，∠ABC 与∠ACB 的平分线相交于点O ，过O 点作DE ∥BC ，则△ADE 的周长为__________．
17．如图，等腰△ABC 底边BC 的长为4 cm ，面积是12 cm 2，腰AB 的垂直平分线EF 交AC 于点F ，若D 为BC 边上的中点，M 为线段EF 上一动点，则△BDM 的周长最小值为__________cm.
18．设S ＝(1＋2)(1＋22)(1＋24)(1＋28)(1＋216)，则S ＋1＝__________．
三、解答题(共66分)
19．(本题满分8分，每小题4分) 计算：
(1)(12a 3－6a 2＋3a)÷3a ； (2)(x －y)(x 2＋xy ＋y 2)．
20．(本题满分8分，每小题4分) 计算： (1)(ab 3)2×
⎝⎛⎭⎫－b a 23÷⎝⎛⎭
⎫－b a 4
； (2)(xy －x 2)÷
x 2－2xy ＋y 2xy ÷x 2
x －y
.
21.(本题满分8分，每小题4分) 计算：
(1)4x2－8x＋4；
(2)(x＋y)2－4y(x＋y)．
22．(本题满分6分，每小题3分) 已知：x＋y＝5，xy＝－3，求：
(1)x2＋y2的值；
(2)(1－x)(1－y)的值．
如图，方格子的边长为1，△ABC的顶点在格点上．
(1)画出△ABC关于直线l对称的△A1B1C1；
(2)求△ABC的面积．
如图，已知△ABC中，AB＝AC，∠C＝30°，AB⊥AD.
(1)求∠BDA的度数；
(2)若AD＝2，求BC的长．
25．(本题满分8分)
如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC至E，使CE＝CD.
(1)求证：DB＝DE；
(2)过点D作DF垂直BE，垂足为F，若CF＝3，求△ABC的周长．
如图，△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝120°，点D在AB边上运动(D不与A、B重合)，连结CD.作∠CDE＝30°，DE交AC于点E.
(1)当DE∥BC时，求证：△ACD是直角三角形；
(2)在点D的运动过程中，△ECD的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请求出∠AED 的度数；若不可以，请说明理由．
【知识生成】我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．例如图1可以得到(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，基于此，请解答下列问题：
(1)根据图2，写出一个代数恒等式：________________________________________________________________________
(2)利用(1)中得到的结论，解决下面的问题：若a＋b＋c＝10，ab＋ac＋bc＝35，则a2＋b2＋c2＝__________．
(3)小明同学用图3中x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张宽、长分别为a、b的长方形纸片拼出一个面积为(2a＋b)(a＋2b)长方形，则x＋y＋z＝__________．【知识迁移】
(4)事实上，通过计算几何图形的体积也可以表示一些代数恒等式，图4表示的是一个边长为x的正方体挖去一个小长方体后重新拼成一个新长方体，请你根据图4中图形的变化关系，写出一个代数恒等式：____________．
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2018－2019学年度初二第一学期期中考试
数学参考答案
1－5 DDDAC 6－10 CCDAB 11－12 DD 12．【解析】①若AC ＝AB ，则以点A 为圆心，AB 为半径画圆，与坐标轴有4个交点；
②若BC ＝BA ，则以点B 为圆心，BA 为半径画圆，与坐标轴有2个交点(A 点除外)； ③若CA ＝CB ，则点C 在AB 的垂直平分线上， ∵A(0，0)，B(2，2)，
∴AB 的垂直平分线与坐标轴有2个交点． 综上所述：符合条件的点C 的个数有8个． 故选D. 13.⎝⎛⎭⎫a ＋12⎝⎛⎭⎫a －12 14．b 2－a 2 15．25 16．14 17．8
【解析】连接AD ，
∵△ABC 是等腰三角形，点D 是BC 边的中点， ∴AD ⊥BC ，
∴S △ABC ＝12BC·AD ＝1
2×4×AD ＝12，解得AD ＝6 cm ，
∵EF 是线段AB 的垂直平分线，
∴点B 关于直线EF 的对称点为点A ， ∴AD 的长为BM ＋MD 的最小值，
∴△BDM 的周长最短＝(BM ＋MD)＋BD ＝AD ＋12BC ＝6＋1
2×4＝6＋2＝8 cm.
故答案为8.
