{高中试卷}高二数学第一学期期末试卷[仅供参考]

20XX年高中测试
高
中
试
题
试
卷
科目：
年级：
考点：
监考老师：
日期：
高二数学第一学期期末试卷
满分100分，考试时间90分钟
第Ι卷（选择题，共32分）
一、选择题：（本大题共8小题，每小题4分，共32分．在每题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．） (1)如果直线022=
++y ax 与直线023=--y x 平行，那么系数a 等于( )
3.2A -
2.3
B .3
C -.6
D -
(2)两名同学进行英语听力练习，甲能听懂的概率为0.8，乙能听懂的概率为0.5 ,则甲、乙二人恰有一人能听懂的概率为（ ）
A. 0.4
B. 0.9
C. 0.5
D.0.1
(3)已知x 、y 满足条件5003x y x y x -+≥⎧⎪
+≥⎨⎪≤⎩
，则y x z 42+=的最小值为（ ）
A. –6
B. 5
C.10
D.–10 （4）()5
21x -的展开式中第四项的系数是（ ）
A.10
B. －80
C. 80
D.－8
（5）抛物线2
2y px = (0p >)上横坐标为3的点到焦点的距离是4，则p 等于（ ）
A. ８ Ｂ. 4 C. 2 D.1
（6）已知直线l 的斜率为2
3
-，且过双曲线14922=-y x 的左焦点，则直线l 与此双曲线的交点个数为（ ）个
A. 3
B. 2
C. 1
D. 0
（7）五个人排成一排，其中甲、乙、丙三人左、中、右顺序不变（不一定相邻）的排法种数是（ ） A ．12 B ．20 C ．36 D ．48
（8）已知1F 、2F 是椭圆12
42
2=+y x 的左、右焦点，l 是椭圆的右准线，点P l ∈且在x 轴上方，则12F PF ∠的最大值是（ ）
A ．
15 B.30 C.
45 D.
60
二、填空题：（本大题共6小题，每小题4分 ，共24分．答案填在题中横线上．）
（9）在参加20XX 年德国世界杯足球赛决赛阶段比赛的32支球队中，有欧洲队14支，美洲队8支，亚洲队4支，大洋洲队1支，非洲队5支，从中选出一支球队为欧洲队或美洲队的概率为.
（10）3个班分别从2个风景点中选择1处游览，有________ 种不同的选法 .
（11）若点（－２，t ）在不等式2x －3y+6>0所表示的平面区域内，则t 的取值范围是_________.
（12）圆cos 1sin x y θ
θ=⎧⎨=+⎩
的（θ为参数）圆心坐标为 ；直线l 与此圆交于A 、B 两点，且线
段AB 的中点坐标是)2
3
,21(-，则直线l 的方程为 .
（13）中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为
3
5
，并且虚轴长为8的双曲线标准方程为 __________；若P 为此双曲线上的一点，1F 、2F 分别是此双曲线的左、右焦点，
且120PF PF =，则
12PF F ∆的面积为. （14）过椭圆22
184
x y +=的右焦点作x 轴的垂线交椭圆于A ，B 两点，已知双曲线的焦点在x 轴上，对称中心在坐标原点且两条渐近线分别过A ，B 两点，则双曲线的离心率
e 为
.
三、解答题：（本大题共4小题，共44分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
（本题满分12分）
（15）已知点P （2，0），
C ：04462
2
=++-+y x y x .
（Ⅰ）当直线l 过点P 且与圆心C 的距离为1时，求直线l 的方程；
（Ⅱ）设过点P 的直线与C 交于A 、B 两点，且AB CP ⊥，求以线段AB 为直径的圆
的方程.
（本题满分10分）
（16）一个小朋友将七支颜色各不相同的彩笔排成一列. （Ⅰ）求红色彩笔与黄色彩笔相邻的概率;
（Ⅱ）求绿色彩笔与蓝色彩笔之间恰有一支彩笔的概率.
