人教版七年级下册_思想方法专题：相交线与平行线中的思想方法专题复习

思想方法专题：相交线与平行线中的思想方法——明确解题思想，体会便捷渠道
◆类型一方程思想
1．如图，直线AB，CD相交于点O，∠AOC＝60°，OE把∠BOD分成两部分，且∠BOE∶∠EOD＝1∶2，则∠AOE的度数为( )
A．180° B．160° C．140° D．120°
第1题图第2题图
2．(2017·无棣县期末)如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF 平分∠COB，∠AOD∶∠EOD＝4∶1，则∠AOF的度数为________．
3．如图，已知FC∥AB∥DE，∠α∶∠D∶∠B＝2∶3∶4.求∠α，∠D，∠B 的度数．
4．(2017·启东市期末)如图，AD∥BC，BE平分∠ABC交AD于点E，BD平分∠EBC.
(1)若∠DBC＝30°，求∠A的度数；
(2)若点F在线段AE上，且7∠DBC－2∠ABF＝180°，请问图中是否存在与∠DFB相等的角？若存在，请写出这个角，并说明理由；若不存在，请说明理由．
◆类型二分类讨论思想
5．若∠α与∠β的两边分别平行，∠α比∠β的3倍少36°，则∠α的度数是( )
A．18° B．126°
C．18°或126° D．以上都不对
6．(2017·玄武区期末)在直线MN上取一点P，过点P作射线PA、PB.若PA ⊥PB，当∠MPA＝40°，则∠NPB的度数是________________．
7．(2017·江干区一模)一副直角三角尺按如图①所示方式叠放，现将含45°角的三角尺ADE固定不动，将含30°角的三角尺ABC绕顶点A顺时针转动，使两块三角尺至少有一组边互相平行．如图②，当∠BAD＝15°时，BC∥DE，则∠BAD(0°＜∠BAD＜180°)其他所有可能符合条件的度数为
_____________________________________________________________________ ___．
8．如图，已知直线l1∥l2，直线l3交l1于C点，交l2于D点，P是线段CD上的一个动点．当P在直线CD上运动时，请你探究∠1，∠2，∠3之间的关系．
错误!类型三(转化思想)利用平移进行转化求图形的周长或面积
9．如图，直角三角形ABC的周长为100，在其内部有6个小直角三角形，则6个小直角三角形的周长之和为________．
第9题图
10．(2017·惠山区期中)如图，直径为2cm的圆O1平移3cm到圆O2的位置，则图中阴影部分的面积为________cm2.
第10题图
11．(2017·嘉祥县期末)如图，边长为8cm的正方形ABCD先向上平移4cm，再向右平移2cm，得到正方形A′B′C′D′，此时影部分的面积为________．
12．如图，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm，将三角形ABC沿AB方向向右平移得到三角形DEF.若AE＝8cm，DB＝2cm.
(1)求三角形ABC向右平移的距离AD的长；
(2)求四边形AEFC的周长．
◆类型四从特殊到一般的思想
13．(2017·蔡甸区月考)如图，三条直线两两相交，且不共点，则图中同旁内角有________对；如图②，四条直线两两相交，任三条直线不经过同一点则图中的同旁内角有________对．
14．(2017·楚雄州期末)如图，已知AB∥CD，试解决下列问题：
(1)∠1＋∠2＝________；
(2)∠1＋∠2＋∠3＝________；
(3)∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝________；
(4)试探究1＋∠2＋∠3＋∠4…＋∠n＝____________．
15．(2017·丛台区期末)如图，AB∥CD，∠ABE与∠CDE两个角的平分线相交于点F.
(1)如图①，若∠E＝80°，求∠BFD的度数；
(2)如图②，∠ABM＝1
3
∠ABF，∠CDM＝
1
3
∠CDF，写出∠M与∠E之间的数量关
系，并证明你的结论；
(3)若∠ABM＝错误!未定义书签。