18．232
【解析】S ＝(1＋2)(1＋22)(1＋24)(1＋28)(1＋216)
＝(2－1)×(2＋1)×(1＋22)×(1＋24)×(1＋28)×(1＋216) ＝(22－1)×(1＋22)×(1＋24)×(1＋28)×(1＋216) ＝232－1，
故S ＋1＝232. 故答案为：232. 19．【解析】(1)(12a 3－6a 2＋3a)÷3a ； ＝12a 3÷3a －6a 2÷3a ＋3a÷3a ＝4a 2－2a ＋1；(4分) (2)(x －y)(x 2＋xy ＋y 2)．
＝x 3＋x 2y ＋xy 2－x 2y －xy 2－y 3 ＝x 3－y 3.(8分)
20．【解析】(1)原式＝a 2b 6×
⎝⎛⎭⎫－b 3
a 6×a 4
b 4
＝－b 5.(4分)
(2)原式＝－x(x －y)·xy
（x －y ）2·x －y x 2＝－y.(8分)
21．【解析】(1)原式＝4(x 2－2x ＋1)＝4(x －1)2；(4分) (2)原式＝(x ＋y)(x ＋y －4y)＝(x ＋y)(x －3y)．(8分)
22．【解析】(1)∵x ＋y ＝5，xy ＝－3， ∴原式＝(x ＋y)2－2xy ＝25－2×(－3) ＝31；(3分)
(2)∵x ＋y ＝5，xy ＝－3， ∴原式＝1－y －x ＋xy ＝1－(x ＋y)＋xy ＝1－5＋(－3) ＝－7.(6分) 23．【解析】(1)如图所示：(3分)
(2)△ABC 的面积：
3×4－12×2×4－12×1×3－1
2×1×3＝12－3－4＝5.(6分)
24．【解析】(1)∵AB ＝AC ， ∴∠B ＝∠C ＝30°.
∵AD ⊥AB ，
∴∠BDA ＋∠B ＝90°. ∴∠BDA ＝60°.(3分)
(2)∵∠BDA ＝60°，∠C ＝30°，且∠BDA ＝∠C ＋∠DAC ，
∴∠DAC ＝60°－30°＝30°＝∠C.
∴AD ＝CD ＝2.
∵AB ⊥AD ，∠B ＝30°
∴BD ＝2AD ＝4.
∵BC ＝BD ＋CD ，
∴BC ＝2＋4＝6.(6分)
25．【解析】(1)证明：∵△ABC 是等边三角形，BD 是中线，
∴∠ABC ＝∠ACB ＝60°.
∴∠DBC ＝30°(等腰三角形三线合一)，
∵CE ＝CD ，
∴∠CDE ＝∠CED.
又∵∠BCD ＝∠CDE ＋∠CED ，
∴∠CDE ＝∠CED ＝12∠BCD ＝30°.
∴∠DBC ＝∠DEC.
∴DB ＝DE(等角对等边)．(4分)
(2)∵DF ⊥BE ，由(1)知，DB ＝DE ，
∴DF 垂直平分BE ，
∵∠CDE ＝∠CED ＝12∠BCD ＝30°，
∴∠CDF ＝30°，
∵CF ＝3，
∴DC ＝6，
∵AD ＝CD ，
∴AC ＝12，
∴△ABC 的周长＝3AC ＝36.(8分)
26．【解析】(1)∵△ABC 中，AC ＝BC ，
∴∠A ＝∠B ＝180°－∠ACB 2＝180°－120°2＝30°，
∵DE ∥BC ，
∴∠ADE ＝∠B ＝30°，
又∵∠CDE ＝30°，
∴∠ADC ＝∠ADE ＋∠CDE ＝30°＋30°＝60°，
∴∠ACD ＝180°－∠A －∠ADC ＝180°－30°－60°＝90°
，
∴△ACD 是直角三角形；(4分)
(2)△ECD 可以是等腰三角形．理由如下：
①当∠CDE ＝∠ECD 时，EC ＝DE ，
∴∠ECD ＝∠CDE ＝30°，
∵∠AED ＝∠ECD ＋∠CDE ，
∴∠AED ＝60°，
②当∠ECD ＝∠CED 时，CD ＝DE ，
∵∠ECD ＋∠CED ＋∠CDE ＝180°，
∴∠CED ＝180°－∠CDE 2＝180°－30°2＝75°，
∴∠AED ＝180°－∠CED ＝105°，
③当∠CED ＝∠CDE 时，EC ＝CD ，
∠ACD ＝180°－∠CED －∠CDE ＝180°－30°－30°＝120°，
∵∠ACB ＝120°，
∴此时，点D 与点B 重合，不合题意．
综上，△ECD 可以是等腰三角形，此时∠AED 的度数为60°或105°.(8分)
27．(1)(a ＋b ＋c)2＝a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2ac ＋2bc.
(2)30
(3)9
(4)x 3－x ＝(x ＋1)(x －1)x
【解析】(1)由图2得：正方形的面积＝(a ＋b ＋c)2；正方形的面积＝a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2ac ＋2bc ，
∴(a ＋b ＋c)2＝a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2ac ＋2bc ，(2分)
故答案为：(a ＋b ＋c)2＝a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2ac ＋2bc ；
(2)∵(a ＋b ＋c)2＝a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2ac ＋2bc ，
∵a ＋b ＋c ＝10，ab ＋ac ＋bc ＝35，
∴102＝a 2＋b 2＋c 2＋2×35，
∴a 2＋b 2＋c 2＝100－70＝30，
故答案为：30；(4分)
(3)由题意得：(2a ＋b)(a ＋2b)＝xa 2＋yb 2＋zab ，
∴2a 2＋5ab ＋2b 2＝xa 2＋yb 2＋zab ，
∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝2z ＝5
， ∴x ＋y ＋z ＝9，
故答案为：9；(6分)
(4)∵原几何体的体积＝x 3－1×1·x ＝x 3－x ，新几何体的体积＝(x ＋1)(x －1)x ， ∴x 3－x ＝(x ＋1)(x －1)x.
故答案为：x 3－x ＝(x ＋1)(x －1)x.(8分)。