（17）一次小测验共有3道选择题和2道填空题，每答对一道题得20分，答错或不答得0分.某同学答对每道选择题的概率均为0.8，答对每道填空题的概率均为0.5.各道题答对与否互不影响.
（Ⅰ）求该同学恰好答对1道选择题和2道填空题的概率；
（Ⅱ）求该同学至少答对1道题的概率；
（Ⅲ）求该同学在这次测验中恰好得80分的概率.
(本题满分10分普通校学生做，重点校学生不做)
（18）已知两点()()2,0,2,0M N - ，动点(),P x y 在y 轴上的射影为,H PH 是2和
PM PN ⋅的等比中项.
（I ）求动点P 的轨迹方程；
（Ⅱ）若直线1x y +=交以点M 、N 为焦点的双曲线C 的右支于点Q ，求实轴长最长的双曲线C 的方程.
（本题满分10分重点校学生做，普通校学生不做）
(18)已知椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 的左、右焦点分别是12(,0),(,0)F c F c -，Q 是椭圆外
的动点，满足1||2.FQ a =点P 是线段F 1Q 与该椭圆的交点，点T 在线段F 2Q 上，并且满足220,||0.PT TF TF ⋅=≠
（I ）设1x 为点P 的横坐标，求证：11||c
F P a x a
=+； （Ⅱ）求点T 的轨迹C 的方程；
（Ⅲ）在点T 的轨迹C 上，是否存在点M ， 使△F 1MF 2的面积S=.2b 若存在，求∠F 1MF 2 的正切值；若不存在，请说明理由.
得分 评卷人
草稿纸
高二数学学科期末试卷答案
9.1116 10 .8 11. 2
3
t < 12. （0，1）； 20x y -+= 13.
116922=-y x ；16 14.
2
注12，13小题每空2分)
三.解答题
15.（Ⅰ）解：设直线l 的斜率为k （若k 存在），则方程为 )2(0-=-x k y …（2分）
又C 的圆心为C(3,-2) ， r=3,由
11
2232=++-k k k 4
3
-=⇒k ， ……（4分）
直线l 的方程为)2(4
3
--
=x y ，即0643=-+y x ………（5分） 当k 不存在时，l 的方程为x=2. …………（7分） （Ⅱ）依题意AB ⊥CP ,得P 为线段AB 的中点，即为以AB 为直径的圆的圆心……（9分） 已知C(3,-2) ，P （2,0），由两点间距离公式得5=CP .……（10分） 在直角三角形BCP 中，可求半径2BP =.…………（11分）
故以AB 为直径的圆的方程为4)2(2
2=+-y x . …………（12分） 16.解：七支彩笔可排列总数为7
7A ，每一种排列出现的机会是等可能的 …………（3分） （Ⅰ）记红色彩笔与黄色彩笔相邻为事件A ，红色彩笔与黄色彩笔相邻的排列有6
62
2A A 种，
则P （A ）=7277
6622=A A A .………………（7分） （Ⅱ）记绿色彩笔与蓝色彩笔之间恰有一支彩笔的事件为B ，则 绿色彩笔与蓝色彩笔之间恰有一支彩笔的概率为215255775()21
A A A P
B A ==.…（10分） （注：学生（1）问求出红色彩笔与黄色彩笔相邻的概率可得满分，未写出是等可能的不扣分）
17.解：（Ⅰ）该同学恰好答对1道选择题和2道填空题的概率为
125
35.05.0)2.0()8.0(222113=⨯⋅=C C P .………………（4分） （Ⅱ）该同学至少答对1道题的概率为5004992151123=⎪⎭
⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-.………（8分）
（Ⅲ）设该同学在这次测验中恰好得80分为事件A ，他恰好答对2道选择题和
2道填空题为事件B 1，他恰好答对3道选择题和1道填空题为事件B 2
则A=B 1+B 2，B 1，B 2为互斥事件.