∠ABF，∠CDM＝1
n
∠CDF，设∠E＝m°，直
接用含有n，m°的代数式表示∠M＝________．
参考答案与解析
1．B 2.120°
3．解：设∠α＝2x °，则∠D ＝3x °，∠B ＝4x °.∵FC ∥AB ∥DE ，∴∠2＋∠B ＝180°，∠1＋∠D ＝180°，∴∠2＝180°－∠B ＝180°－4x °，∠1＝180°－∠D ＝180°－3x °.又∵∠1＋∠2＋∠α＝180°，∴(180－3x )＋(180－4x )＋2x ＝180，解得x ＝36，∴∠α＝2x °＝72°，∠D ＝3x °＝108°，∠B ＝4x °＝144°.
4．解：(1)∵BD 平分∠EBC ，∠DBC ＝30°，∴∠EBC ＝2∠DBC ＝60°.∵BE 平分∠ABC ，∴∠ABC ＝2∠EBC ＝120°.∵AD ∥BC ，∴∠A ＋∠ABC ＝180°，∴∠A ＝60°.
(2)存在∠DFB ＝∠DBF .设∠DBC ＝x °，则∠EBC ＝2x °，∠ABC ＝2∠EBC ＝4x °.∵7∠DBC －2∠ABF ＝180°，∴7x °－2∠ABF ＝180°，∴∠ABF ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫72x －90°，∴∠CBF ＝∠ABC －∠ABF ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫12x ＋90°，∠DBF ＝∠CBF －∠DBC ＝
⎝ ⎛⎭⎪⎫90－12x °.∵AD ∥BC ，∴∠DFB ＋∠CBF ＝180°，∴∠DFB ＝⎝
⎛⎭⎪⎫90－12x °，∴∠DFB ＝∠DBF .
5．C 解析：∵∠α与∠β的两边分别平行，∴∠α与∠β相等或互补．设∠α＝x °，∵∠α比∠β的3倍少36°，∴若∠α与∠β相等，则x ＝3x －36，解得x ＝18.若∠α与∠β互补，则x ＝3(180－x )－36，解得x ＝126，∴∠α的度数是18°或126°.故选C.
6．50°或130° 解析：分两种情况：(1)如图①，∵PA ⊥PB ，∠MPA ＝40°，∴∠NPB ＝180°－90°－40°＝50°；(2)如图②，∵PA ⊥PB ，∠MPA ＝40°，∴∠MPB ＝50°，∴∠NPB ＝180°－50°＝130°.综上所述，∠NPB 的度数是50°或130°.
7．45°，60°，105°或135° 解析：分以下四种情况：(1)AC ∥DE ，如图①，此时点B 在AE 上，∴∠BAD ＝45°；(2)AB ∥DE ，如图②，∴∠EAB ＝∠E ＝90°，∴∠BAD ＝∠BAE ＋∠EAD ＝135°；(3)BC ∥AD ，如图③，∴∠BAD ＝∠B ＝60°；(4)BC ∥AE ，如图④，∴∠BAE ＝∠B ＝60°，∴∠BAD ＝∠BAE ＋∠EAD ＝105°.综上所述，∠BAD 其他所有可能符合条件的度数为45°，60°，105°，135°.
8．解：分以下三种情况：(1)当点P 在线段CD 上运动时，如图①.过点P 向左作PE ∥l .∵l 1∥l 2，∴PE ∥l 2.∴∠APE ＝∠1，∠BPE ＝∠3，∴∠2＝∠APE ＋∠BPE ＝∠1＋∠3.
(2)当点P 在l 1上方运动时，如图②，过点P 向左作PF ∥l 2.∵l 2∥l 1，∴
PF∥l1.∴∠FPB＝∠3，∠FPA＝∠1，∴∠2＝∠FPB－∠FPA＝∠3－∠1.
(3)当点P在l2下方运动时，如图③，过点P向左作PM∥l2.∵l1∥l2，∴PM∥l1，∴∠APM＝∠1，∠BPM＝∠3，∴∠2＝∠APM－∠BPM＝∠1－∠3.
9．100 10.6 11.24cm2
12．解：(1)∵三角形ABC沿AB方向向右平移得到三角形DEF，∴AD＝BE＝
CF，EF＝BC＝3cm.∵AE＝8cm，DB＝2cm，∴AD＝BE＝CF＝8－2
2
＝3(cm)．
(2)四边形AEFC的周长为AE＋EF＋CF＋AC＝8＋3＋3＋4＝18(cm)．
13．6 24
14．(1)180°(2)360°
(3)540°解析：过点E，F向右作EG，FH平行于AB.∵AB∥CD，∴AB∥EG ∥FH∥CD，∴∠1＋∠AEG＝180°，∠GEF＋∠EFH＝180°，∠HFC＋∠4＝180°，∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝540°.
(4)180°(n－1) 解析：易知有n个角，需作(n－2)条辅助线，运用(n－1)次两条直线平行，同旁内角互补．即可得到n个角的和是180°(n－1)．15．解：(1)如图，过点E向左作EG∥AB，过点F向右作FH∥AB.∵AB∥CD，∴EG∥AB∥FH∥CD，∴∠ABF＝∠BFH，∠CDF＝∠DFH，∠ABE＋∠BEG＝180°，∠GED＋∠CDE＝180°，∴∠ABE＋∠BEG＋∠GED＋∠CDE＝360°.∵∠BEG＋∠DEG＝∠BED＝80°，∴∠ABE＋∠CDE＝280°.∵∠ABE和∠CDE的平分线相交于
F，∴∠ABF＝1
2
∠ABE，∠CDF＝
1
2
∠CDE，∴∠ABF＋∠CDF＝
1
2
(∠ABE＋∠CDE)＝
140°，∴∠BFD＝∠BFH＋∠DFH＝∠ABF＋∠CDF＝140°.
(2)∵∠ABM＝1
3
∠ABF，∠CDM＝
1
3
∠CDF，∴∠ABF＝3∠ABM，∠CDF＝3∠CDM.
∵∠ABE与∠CDE两个角的平分线相交于点F，∴∠ABE＝6∠ABM，∠CDE＝6∠CDM，由(1)知∠ABE＋∠E＋∠CDE＝360°，∴6∠ABM＋6∠CDM＋∠E＝360°.过点M向右作MN∥AB，易证∠M＝∠ABM＋∠CDM，∴6∠M＋∠E＝360°.
(3)360°－m°
2n
解析：由(2)可得，2n∠ABM＋2n∠CDM＋∠E＝360°，∠M
＝∠ABM＋∠CDM，∴∠M＝360°－m°
2n
.故答案为
360°－m°
2n
.
【素材积累】
1、黄鹂方才唱罢，摘村庄的上空，摘树林子里，摘人家的土场上，一群花喜鹊便穿戴着黑白相间的朴素裙裾而闪亮登场，然后，便一天喜气的叽叽喳喳，叽叽喳喳叫起来。

2、摘湖的周围有些像薄荷的小草，浓郁时，竟发出泥土的气息！仔细看几朵小花衬着绿绿的小草显得格外美丽。

夏天，大大的荷叶保护着那一朵朵娇粉的荷花。

摘整个湖泊中格外显眼。

如果你用手希望对您有帮助，谢谢来捧一捧这里的水，那可真是凉爽它会让你瞬间感到非常凉爽、清新。