12()()()
P A P B P B =+ =22
322
23132324114144()55252125
C C C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭……（12分） 18. A （普通校）
解：（Ⅰ）动点为(),P x y ，则()()()()0,,,0,2,,2,H y PH x PM x y PN x y =-=---=--
……………………………（2分）
∴224PM PN x y ⋅=-+，且22PH x =.……………………………（4分） 由题意得22PH PM PN =⋅，即()222
24x x y =-+，22
184x y +=. ……（5分） PH 是2和PM PN ⋅的等比中项，点P 不能与点H 重合，0x ∴≠.
∴22
184
x y +=（0x ≠）为所求点P 的轨迹方程.…………………………（6分） （Ⅱ）当直线1x y +=与双曲线C 右支交于点Q 时，而()2,0N 关于直线1x y +=
的对称点为()1,1E -，则QE QN = ∴双曲线C
的实轴长2a QM QN QM QE ME =-=-≤ Q ，E ，M 共线时取“=”）
，此时，实轴长2a ………………（8分）
所以，双曲线C 的实半轴长为102
又∵122c MN ==，∴22232
b c a =-= ∴双曲线C 的方程为22
153
22
x y -=. ……………………………（10分）
18.B （重点校）
解：（Ⅰ）证明：设点P 的坐标为11(,).x y 椭圆的左准线方程为c
a x 2-=. 由椭圆第二定义得121||||F P c a a x c
=+，即2111||||||.c a c F P x a x a c a =+=+ 由11,0c x a a x c a a ≥-+≥-+>知，所以11||.c F P a x a
=+……………3分 （Ⅱ）解法一：设点T 的坐标为).,(y x
当|0||0|2≠≠TF PT 且时，由0||||2=⋅TF PT ，
得2TF ⊥.又由椭圆定义得a PF PF 221=+，如图可得a PQ PF 21=+ 则||||2PF =，所以T 为线段F 2Q 的中点.
在△QF 1F 2中，a Q F OT ==||2
1||1，所以有.222a y x =+………5分 当0||=时，点（a ，0）和点（－a ，0）在轨迹上.
综上所述，点T 的轨迹C 的方程是.2
22a y x =+…………………6分 解法二：设点T 的坐标为).,(y x
当|0||0|2≠≠TF 且时，由02=⋅TF ，得2TF ⊥. 又||||2PF =，所以T 为线段F 2Q 的中点.
设点Q 的坐标为（y x '',），则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧'=+'=.2
,2y y c x x 因此⎩⎨⎧='-='.
2,2y y c x x ① 由a F 2||1=得.4)(222a y c x ='++'②
将①代入②，可得.222a y x =+………………5分
当0||=时，点（a ，0）和点（－a ，0）在轨迹上.
综上所述，点T 的轨迹C 的方程是.222a y x =+………………6分 （Ⅲ）解法一：C 上存在点M （00,y x ）使S=2b 的充要条件是 ⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=+.||221,2022020b y c a y x 由③得a y ≤||0，由④得20||.b y c =所以，当c
b a 2≥时，存在点M ，使S=2b ； 当c
b a 2<时，不存在满足条件的点M.…………………8分 当c
b a 2≥时，),(),,(002001y x
c MF y x c MF --=---=， 由2222022021b c a y c x MF =-=+-=⋅，
212121cos ||||MF F MF MF MF MF ∠⋅=⋅，
22121sin ||||2
1b MF F MF MF S =∠⋅=，得.2tan 21=∠MF F ……10分 解法二： 由上解法当c
b a 2≥时，存在点M ，使S=2b ； 当c
b a 2<时，不存在满足条件的点M.………………………8分 当2
b a c
≥时， ③ ④
100F M y k x c =+，200F M y k x c
=-，由122F F a <，知1290F MF ︒∠<， 所以00
2
00012222022022tan 21y y x c x c cy b F MF y b b x c --+∠====+-. ………10分。